Тренировочная работа 1. Задача № 16 (планиметрия) из сборника: ЕГЭ Математика./ Под редакцией В.И.Ященко. .

Вариант № 20    Две окружности пересекаются в точках   P  и  Q. Прямая, проходящая через точку  P, второй раз пересекает первую окружность в точке А, а вторую – в точке D.  Прямая, проходящая через точку   Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую – в точке C.  а) Докажите, что четырехугольник ABCD – параллелограмм. б)  Найдите отношение  ВР : РС, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.   а) Обозначим ∠ PQB = α, ∠ PQС = β,  причем α + β = 180ᵒ (смежные). Так как четырехугольники APQB и  PDCQ – вписанные, то ∠ PQB + ∠ PАB =  180ᵒ и ∠ PQС + ∠ PDB = 180ᵒ, ¿>¿ ∠ PАB = β,  а ∠ PDС = α  ¿>¿   ∠ PАB + ∠ PDС = α + β = 180ᵒ, а это односторонние углы ¿>¿  AB  ǁ  DC, а по условию AD  ǁ  BC,  ¿>¿    ABCD – параллелограмм.                                                                                                Доказано. б)  ∆ PQB и   ∆ PDС – вписанные и по теореме синусов:  PB : sin∠ PQB = 2R1, PC : sin∠ PQC = 2R2, где R1 и R2 соответственно радиусы  первой и второй окружностей.  ¿>¿ PB = 2R1 sin∠ PQB и PС = 2R2 sin∠ PQС. Так как ∠ PQB + ∠ PQС = 180ᵒ, то sin∠ PQB = sin∠ PQС = sinα. По условию R1 = 2R2,  ¿>¿  ВР : РС = 4R2 sinα : 2R2 sinα = 2.                                                                                             Ответ: ВР : РС = 2.