Тренировочная работа 1. Задача № 16 (планиметрия) из сборника: ЕГЭ Математика./ Под редакцией В.И.Ященко. .

Вариант № 4 Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров. а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей. б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.  а).   Так   как   точка   касания   окружностей   лежит   на   лини   их центров, получим три уравнения: O1O2 = O1C – O2C = R1 – R2; O1O3 = O1B – O3B = R1 – R3;     O2O3 = O2E + O3E = R2 + R3; Сложим левые и правые части этих уравнений и получим: O1O2 + O1O3 + O2O3 = 2R1.              Доказано. б). По условию: R1= O1C =O1B = 4; R2 = O2E = O2C = 1.   1. Проведем O3H ⊥ O1O2;  O3 H = O3B = O3 E = R3 = x.        O1O2 = R1 – R2 = 3;     O1O3 = R1 – R3 = 4 – x;     O2O3 = R2 + R3 = x + 1;  O2H = O1O2  – O1H = 3 – O1H. 2. В  ∆ O1O3H: (O1H)2 = (O1O3)2 – (O3H)2 = (4 – x)2– x 2  = =16 –8x,  ¿>¿  O1H =2 √4−2x ; x ¿  2,  ¿>¿  O1O3 ¿ O1O2. 3. В  ∆ O2O3H:  (O2O3)2 = (O2 H)2 + (O3H)2.   Получим:   (3 – 2 √4−2x )2 + x 2 = (x + 1)2.   ¿>¿ 12 √4−2x  = 24 – 10x;  ¿>¿  25x 2  −48x  = 0,   x  =   48 25=¿ 1,92. Ответ: R3  ¿ 1,92.