В данной презентации даны основные методы решения тригонометрических уравнений в курсе алгебры 10-11 классов: метод замены переменной, метод введения вспомогательного угла, метод оценки, использование формул приведения, двойного угла, формулы понижения степени. Даны основные формулы решения тригонометрических уравнений и их частные случаи.
Методы решения тригонометрических уравнений.ppt
Тригонометрические уравнения: методы решения
n
1
t
arcsin
a
n
,
Zn
t g
x
s i n
x
c t
g
xc o
s x
0
cos
x
sin
x
3
2
,0
1
sin
x
cos
x
3
2
cos
x
,0
s
i
n
0
x
1
t
g
x
c
t
c
g
o
s
x
x
Тригонометрические уравнения: методы решения
Тригонометрические уравнения: методы решения
Определение
arcsin a arccos a
• Пусть число |a| ≤ 1.
arcsin числа а
называется угол х,
лежащий в пределах
[-π/2;π/2], sin которого
равен а
• Пусть число |a| ≤ 1. arccos
числа а называется угол х,
лежащий в пределах [0;π],
cos которого равен а
Тригонометрические уравнения: методы решения
Определение
arctg arcctg
arctg числа а
называется угол х,
лежащий в пределах
(π/2;π/2), tg
которого равен а
arcctg числа а
называется угол х,
лежащий в
пределах (0;π),ctg
которого равен а
Тригонометрические уравнения: методы решения
Формулы для решения
тригонометрических уравнений
arcsin
a
n, n
(
1
a, x
x
)
sin
2
arccos
cos
a
, nn
a, x
x
n, n
Z
tg x
a, x
arctg a
n, n
ctg x
a, x
arcctg a
Z
n
Z
Z
Тригонометрические уравнения: методы решения
Методы решения тригонометрических
уравнений
Разложение на множители
•
• Сведение к алгебраическому уравнению
• Сведение к однородному уравнению
• Введение вспомогательного угла
• Использование формул преобразования
тригонометрических выражений
• Использование свойства ограниченности
функций (метод оценки)
Тригонометрические уравнения: методы решения
1.Метод разложения на множители.
x
,0
x
x
,0
3
2
.
x
x
2
kk
,
,
k
1
3
,
kk
.
x
x
sin
cos
cos
,0
cos
x
x
3
2
3
2
sin
cos
sin
Тригонометрические уравнения: методы решения
2. Уравнения приводимые к алгебраическим.
sin 2
Уравнения вида решаются заменой
на при
x
1a
,далее решение сводится к решению
sin
sin
a
0
c
x
x
квадратного уравнения относительно , затем происходит отбор
полученных корней с учетом
a
1a
2
0
sin3
2
x
1a
sin2
x
2
x
Пример:
a
заменим на при
не удовлетворяет условию
6
sin
2 2
3
a
a
D
25
a
;5,0
2a
2
;5,0
)1(
sin
x
0
a
x
n
Znn
;
Ответ:
x
)1(
n
6
;
Znn
Тригонометрические уравнения: методы решения
2
,01
x
2
cos
2
2. Уравнения приводимые к алгебраическим.
sin8
cos
x
,01
cos
18
x
x
cos
cos
8
x
9
x
,0
,
,1;1
x
cos
tt
2
,0
9
8
t
t
9
8
,1
t
,2
kk
cos
t
t
,1 2
Ответ:
t
,2
kk
.
.
t
1
.
,1;1
9
8
1
.1;1
Тригонометрические уравнения: методы решения
2
x
0
c
cos
cos
sin
x
3).Однородное уравнение
x
0
cos
x
однородное уравнение первого
sin
bx
a
порядка
2
sin
bx
a
однородное уравнение
второго порядка.
Данные уравнения решаются делением каждого члена
sin x
0
уравнения на или на , так как и
.Если бы , то это противоречило основ
ному тригонометрическому тождеству
x2
sin x
cos x
0
x2
cos
sin
0
2
sin
x
2
cos
x
1
Тригонометрические уравнения: методы решения
3).Однородное уравнение
Пример:
3
sin2
cos
x
2
sin
cos
x
x2
tgx
x
делим на , получим
a
a
1
заменим на
вернемся
к замене или
a
2
2
tgx
x
3
arctg
3
;
n
2
x
cos
2
tgx
23
tg
0
x
D
;03
4
12
a
;1
3
a
2
16
tgx
1
4
x
;
Znn
.
Тригонометрические уравнения: методы решения
3).Однородное уравнение
1
4
x
Znn
;
.
Решить уравнение: 3sin2 x + 4 sin x ∙ cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е .
3sin 2 x + 4 sin x ∙ cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos2 x ,
sin 2 x + 4 sin x ∙ cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tg2 x + 4 tg x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0,
корни этого уравнения: y =1 или y=3, отсюда
3
tgx
tgx
x
arctg
3
n
;
Тригонометрические уравнения: методы решения
4.Метод введения вспомогательного угла.
Решим уравнение:
a cos x + b sin x = c,
2
a
2
Поделим обе части уравнения на .
Получим
b
sin
=
2
a
.
b
Т.к.
1
Существует угол t такой, что sint = , cost = .
a
cos
x
2
2
b
a
a
b
c
x
2
b
2
b
2
b
2
a
2
a
b
a
2
2
2
2
b
2
a
2
b
Получим sint cos х + costsin х = ,
a
2
a
c
2
a
2
b
2
b
sin(t+х) = , способ решения которого нам известен.
2
2
c
b
a
Тригонометрические уравнения: методы решения
Решить уравнение :
cos
a
3
,1
b
2
2
31
4
b
a
2
x
sin3
x
2
поделим обе части уравнения на 2, получим:
x
cos
2
sin3
x
2
1
Заменим и получим:
cos
sin
1
2
6
3
2
6
x
cos
6
sin
x
1
cos
6
6
sin
sin
6
x
1
2
,2
x
,2
Znn
x
Znn
3
Тригонометрические уравнения: методы решения
уравнения
2
2
x
cos
3
x
2
2
2
x
4
x
cos
cos
cos
cos2
1
Пример:
x
применим формулу
cos
cos
2
x
2
далее группируем и по формулам
0
8cos
ba
ba
cos
cos
2
a
6
x
4
x
2
x
0
x
)
0
(
6sin
2sin
x
x
2sin
x
4sin
x
x
2sin
6
)4sin
0
x
x
(sin
2
b
cos
sin2
sin
cos
2sin x
или 0
2
5. Использование формул при решении
применяем получим
x
4sin
0
x
6sin
ba
sin2
sin
sin
a
2
или 0
0
cos x
b
ba
cos
2
5sin x
Далее решаем получившиеся простейшие уравнения.
5sin2
cos
.0
x
x
Тригонометрические уравнения: методы решения
6. Использование ограниченности функций.
7
5
x
x
x
2
7
cos
cos
x
3
sin
cos
Для любых x имеем ,
а поэтому уравнение равносильно
sin
Пример :
cos
sin
x
1
Решим уравнение
2
2
x
sin
cos
x
1
Поскольку то,
2
5
2
x
sin
x
cos
тогда
x
2
sin
x
x
1
1
x
2
x
cos
sin
0
системе уравнений
1
0
3
x
0
x
cos
x
sin
множество решений которой
совпадает с множеством решений
совокупности систем уравнений
, 2 ;
Ответ:
и
sin
5
cos
x
1
cos
1
0
1
Znn
,2
1
.
0
Znn
cos
sin
2
2
cos
sin
5
x
sin
2
2
x
x
1
0
3
x
x
x
5
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
01.06.2017
Посмотрите также:
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
О портале
