Тренировочная работа 1. Задача № 16 (планиметрия) из сборника: ЕГЭ Математика./ Под редакцией В.И.Ященко. .

Вариант № 9 Окружность,   построенная   на   стороне  AD  параллелограмма    ABСD  как   на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма. а) Докажите, что ABСD – ромб. б)  Эта окружность пересекает сторону  AB  в точке  M, причем  AM  :  MB  = 3 : 1. Найдите диагональ AC, если известно, что AD = 2˅˅2. а).  1.   F – точка пересечения диагоналей  параллелограмма. Так как AD – диаметр, то  ∠ AFD = 90ᵒ. 2. ∆ ABF  =   ∆ ADF  (по дум катетам), ¿>¿     AB = AD,  ¿>¿  AB = BC = CD = AD  и  параллелограмм  ABСD – ромб. Доказано. б). Пусть  BM = a,  MA = 3a, AB = 4a;  BF = FD = b, BD = 2b. 1. По теореме о двух секущих имеем:  BA∙BM = BD∙BF,   ¿>¿ 4a2 = 2b2, b2 = 2  a2. 2. Так как  ABСD – ромб, то  AD = AB = 4a = 2˅˅2 ,   a = ˅˅2 /2,   a2 =  1 2  ,  b2 =  1. 3. ∆ AFD – прямоугольный, по теореме Пифагора AF2 = AD2 – FD2 = 16a2– b2 = 7,   AF = ˅˅7   и   AC = 2 ˅˅7 . Ответ: AC = 2 ˅˅7 .