Тригонометрические уравнения. (Профильный уровень).

Тригонометрические уравнения профильного уровня из материалов ЕГЭ.

Справочный материал.

Часть 1. Использование основных тригонометрических формул.

Пример 1.   а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Преобразуем обе части уравнения:

откуда или

Из уравнения находим: где

Из уравнения находим: где

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку Получим числа:

Ответ: а) б)

Пример 2. Дано уравнение

а)  Решите данное уравнение.

б)  Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Сведем уравнение к квадратному относительно тангенса:

б)  С помощью числовой окружности находим, что из найденных решений промежутку принадлежат числа

Ответ: а) б)

  Пример 3.

. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку

Решение. а)  Запишем исходное уравнение в виде:

Уравнение корней не имеет. Значит, откуда или

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим число

Ответ: а) б)

Пример 4.

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Пусть тогда откуда или

Имеем два уравнения:

б)  С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке Получим числа:

Ответ: a) б)

21. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку

Получим числа

Ответ: а) где б)

Пример 5.

Решите уравнение б)  Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение, получаем Значит, или где В первом случае во втором случае где Первая серия решений входит во вторую.  б)  Отметим решения на тригонометрической окружности. Отрезку принадлежат корни и

 Ответ: а) б)

Пример 6.

 а)  Решите уравнение

б)  Найдите решения уравнения, принадлежащие отрезку [3; 5].

Решение. а)  Возведем обе части уравнения в квадрат:

б)  Если то поэтому при таких k решений на отрезке [3; 5] нет.

Если то Заметим, что поэтому корень лежит на отрезке [3; 5].

Если то поэтому при таких k решений на отрезке [3; 5] нет.

 Ответ:

Пример 7.

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Используя формулу заменим выражение в скобках на получаем однородное тригонометрическое уравнение первой степени:

Если то из уравнения следует что невозможно в силу основного тригонометрического тождества. Значит, на множестве корней уравнения Разделим обе части уравнения на

б)  Составим двойное неравенство: откуда Следовательно, Поэтому на данном отрезке получаем единственный корень

 Ответ: а) б)

Пример 8. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Заметим, что Преобразуем уравнение:

 б)  С помощью числовой окружности (см. рис.) отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа  Ответ: а) где б) Ответ в пункте а) можно записать и в другой форме. Например, где

Пример 9.

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Применим формулу приведения, понизим порядок уравнения, используем формулу косинуса суммы. Получаем:

б)  Корни, принадлежащие заданному отрезку, отберем при помощи тригонометрической окружности. Получим числа    Ответ: а) где б)

Пример 10.  а)  Решите уравнение:

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а)  Воспользуемся формулой Из неё следует, что Поэтому из исходного уравнения получаем:

б)  При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку.

Получим

Ответ: а) б)

 б)  При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку.

Ответ: a)

б)

Ответ: а) б) a)

б)

Пример 11.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем левую часть уравнения при помощи формулы разности косинусов:

б)  Отберём корни, принадлежащие отрезку Учитывая, что решим неравенства:

На указанном промежутке лежат числа

Ответ: а) б)

 Пример 12.а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. a)  Преобразуем уравнение:

б)  При помощи единичной окружности отберём корни, лежащие на заданном отрезке (см. рис.). В него попадают числа

Ответ: а) б)

Пример 13. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности, найдём: и

Ответ: а) б)

Пример 14. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Используем формулу синуса двойного угла и перегруппируем выражения:

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности. Нам подходят

Ответ: а)

б)  

Пример 15.. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

При таких х можно умножить на знаменатель, а значит, исходное уравнение эквивалентно уравнению откуда и, следовательно,

Тогда

Ограничению удовлетворяет только

б)  Найденные решения соответствуют точке единичной окружности, лежащей во второй четверти. Поэтому никакое из решений не лежит на отрезке

Ответ: а) б) искомых решений нет.

 Пример 16. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. a)  Сгруппируем слагаемые и разложим левую часть уравнения на множители:

б)  С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие отрезку Получим числа

Ответ: а) б)

Пример 17. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Применим формулу синуса двойного угла, получим в правой части уравнения

Перенесем выражение из правой части в левую, применим формулу

Теперь заметим, что

и разложим на множители:

Далее имеем:

или

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). На заданном отрезке лежат корни и

Ответ: а) б) ;

Пример 18. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Обозначим тогда уравнение примет вид откуда t = 1 или t = 2. Далее имеем:

б)  Корни отберем с помощью тригонометрической окружности (см. рис.). На отрезке лежат числа

Ответ: а) б)

Пример 19.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  Отберём корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). На заданном промежутке лежат корни:

Ответ: а) б)

Пример 20.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. Заметим, что по формуле приведения

а потому правая часть равна нулю. Тогда уравнение принимает вид

а значит, является однородным тригонометрическим уравнением третьей степени. Разделив обе части уравнения на получим кубическое уравнение относительно тангенса:

Обозначим и решим его методом группировки:

Итак, откуда соответственно.

Отбор корней проведем на тригонометрической окружности (см. рис.). На отрезке лежат числа и

Ответ: а) б)

Пример 21.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Преобразуем уравнение при условии

Последняя серия не подходит, поскольку Таким образом,

б)  Отбор корней проведем на тригонометрической окружности (см. рис.). На заданном полуинтервале лежат два корня: и

Ответ:а) б)

Пример 22. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  Отберём корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). На заданном промежутке лежат корни:

 Ответ: а) б)

 Пример 23. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

Заметим, что и Поэтому последнее равенство может достигаться только в случае, если а Решим систему уравнений:

Приравняем найденные значения х, решая уравнение получим Следовательно,

б)  Отберем корни, решая двойное неравенство:

Подставим найденные значения, получим, что на заданном промежутке лежат корни и

 Ответ: а) б)

Пример 24.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

При получим Условию соответствует только

При получим

Условию соответствует только

б)  Для отбора корней используем единичную окружность. На заданном промежутке лежат корни и

 Ответ: а) б)

Пример 25.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  Корни, принадлежащие заданному отрезку, отберём корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Получим:

Ответ: а) ; б)

Пример 26.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Используем формулу разности квадратов, затем формулы суммы и разности синусов:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Получим

Ответ: а) б)

Пример 27. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Заметим, что

Далее получаем:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят числа

Пример 28.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Знаменатель правой части равен Представим уравнение как произведение синуса и косинуса, равное 1:

Модули множителей не превосходят 1, поэтому возможны только два случая: оба множителя равны 1 или −1:

или

Первый случай:

Решая полученную систему, находим: где

Второй случай:

Эта система решений не имеет. Тем самым искомое решение где

б)  С помощью числовой окружности (см. рис.) найдем корни, принадлежащие отрезку Получаем:

Ответ: a) б)

Пример 29.а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем исходное уравнение:

Получится система уравнений вида:

б)  Проверим корни уравнения на отрезке

Получим ряд k:

При

При

При

Проверим следующий корень:

При

При

Рассмотрим последний корень:

Подставим k:

При

При

Ответ:

а)   где

б)  

Пример 30.а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку

Получим числа и

Ответ: а) б)

Пример 31. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Для квадратов синуса и косинуса применим в левой части формулу суммы кубов:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходят         Ответ: а) б)

Пример 32. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

Заметим, что

Подставив в уравнение, получим

Сделав замену получим уравнение

Таким образом,

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходит

Ответ: а) б)

Приведем другое решение пункта а).

Преобразуем уравнение:

Заметим, что и при любом x, следовательно, оба слагаемых не больше 0, поэтому их сумма может быть равна 0, только если слагаемые одновременно равны 0:

Пример 33.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. По основному тригонометрическому тождеству Обозначим тогда

Вернемся к исходной переменной, получим:

Чтобы отобрать корни, лежащие на заданном отрезке, воспользуемся тригонометрической окружностью (см. рис.). Получим корни

Ответ: а) б)

 Примечание.    Мы решили уравнение записав левую часть в виде полного квадрата Можно было найти дискриминант: и прийти к выводу, что уравнение имеет единственный корень

Пример 33. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходят:

 Ответ: а) б)

Пример 34. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение, используя формулу разности квадратов, суммы и разности синусов:

б)  Отберём корни при помощи тригонометрической окружности. Подходят

Ответ: а) б)

Пример 35   а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. a)  Используем формулы понижения порядка:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходят

Ответ: а) б)

Пример 36. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Запишем исходное уравнение в виде:

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим и

Ответ: а) б) и

Пример 37. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходят

Ответ: а) б)

Пример 38 а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а) Логарифм единицы равен нулю, поэтому последнее слагаемое в левой части уравнения имеет вид Это выражение определено при и для всех таких чисел равно 1. Получаем:

Условию соответствует   б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис). Подходят:  Ответ: а) б)

Пример 39. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Котангенс определен при Преобразуем уравнение при этом условии:

Выше мы воспользовались тем, что сумма не обращается в нуль, поскольку косинус и синус одного угла одновременно в нуль не обращаются.

б)  Отберем корни при помощи двойного неравенства:

откуда следует, что k = 6 или k = 7. Значения переменной, соответствующие найденным значениям k, суть Ответ: а) б)

Решить самостоятельно.

1. а)  Решите уравнение   б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

2. а)  Решите уравнение    б)  Укажите корни, принадлежащие отрезку

3. а)  Решите уравнение    б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

4. а)  Решите уравнение   б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

5. а)  Решите уравнение  б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

6. а)  Решите уравнение   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

7. а)  Решите уравнение   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

   8. а)  Решите уравнение   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

   9. а)  Решите уравнение   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

   10.а)  Решите уравнение   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

  11. а)  Решите уравнение   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

   12. а)  Решите уравнение   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

    13. . а)  Решите уравнение   б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

    14. а)  Решите уравнение   б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

     15. )  Решите уравнение   б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

     16. а)  Решите уравнение б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

       17. а)  Решите уравнение     б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

       18. а)  Решите уравнение   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

      19. а)  Решите уравнение   б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

        20. а)  Решите уравнение   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

          21. а)  Решите уравнение б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Ответы на задания.

1.     а) б)     (№4)

     2.а) б)   (№7)

        3. а) б)    (№12)

     4. а) б)  (№15)

      5. а) б) (№23)

         6. а) б)     (№29)

       7. а) б)   (№33)

       8. Ответ: а) б)   (№38)

       9. а) б)   (№44)

       10. а) б)   (№45)

       11. а) б)   (№53)

       12. а) б)   (№59)

       13. а)   где б)   (№62)

       14. а)   где

б)    (№63)

       15. а) б)   (№66)

       16. а) б)   (№68)

        17. а) б)   (№73)

        18. а) б)   (№82)

        19. а) б) и    (№90)

            20. а) б)   (№95)

        21. а) б)   (№101)

Часть 2. Разложение на множители.

1. а)   уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  Отберем корни на промежутке с помощью тригонометрической окружности. Получаем и

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Ответ: а) б)

507886

а) б)

Классификатор алгебры: Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Методы алгебры: Формулы приведения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

2.     а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Запишем уравнение в виде

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Ответ: а) б)

500111

а) б)

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

3.      а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Используем формулу синуса двойного угла, выносим за скобки:

б)  Изображая корни на единичной окружности, находим, что отрезку принадлежат корни и

Ответ:а) б)

Критерии проверки:

Ответ: а) б)

509501

а) б)

Источник: ЕГЭ по математике — 2015. Досрочная волна, Запад.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

4. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Перенесём все члены в левую часть, преобразуем и разложим левую часть на множители:

1 случай. Если то

2 случай. Если то При решений нет. Разделим обе части уравнения на Получаем

Тогда

б)  Отрезку принадлежат корни и

 Ответ: а) б) и

5. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа

 Ответ: а) ) б)

6. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  В силу нечетности и периодичности синуса имеем:

Далее имеем:

б)  При помощи числовой прямой или тригонометрической окружности (см. рис.) для каждой из задающих решения серий отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку

Находим три решения:

 Ответ: а)   б)  

7. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Так как и имеем:

Корни уравнения:

б)  Корни уравнения изображаются точками A и B, а корни уравнения   — точками C и D, промежуток изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: и

Ответ:а) б)

Критерии проверки:

Ответ: а) б)

500815

а) б)

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2013 по математике.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

8.   а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение : Получаем или откуда или где

б)  На отрезке корни отберем с помощью единичной окружности. Получаем и

Ответ: а) б)

9. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. Решим уравнение:

б)  Укажем корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Получим точку

Ответ: а) б)

10. а)  Решите уравнение

 б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Имеем:

б)   При помощи числовой оси отберем корни, принадлежащие отрезку получим число

 Ответ: а) б)

11. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  Ограничим каждое полученное решение из пункта «а» и решим эти неравенства:

1)  

2)

3)

Ответ: а) б)

12. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Решим уравнение:

б)  Отберём корни при помощи тригонометрической окружности. Заданному условию удовлетворяют корни и

Ответ: а) б)

13. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все его корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Запишем исходное уравнение в виде:

Следовательно, или а значит, или

б)  Корни, принадлежащие промежутку отберём с помощью

единичной окружности. Получаем:

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Ответ: а) б)

560137

а) б)

Классификатор алгебры: Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические формулы суммы или разности аргументов

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

14.    а)  Решите уравнение б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Запишем исходное уравнение в виде:

Корни уравнения не удовлетворяют условию Тогда получаем:

б)  Отберём корни, принадлежащие промежутку с помощью единичной окружности. Получаем

Ответ: а) б)

Решить самостоятельно.

1. а)  Решите уравнение б)  Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку 2. а)  Решите уравнение б)  Найдите все корни этого уравнения, при  надлежащие промежутку

3. а)  Решите уравнение   б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

4. а)  Решите уравнение   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

5. а)  Решите уравнение 

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

6. а)  Решите уравнение б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

7. а)  Решите уравнение:  б)  Определите, какие из его корней принадлежат отрезку

8. а)  Решите уравнение  б)  Найдите все его корни, принадлежащие отрезку

9. а)  Решите уравнение     б)  Найдите все его корни, принадлежащие отрезку

10. а   )  Решите уравнение

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку

Ответы.

1. а) б)    (№5)

2. а) б)   (№6)

3. а) б)   (№8)

4. а) б) (№10)

5. а) б)   (№13)

6. а) б)    (№15)

7. а) б)  (№23)

8. а) б)    (№28)

9. а) б)    (№30)

10. а) б) 0, (№34)

Часть 3. Исследование ОДЗ.

1. )  Решите уравнение

 б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Заметим, что первый множитель содержит тангенс, поэтому Второй множитель  — квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Следовательно, область определения уравнения задается неравенством На это области второй множитель не обращается в нуль. Рассмотрим случай, когда нулю равен первый множитель. Последовательно получаем:

б)  Корни из отрезка отберём с помощью единичной окружности. Получаем и      Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Ответ: а) б)

512335

а) б)

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

2.     а)  Решите уравнение  б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Получаем:

б)  Корни, принадлежащие отрезку отберём с помощью единичной окружности. Получаем и    Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Ответ: а) б)

512356

а) б)

Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

3.    а)  Решите уравнение: б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

a)  Решим уравнение:

б)  Корни, принадлежащие отрезку отберём с помощью единичной окружности. Получаем и      Ответ: а) б)

4. а)  Решите уравнение б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Используя формулу синуса двойного угла и формулу приведения, имеем:

б)  При помощи единичной окружности находим, что отрезку принадлежит только корень

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Ответ: а) б)

509820

а) б)

Источник: ЕГЭ по математике 2015. Досрочная волна, резервная волна (часть С)

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

5.   а)  ешите уравнение б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Левая часть уравнения определена при то есть при Числитель дроби должен быть равен нулю:

Серию нужно отбросить. Получаем ответ:

б)  При помощи тригонометрической окружности отберём корни, лежащие на отрезке

Ответ: а) б)

6. а)  Решите уравнение б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Область определения данного уравнения задается условием

При этом условии имеем:
откуда или

Корни уравнения не удовлетворяют условию а из уравнения получаем или

б)  Из найденных решений промежутку принадлежат числа

Ответ: а) б)

7. а)  Решите уравнение б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а)  Решим уравнение

б)  Найдем корни, лежащие в заданном отрезке, решая двойное неравенство:

Тогда искомый корень

Примечание.

Отобрать корни можно, используя тригонометрическую окружность (см. рис.).

 Ответ: а) б)

8. а)  Решите уравнение б)  Укажите корни этого уравнения, пр  инадлежащие промежутку

Решение. а)  Выполним преобразования:

Из уравнения (1) находим:

Так как решения уравнения (a) не удовлетворяют условию (2), то окончательно получаем

б)  Из решений, найденных в пункте а), промежутку принадлежит только одно число:      Ответ: а) б)

9. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Перейдём к системе:

Рассмотрим первое уравнение системы:

Условию удовлетворяют только решения и

б)  На отрезке корни отберём с помощью единичной окружности. Получаем:

Ответ: а) б)

10. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Найдем область определения уравнения:

Найдем корни числителя, используем формулу

Откуда

С учетом области определения уравнения получаем:

б)  Заметим, что значит, из первой серии корней указанному отрезку принадлежит только

Из неравенств следует, что ни один из корней второй серии не принадлежит указанному отрезку.

Ответ: а) б)

11. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поскольку при условии имеем:

Корни первой серии не удовлетворяют условию положительности синуса, поэтому решением уравнения являются только числа

б)  Разность между соседними корнями в серии равна 2π. Поэтому на отрезке имеющем длину 3π, лежит ровно одно число этой серии. Это число

Ответ: а) б)

12. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Знаменатель дроби не должен обращаться в нуль, то есть Преобразуем уравнение при этом условии:

Условию удовлетворяет только

б)  Отберём корни при помощи двойного неравенства:

Указанному отрезку удовлетворяет только

Ответ: а) б)

13. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Заметим, что уравнение определено при условии и то есть Преобразуем его при этом условии:

В области определения лежат только

б)  Отберём корни при помощи тригонометрической окружности. Подходят

Ответ: а) б)

14. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение при условиях :

Ограничениям соответствует только откуда

б)  Отберём корни при помощи тригонометрической окружности. Подходят корни 0 и

Ответ: а) б) 0,

15. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а остальные при этом существуют. Первый множитель равен нулю, если откуда При всех таких х второй множитель существует, поскольку он определен для любых значений переменной.

Рассмотрим второй случай:

Проверим выполнение условия Числа вида не подходят, поскольку тангенс любого из них равен нулю. Серия также посторонняя, поскольку соответствующие точки лежат во второй четверти, где тангенс отрицателен. Наконец, используя периодичность тангенса, его нечетность и применяя формулу приведения, получаем, что для всех k:

поэтому серия подходит.

Объединяя случаи, заключаем, что решениями уравнения являются или

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности (см. рис.), подходят числа и

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Ответ: а) б)

626816

а) б)

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 382.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Перебор случаев, Формулы двойного угла

16.

а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Перейдём к системе:

Получаем

или

При не выполнено условие При находим

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Ответ: а) б)

628749

а) б)

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ, Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

17.

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Упростим правую часть уравнения:

сокращать на можно при условии Далее получаем:

б)  Отберём корни при помощи тригонометрической окружности. Подходят

Ответ: а) б)

18. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Уравнение определено, если

При таких значениях переменной знаменатели дробей в левой и правой частях уравнения равны и отличны от нуля, а значит, должны быть равны числители этих дробей. Решим уравнение:

В области определения лежат серии корней

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят:

Примечание.

Выше мы решили уравнение применив формулу приведения и формулу разности косинусов. Можно было использовать условие равенства косинусов:

откуда в нашем случае получаем:

Критерии проверки:

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 399.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ, Разложение на множители, Тригонометрические формулы суммы и разности функций, Формулы приведения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

19.   а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие интервалу

Решение. а)  Дважды применим к левой части уравнения формулу синуса двойного угла:

откуда получаем:

Правая часть уравнения определена, если котангенс существует и отличен от  ±1, то есть при где Упростим ее при этих условиях, используя формулу разности квадратов:

Используем свойство пропорции и раскроем скобки:

В силу формулы получаем:

б)  Интервал можно получить поворотом интервала на угол –2π, поэтому достаточно найти решения, лежащие на интервале а затем уменьшить их на  –2π.

Заметим, что а потому в силу убывания арккосинуса

Следовательно,

Интервалу принадлежат корни на  –2π меньшие, то есть числа:

   и

Корни на интервале

Решить самостоятельно.

1. а)  Решите уравнение: б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

2. а)  Решите уравнение:    б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

3. а)  Решите уравнение б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

4. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку

5. а)  Решите уравнение б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

6. a)  Решите уравнение    б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

7. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

8. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

9. а)  Решите уравнение  б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

10. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Ответы.

1. а) б)        (№4)

2. а) б)    (№6)

3.  а) б)    (№11)

4. а) б) (№13)

5. а) б) (№20)

6. а) б)       (№23)

7. а) б) (№29)

8. а) б)    (№33)

9. а) б)          (№35)

10. а) б)       (№37)

Скачано с www.znanio.ru