Тренировочная работа 1. Задача № 16 (планиметрия) из сборника: ЕГЭ Математика./ Под редакцией В.И.Ященко. .

Вариант № 6 На   катетах  AC  и  BC  прямоугольного   треугольника  ABC  вне   треугольника построены квадраты ACDE  и   BFKC. Точка M – середина гипотенузы AB,   H – точка пересечения прямых CM и DK. а) Докажите, что CM    I    DK. б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312. а).   ∆ ACB =  ∆ DCK – по двум катетам (так   как ACDE и BFKC – квадраты, то AC=CD и  BC=CK).      ¿>¿  ∠ BAC = ∠ КDC = α,  ∠ ABC  = β, и α + β = 90ᵒ CM  – медиана прямоугольного треугольника ¿>¿ CM = AM = MB  ¿>¿  ∠ MBC = ∠ MCB =  ∠ MCB = ∠ HCD = β – вертикальные углы.  ¿>¿ В   ∆ DCH  ∠ CHD = 180ᵒ – (α + β) = 90ᵒ, .β ¿>¿ CM    I    DK. Доказано. б)  MH = CM + CH.  Медиана CM  равна половине гипотенузы  AB.  AB2 = AC2 + CB2 =1302 + 3122 = 114244,  AB = 338,  CM = 169. CH  – высота прямоугольного треугольника  DCK   ¿>¿ CH = CD∙CK: DK = 130∙312: 338 =120.   MH = CM + CH = 169 + 120 = 289. Ответ: MH = 289.