Вариант № 20
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через
точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке А, а вторую – в точке
D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает
первую окружность в точке B, а вторую – в точке C.
а) Докажите, что четырехугольник ABCD – параллелограмм.
б) Найдите отношение ВР : РС, если радиус первой окружности вдвое больше
радиуса второй.
а) Обозначим ∠ PQB = α, ∠ PQС = β,
причем α + β = 180ᵒ (смежные).
Так как четырехугольники APQB и
PDCQ – вписанные, то ∠ PQB + ∠ PАB =
180ᵒ и ∠ PQС + ∠ PDB = 180ᵒ, ¿>¿
∠ PАB = β, а ∠ PDС = α ¿>¿
∠ PАB + ∠ PDС = α + β = 180ᵒ, а это
односторонние углы ¿>¿ AB ǁ DC, а по условию AD ǁ BC, ¿>¿
ABCD – параллелограмм.
Доказано.
б) ∆ PQB и ∆ PDС – вписанные и по теореме синусов:
PB : sin∠ PQB = 2R1, PC : sin∠ PQC = 2R2, где R1 и R2 соответственно радиусы
первой и второй окружностей. ¿>¿ PB = 2R1 sin∠ PQB и PС = 2R2 sin∠ PQС.
Так как ∠ PQB + ∠ PQС = 180ᵒ, то sin∠ PQB = sin∠ PQС = sinα.
По условию R1 = 2R2, ¿>¿ ВР : РС = 4R2 sinα : 2R2 sinα = 2.
Ответ: ВР : РС = 2.
Тренировочная работа 1. Задача № 16 (планиметрия) из сборника: ЕГЭ Математика./ Под редакцией В.И.Ященко. .
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.