Тригонометрические уравнения профильного уровня ч. 1. Основные тригонометрические формулы.

Тригонометрические уравнения профильного уровня из материалов ЕГЭ.

 

Справочный материал.

 

 

 

 

Часть 1.

Использование основных тригонометрических формул.

 

Пример 1.   а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Преобразуем обе части уравнения:

откуда или

Из уравнения находим: где

Из уравнения находим: где

 

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку Получим числа:

 

Ответ: а) б)

 

Пример 2. Дано уравнение

 а)  Решите данное уравнение.

б)  Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Сведем уравнение к квадратному относительно тангенса:

 

б)  С помощью числовой окружности находим, что из найденных решений промежутку принадлежат числа

 

Ответ: а) б)

 

 

  Пример 3.

. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку

Решение. а)  Запишем исходное уравнение в виде:

Уравнение корней не имеет. Значит, откуда или

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим число

 

Ответ: а) б)

 

 

Пример 4.

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Пусть тогда откуда или

Имеем два уравнения:

 

б)  С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке Получим числа:

 

Ответ: a) б)

21. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку

Получим числа

Ответ: а) где б)

Пример 5.

Решите уравнение б)  Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение, получаем Значит, или где В первом случае во втором случае где Первая серия решений входит во вторую.  б)  Отметим решения на тригонометрической окружности. Отрезку принадлежат корни и

 Ответ: а) б)

Пример 6.

 а)  Решите уравнение

б)  Найдите решения уравнения, принадлежащие отрезку [3; 5].

Решение. а)  Возведем обе части уравнения в квадрат:

б)  Если то поэтому при таких k решений на отрезке [3; 5] нет.

Если то Заметим, что поэтому корень лежит на отрезке [3; 5].

Если то поэтому при таких k решений на отрезке [3; 5] нет.

 Ответ:

Пример 7.

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Используя формулу заменим выражение в скобках на получаем однородное тригонометрическое уравнение первой степени:

Если то из уравнения следует что невозможно в силу основного тригонометрического тождества. Значит, на множестве корней уравнения Разделим обе части уравнения на

б)  Составим двойное неравенство: откуда Следовательно, Поэтому на данном отрезке получаем единственный корень

 Ответ: а) б)

Пример 8. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Заметим, что Преобразуем уравнение:

 б)  С помощью числовой окружности (см. рис.) отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа  Ответ: а) где б) Ответ в пункте а) можно записать и в другой форме. Например, где

Пример 9.

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Применим формулу приведения, понизим порядок уравнения, используем формулу косинуса суммы. Получаем:

б)  Корни, принадлежащие заданному отрезку, отберем при помощи тригонометрической окружности. Получим числа    Ответ: а) где б)

Пример 10.  а)  Решите уравнение:

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а)  Воспользуемся формулой Из неё следует, что Поэтому из исходного уравнения получаем:

 

б)  При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку.

 

Получим

 

Ответ: а) б)

 б)  При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку.

 

Ответ: a)

б)

Ответ: а) б) a)

б)

Пример 11.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем левую часть уравнения при помощи формулы разности косинусов:

б)  Отберём корни, принадлежащие отрезку Учитывая, что решим неравенства:

Значит,

Значит,

Значит,

 

На указанном промежутке лежат числа

 

Ответ: а) б)

 Пример 12.а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. a)  Преобразуем уравнение:

 

б)  При помощи единичной окружности отберём корни, лежащие на заданном отрезке (см. рис.). В него попадают числа

 

Ответ: а) б)

Пример 13. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности, найдём: и

 

Ответ: а) б)

Пример 14. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Используем формулу синуса двойного угла и перегруппируем выражения:

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности. Нам подходят

 

Ответ: а)

б)  

Пример 15.. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

При таких х можно умножить на знаменатель, а значит, исходное уравнение эквивалентно уравнению откуда и, следовательно,

Тогда

Ограничению удовлетворяет только

б)  Найденные решения соответствуют точке единичной окружности, лежащей во второй четверти. Поэтому никакое из решений не лежит на отрезке

 

Ответ: а) б) искомых решений нет.

 Пример 16. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. a)  Сгруппируем слагаемые и разложим левую часть уравнения на множители:

 

 

б)  С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие отрезку Получим числа

 

Ответ: а) б)

Пример 17. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Применим формулу синуса двойного угла, получим в правой части уравнения

Перенесем выражение из правой части в левую, применим формулу

Теперь заметим, что

и разложим на множители:

Далее имеем:

или

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). На заданном отрезке лежат корни и

 

Ответ: а) б) ;

Пример 18. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Обозначим тогда уравнение примет вид откуда t = 1 или t = 2. Далее имеем:

б)  Корни отберем с помощью тригонометрической окружности (см. рис.). На отрезке лежат числа

 

Ответ: а) б)

Пример 19.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  Отберём корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). На заданном промежутке лежат корни:

 

Ответ: а) б)

Пример 20.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. Заметим, что по формуле приведения

а потому правая часть равна нулю. Тогда уравнение принимает вид

а значит, является однородным тригонометрическим уравнением третьей степени. Разделив обе части уравнения на получим кубическое уравнение относительно тангенса:

Обозначим и решим его методом группировки:

Итак, откуда соответственно.

Отбор корней проведем на тригонометрической окружности (см. рис.). На отрезке лежат числа и

Ответ: а) б)

Пример 21.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Преобразуем уравнение при условии

Последняя серия не подходит, поскольку Таким образом,

б)  Отбор корней проведем на тригонометрической окружности (см. рис.). На заданном полуинтервале лежат два корня: и

Ответ:а) б)

Пример 22. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  Отберём корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). На заданном промежутке лежат корни:

 Ответ: а) б)

 Пример 23. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

Заметим, что и Поэтому последнее равенство может достигаться только в случае, если а Решим систему уравнений:

Приравняем найденные значения х, решая уравнение получим Следовательно,

б)  Отберем корни, решая двойное неравенство:

Подставим найденные значения, получим, что на заданном промежутке лежат корни и

 Ответ: а) б)

Пример 24.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

При получим Условию соответствует только

 

При получим

Условию соответствует только

б)  Для отбора корней используем единичную окружность. На заданном промежутке лежат корни и

 Ответ: а) б)

Пример 25.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  Корни, принадлежащие заданному отрезку, отберём корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Получим:

 

Ответ: а) ; б)

 

Пример 26.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Используем формулу разности квадратов, затем формулы суммы и разности синусов:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Получим

 

Ответ: а) б)

Пример 27. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Заметим, что

Далее получаем:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят числа

Пример 28.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Знаменатель правой части равен Представим уравнение как произведение синуса и косинуса, равное 1:

Модули множителей не превосходят 1, поэтому возможны только два случая: оба множителя равны 1 или −1:

или

Первый случай:

Решая полученную систему, находим: где

Второй случай:

Эта система решений не имеет. Тем самым искомое решение где

б)  С помощью числовой окружности (см. рис.) найдем корни, принадлежащие отрезку Получаем:

 

Ответ: a) б)

Пример 29.а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем исходное уравнение:

Получится система уравнений вида:

б)  Проверим корни уравнения на отрезке

Получим ряд k:

При

При

При

Проверим следующий корень:

При

При

Рассмотрим последний корень:

Подставим k:

При

При

 

Ответ:

а)   где

б)  

Пример 30.а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку

Получим числа и

Ответ: а) б)

Пример 31. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Для квадратов синуса и косинуса применим в левой части формулу суммы кубов:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходят         Ответ: а) б)

 

Пример 32. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

Заметим, что

Подставив в уравнение, получим

Сделав замену получим уравнение

Таким образом,

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходит

 

Ответ: а) б)

 

Приведем другое решение пункта а).

Преобразуем уравнение:

Заметим, что и при любом x, следовательно, оба слагаемых не больше 0, поэтому их сумма может быть равна 0, только если слагаемые одновременно равны 0:

Пример 33.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. По основному тригонометрическому тождеству Обозначим тогда

Вернемся к исходной переменной, получим:

Чтобы отобрать корни, лежащие на заданном отрезке, воспользуемся тригонометрической окружностью (см. рис.). Получим корни

 

Ответ: а) б)

 Примечание.    Мы решили уравнение записав левую часть в виде полного квадрата Можно было найти дискриминант: и прийти к выводу, что уравнение имеет единственный корень

Пример 33. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходят:

 Ответ: а) б)

Пример 34. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение, используя формулу разности квадратов, суммы и разности синусов:

б)  Отберём корни при помощи тригонометрической окружности. Подходят

 

Ответ: а) б)

Пример 35   а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. a)  Используем формулы понижения порядка:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходят

 

Ответ: а) б)

Пример 36. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Запишем исходное уравнение в виде:

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим и

 

Ответ: а) б) и

Пример 37. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходят

 

Ответ: а) б)

Пример 38 а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а) Логарифм единицы равен нулю, поэтому последнее слагаемое в левой части уравнения имеет вид Это выражение определено при и для всех таких чисел равно 1. Получаем:

Условию соответствует   б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис). Подходят:  Ответ: а) б)

Пример 39. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Котангенс определен при Преобразуем уравнение при этом условии:

Выше мы воспользовались тем, что сумма не обращается в нуль, поскольку косинус и синус одного угла одновременно в нуль не обращаются.

б)  Отберем корни при помощи двойного неравенства:

откуда следует, что k = 6 или k = 7. Значения переменной, соответствующие найденным значениям k, суть Ответ: а) б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решить самостоятельно.

1. а)  Решите уравнение   б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

2. а)  Решите уравнение    б)  Укажите корни, принадлежащие отрезку

3. а)  Решите уравнение    б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

4. а)  Решите уравнение   б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

5. а)  Решите уравнение  б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

6. а)  Решите уравнение   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

7. а)  Решите уравнение   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

   8. а)  Решите уравнение   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

   9. а)  Решите уравнение   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

   10.а)  Решите уравнение   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

  11. а)  Решите уравнение   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

   12. а)  Решите уравнение   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

    13. . а)  Решите уравнение   б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

    14. а)  Решите уравнение   б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

     15. )  Решите уравнение   б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

     16. а)  Решите уравнение б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

       17. а)  Решите уравнение     б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

       18. а)  Решите уравнение   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

      19. а)  Решите уравнение   б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

        20. а)  Решите уравнение   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

          21. а)  Решите уравнение б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы на задания.

1.     а) б)    

     2.а) б)   

        3. а) б)    

     4. а) б)  

      5. а) б)

         6. а) б)     

       7. а) б)   

       8. Ответ: а) б)   

       9. а) б)  

       10. а) б)   

       11. а) б)   

       12. а) б)   

       13. а)   где б)  

      

14. а)   где

б)   

       15. а) б)   

       16. а) б)   

        17. а) б)   

        18. а) б)   

        19. а) б) и    

            20. а) б)   

        21. а) б)