Тренировочная работа 1. Задача № 16 (планиметрия) из сборника: ЕГЭ Математика./ Под редакцией В.И.Ященко. .

Вариант № 10  Точки  В1  и С1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника АВС, причем АВ1 : В1С = АС1 : С1В. Прямые ВВ1  и СС1 пересекаются в точке О. а)  Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС. б)  Найдите   отношение   площади   четырехугольника  АВ1ОС1  к   площади треугольника АВС, если известно, что АВ1 : В1С = АС1 : С1В = 1 : 4. а)  По теореме  Чевы  имеем: (СВ1 : В1А ) ∙ ( АС1 : С1В) ∙ (ВА1 : А1С) = 1. По условию  АВ1 : В1С = АС1 : С1В = m : n,  m Поэтому (СВ1 : В1А )∙( АС1  : С1В) =  n  ∙ n m  =1   ¿>¿   ВА1 : А1С = 1,  ¿>¿  ВА1 = А1С. Доказано.  =  SACC₁ б)   SAB₁OC₁ 1.  Так как  АВ1 : В1С = АС1 : С1В = 1 : 4, то и  SAВВ₁  –   SB₁OC ;  :  SB₁ВC=SACC₁ :  SС₁СВ = 1 : 4.    ¿SACC₁ Если   SAВС = S,  то    SAВВ₁ 1 5  S,  а   SB₁ВC  =  SС₁СВ  =   4 5  S.   =   1 5 , то  В1С1   2.  Так как  АВ1 : АС = АС1 : АВ =  ǁ ВС  ¿>¿   ∆ В1 АС1   и ∆ САВ  подобны, а также подобны    ∆ ВОС  и    ∆ В1ОС1  ( по двум равным углам).    ¿>¿   1 5  ,  и   SВ₁ОС  =   1 6   SB₁ВC  = ( 1 6  ∙  4 5 ) S ¿ В1О : ВО = В1 С1 : СВ =   2 15  S.   ¿>¿   SAB₁OC₁  =  SACC₁  –   SB₁OC  =   1 5  S –  2 15  S =  1 15  S,   ¿>¿   SAB₁OC₁ : SAВС  = 1 : 15. Ответ:   SAB₁OC₁ :  SAВС  = 1 : 15.