Учебное пособие по математике для студентов первых курсов

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение  «Магаданский политехнический техникум» Учебное пособие по дисциплине «Математика» для специальностей 1 курсов Разработала: преподаватель ГБПОУ МПТ Иванова Н.И. Магадан 2016 Автор:  Н.И. Иванова, преподаватель ГБПОУ МПТ  Рецензент: Олешко Т. М., методист ГБПОУ МПТ Учебное пособие для студентов очной формы обучения.  Магаданский политехникум.2016­   с.32 Учебное   пособие   содержит   теоретическую   и   практическую   часть   в   которой   приведены примеры решения задач для студентов очной формы обучения. Предназначается в качестве учебного пособия для студентов первых курсов очной формы обучения средних специальных учебных заведений. 2 ВВЕДЕНИЕ       На протяжении многих лет математика является обязательной дисциплиной для проверки знаний   по   итогам   обучения.   При   реализации   основной   образовательной   программы   по специальности СПО с получением среднего (полного) общего образования предусматривается итоговый  контроль  по  освоению  образовательной  программы  среднего  профессионального образования,   который   согласно   требованиям   Федеральных   образовательных   стандартов проводится в рамках промежуточной аттестации. В настоящем пособии в помощь студентам первых   курсов   рассматриваются   основные   темы   изучения   курса   математики,   приводится примерный   вариант   экзаменационной   работы,     который   служит   наглядной   основой   для самостоятельной   подготовки   к   экзамену.     Для   итоговой   проверки   выносятся   следующие темы:   степени   и   корни;   логарифмы;   разделы   тригонометрии;   дифференциальное   и интегральное исчисление.  3 1.1. Свойства степени. ТЕМА 1. СТЕПЕНИ И КОРНИ Понятие степени изучается на протяжении нескольких лет. Для выполнения заданий  применяются свойства степени:  Операции со степенями.  1.  При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:                                                 a m ∙  a n  =  a m + n . 2.  При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются.                                                                                           an am=(a)n−m 3.  Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней  этих сомножителей.                                                      ( abc… ) n = a n ∙ b n ∙ c n … 4.  Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя  (знаменателя):                                                         ( a / b ) n =  a n /  b n . 5.  При возведении степени в степень их показатели перемножаются:                                                            ( a m ) n =  a m n . Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева  направо и наоборот.   П р и м е р .  ( 2 ∙ 3 ∙ 5 / 15 ) ² = 2 ² ∙ 3 ² ∙ 5 ²  / 15 ²  = 900 / 225 = 4 .                                                                                                                            Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ     означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).   1.  Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих  сомножителей:   n√abc=¿   n√a   ∙n√b   ∙n√c 2.  Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:     3.  При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:                4.  Если увеличить степень корня в n  раз и одновременно возвести в n­ую степень  подкоренное число, то значение корня не  изменится:                                                                                            n√a n√b =n√a b (n√a)m =n√am   4 n√a  = mn√am   5.   Если уменьшить степень корня в n  раз и одновременно извлечь корень n­ой степени из  подкоренного числа, то значение корня не изменится:          Пример:      6√64  = 6√26  =2                                                                                                                                                                                                                                 Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным  (целым) показателем определяется как единица, делённаяна степень того же числа с  показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:                                                                                 a−n= 1 an Теперь формула  a m : a n = a m ­ n может быть использована не только при  m , большем, чем  n ,  но и при  m ,  меньшем, чем  n .   П р и м е р .   a4 :  a7 = a 4 ­ 7 = a ­3 . Если мы хотим, чтобы формула  a m : a n = a m ­ n  была справедлива при m = n , нам необходимо  определение нулевой степени.  Степень с нулевым показателем.  Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1. П р и м е р ы .  2 0 = 1,   ( – 5 ) 0 = 1,   ( – 3 / 5 ) 0 = 1. Степень с дробным показателем.  Для того, чтобы возвести действительное число а в  степень  m / n , нужно извлечь корень n–ой степени изm­ой степени этого числа а :   m                           a Пример Вычислить         27 3 4=33=27 81 1 3 =  3√27 =3 3 4=(34) n=n√am 1.2. Решение показательных уравнений. Свойства степени применяются для решения показательных уравнений. Уравнение называется показательным, если в показателе встречается переменная. Для решения показательных  уравнений  1. 3х = 9 3х = 32 х = 2 Действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в  каких угодно степенях, эти числа можно убрать и приравнять показатели степеней.  2. 2х+2х+1 = 23, или 2х = 24 При решении показательных уравнений, главные правила ­ действия со степенями.   22х ­ 8х+1 = 0 8 = 23 8х+1 = (23)х+1  (аn)m = anm, 8х+1 = (23)х+1 = 23(х+1) Исходный пример стал выглядеть вот так: 22х ­ 23(х+1) = 0 Переносим 23(х+1) вправо получаем: 5 22х = 23(х+1) 2х = 3(х+1) х = ­3 3. 32х+4 ­11∙9х = 210 9х = (32)х = 32х По тем же правилам действий со степенями: 32х+4 = 32х∙34 32х∙34 ­ 11∙32х = 210 32х(34 ­ 11) = 210 34 ­ 11 = 81 ­ 11 = 70 70∙32х = 210 32х = 3 32х = 31 2х = 1 х = 0,5 Решим уравнение: 4. 4х ­ 3∙2х +2 = 0 Сначала ­ как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке. 4х = (22)х = 22х Получаем уравнение: 22х ­ 3∙2х +2 = 0 Итак, пусть 2х = t Тогда 22х = 2х2 = (2х)2 = t2 Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t: t2 ­ 3t+2 = 0 t1 = 2 t2 = 1 t1 = 2 = 2х 2х = 2 х1 = 1 t2 = 1 = 2х 2х = 1 1 = 20 2х = 20 х1 = 1 х2 = 0 1.3. Решение иррациональных уравнений.   обе   части   Пример 1. Решить уравнение  Решение. Возведем x2 ­3=1; Перенесем   ­3   из   левой   части   уравнения   в   правую   и   выполним   приведение   подобных слагаемых. x2 =4; Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня  ­2 и 2. Произведем   проверку   полученных   корней,   для   этого   произведем   подстановку   значений переменной уравнение. Проверка. уравнения исходное квадрат. в   x       в     6 При   x1 =­2     ­   истинно: .      ­ x2 =­2   истинно.  При Отсюда  следует, что исходное иррациональное уравнение   имеет два  корня ­2 и 2. Пример 2. Решить уравнение  Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия: а) x ­ 9  x   9; б) 1 ­ x  ­1 ; ­x  x   1. ОДЗ данного уранения: x Ответ: корней нет.  0; 0;  . Пример 2. Решить уравнение  Решение. Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудную задачу. Возведем обе квадрат: уравнения части  + 2  =  в .         x3 +4x   ­   1   ­   8  =   x3 ­   1   +   4  +   4;  =0;      проверку   устанавливаем, x1=1; Произведя Ответ: x1=1. Пример 3. Решить уравнение x =  Решение. В этом примере ОДЗ найти легко. ОДЗ этого уравнения: x Возведем обе части этого уравнения в квадрат, в результате получим уравнение x2= x + 1. Корни этого уравнения: x2=0. корень. лишний x2=0   [­1;  что ).       . x1 =   +   = 7. x2 =  Пример 4 . Решить уравнение  Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат и выполним  приведение подобных членов, перенес слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на 0,5. В результате мы уравнение      = 12,   (*) являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения  в  квадрат.  Получим  уравнение  (х +  5)(20 ­  х) = 144,   являющееся   следствием исходного. Полученное уравнение приводится к виду x2 ­ 15x + 44 =0.  Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни x1 = 4, х2= 11. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению. Отв. х1 = 4, х2= 11. Задачи для самостоятельной работы. получим     7 1. Найти значение выражения: а) 82­4 ;   б) ­ 40,04 + 5­ 1;   в)  д) 162­5 ;   е) 1716 ;  ж)  ­  1 4 1 1    5     6 23  3 3 ;35 2. Решите уравнение   1 2  3       з) 322­3 ;   и) ­ 1127  4 33  13 4 24  8 4 ;35 ; г)   5  11 3 .   1 ­  1    3     1 3 а)52х+1 = 5х+7 ;.б) 33х­2 = 81; в)22х­1 = 16; г)33х+2 = 9 ;д) 52х­3= 125; е) 4х­2= 16. 3. Решить уравнение ;  б) 3 х 9  ; в) 3 х 4  ;г) 2 х 1 3  ;д) 3 х 5 2 ; е) ; 4 х 3 1 а) 6 х 5 х 2 2 3 Вопросы для самопроверки. 1. Дать апределение степени. 2. Сформулировать свойства сткпени. 3. Сформулировать свойства корней. 4. Перечислить способы решения показательных уравнений. 5. Перечислить способы решения иррациональных  уравнений. ТЕМА 2. ЛОГАРИФМЫ 2.1. Логарифмические формулы. Логарифмом  положительного числа  N  по основанию  ( b > 0,  b 1)называется показатель степени  x , в которую нужно возвести  b, чтобыполучить N .  Обозначение логарифма:                                               Эта запись равнозначна следующей:  bx = N .   П р и м е р ы :     log3  81 = 4 , так как  34  = 81 ;                                log1/3 27 = – 3 , так как  ( 1/3 ) 3 = 33 = 27 .                                   Основные свойства логарифмов.                                               1)   log   b = 1 ,  так как  b 1 = b .            b                                                                       2)   log   1 = 0 ,  так как  b 0 = 1 .            b 3)  Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей: 4)  Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:      log ( ab ) = log  a + log  b .       5)  Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания:  log ( a / b ) = log  a – log  b . Следствием этого свойства является следующее: логарифм корня равен логарифму  подкоренного числа, делённому на степень корня: log  ( b k ) = k ∙ log  b . 8 6)  Формула модуля перехода ( т.e. перехода от одного основания логарифма к другому  основанию ): logba  = logca logcb                                                                                                 Десятичным логарифмом называется  логарифм по основанию 10. Он обозначается  lg ,  т.е. log 10 N = lg N . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, ... pавны соответственно 1,  2,  3, …,  т.е.  имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001, ... pавны соответственно –1,  –2,  –3, …, т.е. имеют столько отрицательных единиц,  сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей ( считая и нуль целых ).  Логарифмыостальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой. Целая часть  логарифма называется характеристикой. Для практического применения десятичные  логарифмы наиболее удобны. Натуральным логарифмом называется  логарифм по основанию  е. Он обозначается  ln ,  т.е. log e N = ln N. Число е является иррациональным, егоприближённое значение  2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число ( 1 + 1 / n ) n  при  неограниченном возрастании  n . 2.2.Логарифмические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании,  называется логарифмическим уравнением. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида loga x = b. (1) Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное  решение x = ab. Пример 1. Решить уравнения: Решение. Используя  получим  a) log2 x = 3,       b) log3 x = ­1,       c)  a) x = 23 или x = 8;     b) x = 3­1 или x = 1/3;     c)  Приведем основные свойства логарифма. Основное логарифмическое тождество:  или x = 1. где a > 0, a ≠ 1 и b > 0. logх­18 = 1 (х­1)1 = 8 х­1 = 8 х = 9 Задачи для самостоятельной работы. 1. Вычислить значение выражения  ℓ   oq   log3 75 – 2log3 5.  3 8 – 2  oq  3 2  +  oq  3 9  –  oq  3  2   ℓ ℓ ℓ     6  6 8 2 log log log 9 log232+log327−7 log216+log525−log381 6 9 log28−log3 1 9 +log51 9+log416+log5125 log1 3 log318−log32 2. Решить уравнение : а)  log 5  x  1 2 2 б)  log 2 2 x  3 x   3 10  в)  log 4  2 x 3 3  г)  log 5   1 x 1 2 д)  log 2 2 x  2 x   2 0   е)  log 4   1 x 3 2  ж)   log 3  x  1 2 2 Вопросы для самопроверки. 1. Определение логарифма. 2. Свойства логарифма. 3. Виды логарифмов. 4. Алгоритм решения логарифмических уравнений. 5. Виды логарифмических уравнений. ТЕМА 3. ТРИГОНОМЕТРИЯ 3.1. Тригонометрические формулы. Упростить выражение: 1.     1 2 cos    ctg 1   2 Решение:    1 2 cos  1     ctg  2   1 tg  2   1  ctg  2  1 10     tg  2. tg ctg Решение:  2 cos tg   ctg tg      2 cos  1 sin 2   cos 2  3. 1   sin  cos Решение:   cos   sin 1 1   sin  cos   cos   sin 1 1  2    sin    1 cos 2  cos   sin  0 4.Вычислить:  Решение. . sin 105  sin 105   sin( 60    )45  sin  60 cos 45   cos 60  sin 45   3 2 2 2 Ответ:  sin 105  966,0 . 5.Дано:    sin    cos  6,0 Найти:  sin cos Решение: 2   sin    sin   2 sin  sin21 sin2 sin   cos  2  cos 6,0   sin2  36,0 cos   cos   cos 32,0 6,0  cos  64,0 2 cos   36,0  1 2 2 2   13 966,0  2 4 , где  3 2 4 5 6.Дано  sin  Решение. Имеем сначала   2 . Вычислить  sin  , 2 cos  2  и  . tg  2 cos   1 sin 2   1 . 16 25  3 5 11 Так как  , то    3 4  2   sin  2  ,0 cos Тогда  sin  2  1   cos 2  3 5 1  2   ,0 tg .  2  0  2 ; 5 5 . cos  2  1   cos 2  3 5 1  2  52 5 Для нахождения   можно воспользоваться различными формулами, например, tg  2 . tg  2  sin cos  2  2  1 2 Ответ:  ;   sin   2 5 5 cos  2  52 5 ;   tg  2  . 1 2 3.2. Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется  тригонометрическим.  Простейшие тригонометрические уравнения. sinx=a, x =  Частные случаи:sinx=0 , x= n, π n∈R , sinx=1, x= −π 2 +¿ 2πn,  n∈R π 2 +¿ 2πn,  n∈R , sinx= ­ 1, x= (−1)narcsina+πn,n∈R π 2 +¿ πn,  n∈R ,  n∈R , cosx=1, x=2πn,  n∈R , cosx= ­ 1, x= π+¿ cosx=0 , x= x= 2πn,  n∈R tgx=a, x=arctga+πn,  n∈R Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического  уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнения для получения его  простейшего вида и  решение полученного простейшего тригонометрического  уравнения. Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений. 1. Алгебраический метод.  Этот метод нам хорошо известен из алгебры    ( метод замены переменной и подстановки ).                                   П р и м е р   1.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x ∙ cos x = 1.       Р е ш е н и е .     cos 2 x + sin x ∙ cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 , 12 sin x ∙ cos x – sin 2 x = 0 ,                                               sin x ∙ ( cos x – sin x ) = 0 ,                                  П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.       Р е ш е н и е .    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,                                2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,                                cos 4x ∙ ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,                                cos 4x ∙ 2 sin 3x ∙ sin x = 0 ,                               1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,                              Задачи для самостоятельной работы. 1.Найдите значение  sinα  . если известно, cos   = α 1 2  и   α  в 1 четверти. Найдите значение  sinα  , если известно, cos   = α Найдите значение  cos  α    , если известно,  sinα =  Найдите значение   cos  α    , если известно,   sinα =  Найдите значение  sinα  . если известно, cos   = α Найдите значение  sinα  . если известно, cos   = α α  в 1 четверти. 1 3  и  угол  1 2  и   угол в 1 четверти. 1 3  и  угол  α  в 2 четверти. 3 5  и угол   4 5  и  угол  α  в 1 четверти. α  в 1 четверти. Найдите значения   sin ,  если  cos= 0,6 , и угол  в 4 четверти. Найдите значения   sin ,   если  cos= 0,8 , и угол  в 4 четверти. 2.  Решите уравнение   ,    б)   sin а) cosx= 2 2 1х 2     ,  в) cosx= 0  , г)sinx= ­    ,    д)  cos 2 2 1х 2 ,          е) sinх = 0  , 13 ж)cosx = 3 2   ,     з)   sin   .              1х 2 Вопросы для самопроверки 1. Определение синуса, косинуса, тангенса. 2. Табличные значения тригонометрических функций. 3. Основные формулы тригонометрии. 4. Простейшие тригонометрические уравнения. 5. Тригонометрические уравнения. ТЕМА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.1. Определение производной. Производной функции у=f(x), определённая на некотором интервале (a; b). Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения приращения функций к  приращению аргумента в этой точке при стремлении приращения аргумента к нулю, если  такой предел существует и конечен, то есть . )(/ xy .  y lim x  x  0 Для нахождения производных применяются следующие формулы (приложение 3) Пример 1.  Продифференцировать функцию у = (х2 +3x)5. Решение.   Коэффициент   сложности   данной   функции   равен   2.   Составляющими   функции являются у = u5, u = х2+Зх. Согласно правилу дифференцирования сложной функции, находим =  2 ¢  3 ) x     2  2  4  ( 4  (2  / y u u / x y x x x x 5( 5( =  3 ) x 3 ) x y 3) Пример 2.  Продифференцировать функцию у = sin2x. Решение.   Коэффициент   сложности   данной   функции   равен   2.   Составляющими   функции являются у = sin u, u = 2x. Согласно правилу дифференцирования сложной функции, находим ¢  / y u u   2 2cos 2 Пример 3.  Продифференцировать функцию у = sin2 4x. Решение.   Коэффициент   сложности   данной   функции   равен   3.   Составляющими   функции являются у = u2   u = sin v, v = 4x. Согласно правилу дифференцирования сложной функции, находим       =    cos 2 cos 2 sin 2       2 x x x x x / x         y    / y u u / x   2 sin 4 x =     2   x  sin 4    4 8 sin 4  2 sin 4  x использована формула синуса двойного аргумента   cos 4 cos 4   x x x       4 cos8 x sin 2   )   2sin cos   2 sin 4 x    sin 4 x    x    2 sin 4 (в   окончательной   записи   cos 4  4 x x     В дальнейшем, когда в практике дифференцирования накопится достаточный опыт, можно обходиться без промежуточных  функций Формулы дифференцирования сложной функции: 14 n  1  u  cos  u u   u u   u         n u  sin cos tgu  u    n u    u     ctgu   arc cos u     sin 1 2 cos   u 1 2 sin   arcsin u    1  u  u 1  2 u  u   u  2 1 1  u      arc cos u     1  1 2 u  u   u a ln  a u      u u a u e ln    log u     u    u e u 1 u  e  u  log u I. Найти производные  функций: 1)   ; 2)  y  log 2 x  2 x tgx y  e 54 x 6) у = х2 ln 2 x.   Решение:  1)   y  log 2 x  2 x tgx ;  4)  ; 3)  1 x y x y  2 ln( x  3 x  7)  5 )  у =  1 2 x  1 5  5 3 x  1  log 2 x  2 x tgx  / y   log 2 x  2 x tgx    ln x ln 2  2 x tgx  ln x ln 2    2 x tgx    ln x  ln 2 2 x tgx    1 ln 2  ln x     2 x   tgx  2 x  tgx    =    1 ln 2 1   2 x x tgx  2  x 1 2 cos x 1 ln 2  x  2  x tgx 2 x  cos 2 x 2) y   y 3)   e 54 x  5 x 4 e    4   5 x e    4 e  5 x   5 x      5 4 e  5 x   20 e  5 x y  2 ln( x  3 x  7) y   2 ln( x  3 x  7)     2 x x 2  3 x  3 x      7 7  2 x  3 x 3  7 2 x 4.2. Геометрическое применение производной   Касательной   к   графику     функции   y  )(xf в       точке   положение секущей   при  стремлении точки  M MM 0 касательной   равен   ,   т   .е.     ( 0xf  ) R  ( 0xf ) или   иначе   15 yxM ( ; 0 0 0  к  точке  называется     предельное ) , угловой коэффициент R 0M ¢ tg )(xf .   В   том   состоит           геометрический   смысл   производной   уравнения.              является касательной к графику функции в точке  yxM ( 0 ; 0 , запишем     в виде: ) 0 y  kx b С .    Уравнение касательной   у = f(x0) +f/(x0)(x­x0). Пример 1 Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у=2х3 +3х2 ­ 2 в точке х0=1. Решение.  k =y/(x0)=6x2+6x. k = 6*1+6*1=12. Пример 2.Найти тангенс угла наклона для функции  у =  х2 +3х,  в точке х0 = ­ 1. Решение. tg= y/(x0) = 2x+3. tg=2(­1)+3= 1. Пример 3.Записать уравнение касательной к графику функции  у = х4 + 3х2 ­ 4х +2 в точке     х0 = 0.  Решение. Уравнение касательной у = f(x0) +f/(x0)(x­x0). f(0) = 2,   f/(x) = 4x3 + 6x ,   f/(x) =0. Уравнение касательной у = 2. Пример 4.     Найти точки графика функции у = х3  – 3х2  , в которой касательная к нему параллельна оси абсцисс. Решение. Если касательная параллельна оси абсцисс, то k = 0, или у/ = 0. у/ = 3х2 – 6х,  3х2  – 6х = 0, х(3х­6) = 0, х = 0 или х = 2. В точках 0 и 2 касательная параллельна графику функции. 4.3. Физическое применение производной Механический смысл производной. Пусть точка движения вдоль прямой  и за время t от  начала движения проходит путь . Зафиксируем какой  ­ нибуть )(tS¢ , т.е. задана функция )(tS момент времени t и расстояния , промежуток времени от t до t+h , где h ­ число.  За время от t до  t+h  точка   прошла   путь   другой  S(t+h)­S(t).   Средняя   скорость   движения   точки   за   эти промежутки времени  равна отношению .   При  уменьшении           h   это Vcp  tC (   tS )( h ) h отношение приближается к некоторому числу, которое называется мгновенной скоростью в момент времени t и обозначается V(t). Число V(t) называется предельным  данного отношения при n стремящимся к нулю          это   равенство   означает,   что   отношение tS (   tS )( tV )(  h ) h можно   рассматривать,   как  tS )( tS (  h ) h приблизительное значение мгновенной скорости V(t) Если h, уменьшаясь стремиться к нулю, то погрешность приближения становится сколь угодно малой, т.е. также стремится к  нулю. Отношение     называют   различным     отношением,   а   его   предел   при   0n tS (   tS )( h ) h называют производной функцией S(t) и обозначают )(tS¢ .                     Пример 1.  Найти скорость и ускорение тела , которое движется по закону s(t) = 2t3 + t2 – 4  в момент времени t = 4c.  Решение. Найдем скорость тела в момент времени 4с. v(t)= s/(t) = 6t2 +2t , v(t) =6*42 + 2*4= 104м/с. Ускорение равно a(t) = 12t + 2t , a(4) = 12*4+2*4= 56м/с2. Пример 2.   Точка движется прямолинейно по закону  s  = 6t  –  t2  .В какой момент времени скорость точки будет равной нулю? 16 Решение. Определим скорость движения точки в любой момент времени v= s/ = 6­2t. Полагая, что v=0, 6­2t =0, t=3с. Пример   3.  Тело   массой   10кг,   движется   прямолинейно   по   закону  s  =   3t2  +  t  +   4.   Найти кинетическую энергию тела через 4с после начала движения.  Решение. Найдем скорость движения точки в любой момент времени  v=  s/  = 6t  + 1.  v(4)= 24+1=25м/с.   Определим   кинетическую   энергию   тела   в   момент   времени   4с.   Е= mv 2  3125 Применение производной к исследованию функции. Дж 4.4. 2 2 25*10 2  4.4.1. Интервалы монотонности функции. Точки экстремума. Функция   называется   возрастающей   (убывающей)   в   некотором   интервале,   если   в   этом интервале каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.   Как   возрастающие,   так   и   убывающие   функции   называются   монотонными.   Если функция не является монотонной, то область ее определения можно разбить на конечное число   интервалов   монотонности   (которые   иногда   чередуются   с   интервалами   постоянства функции). Монотонность   функции   у   =  f  (х)   характеризуется   знаком   ее   первой   производной  f'(х),   а именно, если в некотором интервале f '(x) > О (f '(x) < 0), то функция возрастает (убывает) в этом   интервале.   Следовательно,   отыскание   интервалов   монотонности   функции   у   =  f(x) сводится к нахождению интервалов знакопостоянства ее первой производной  f /(x) Точка x =  хо называется точкой максимума (минимума) функции у = f.(x), если существует такая   окрестность   точки   х0,     что   для   всех   х   (х   x0)   этой   окрестности   выполняется  неравенство                               f(x) < f(x0)        [f (x) >f(x0)] Точки   максимума   и   минимума   функции   называются   точками   ее   экстремума,   а   значение функции   в   точке   максимума   (минимума)   ­   максимумом   (минимумом)   или   зкстремумом функции. Точками   экстремума   могут   служить   только   критические   точки   I   рода,   т.   е.   точки, принадлежащие области определения функции, в которых первая производная f /(x)  обращается в нуль или терпит разрыв. Точками экстремума являются лишь те из критических точек, при переходе через которые первая производная f /(x) меняет знак, а именно, если при переходе через критическую точку х = хо в положительном направлении знак  f /(x) меняется с «+» на  « – » (с «– » на «+»), то точка х = хо есть точка максимума (минимума). Отсюда     получаем       правило       отыскания       интервалов   возрастания,   убывания     и   точек экстремумов    функции. 1. Найти область определения функции. 2. Найти критические точки первого рода. 2.1. Найти у/. 2.2. Решить  уравнение у/ = 0. 3. Определить интервалы возрастания  и убывания  функции. 3.1. На числовую прямую нанести   область   определения функции и     критические точки второго рода. 3.2.  Определить знак у/ в каждом интервале. 4. Сделать вывод о наличие точек  экстремума. Если   при   переходе   через   критическую   точку   у/  меняет   знак   с   «+»   на   «–»,   то   это   точка максимума, а если  с «–» на «+», то это точка минимума. 5. Найти значение функции в точке экстремума. Записать точки экстремума. В заключение заметим, что точки, в которых производная обращается в нуль, иногда проще исследовать на экстремум, выяснив знак второй производной f" (х0): точка х = хо, в которой f 17 (хо) = 0, а f " (х) существует и отлична от нуля, является экстремальной, а именно, точкой максимума, если f " (х0) < О, и точкой минимума, если f " (х0) >0. Пример 1.  Найти интервалы монотонности функции у =  , точки экстремума. Решение.  1. Найти область определения функции. Область определения данной функции ­ вся числовая ось    4 x 2. Найти критические точки первого рода. 2.1. Найти у/.    y   4 x  4 3 / 3 x  5   3 4 x  2 4 x  2 4 x  x   1 34 x 3  5 x   ;    2.2. Решить  уравнение у/ = 0 , т.е.  = 0,   24 x  x   1  х1 = 0, х2 = 1   ­ критические точки  3. Определить интервалы монотонности (возрастания  и убывания)  функции. 3.1. На числовую прямую нанести   область   определения функции и     критические точки второго рода.  3.2.  Определить знак у/ в каждом интервале.                              у/                –                  –                   + │                      │                                                                                                         у     убывает    0  убывает     1  возрастает 4. Сделать вывод о наличие точек  экстремума. Так как переходе через критическую точку х1 = 0  у/  не меняет знак, то эта точка не является точкой экстремума, а при переходе через критическую точку  х2 = 1   у/   меняет знак    с «–» на «+», то это точка минимума. 5. Найти значение функции в точке экстремума.  у(1) =  4 x  4 3 3 x  5  x  1  4   1  4 3 3   1    5 1 1 Записать точки экстремума.                 А(1;  4 2 3 5 4   1 3 )­ точки минимума 2 3 Пример 2.  Найти  интервалы возрастания, убывания   кривой  у =   ,  точки экстремума. x  3 4 x Решение.     1.Найти область определения функции. Функция задана дробью. Дробь не имеет смысла, если ее знаменатель равен нулю, т.е. если х = . Поэтому область 0. Числитель дроби   имеет смысл при   любом значении х   х   ;   определения функции:  x     2.Найти критические точки первого рода   ;0) (0; (   ) y     3 x  4  x  3 x  4    x  2 x 3 x  4   x 2 3 x  3   x ( x x 2   4) 1 3 3 x  3  x 2 x  4  4  2 3 x x 2 18               y   0,     если     4 2  2 3 x x  0 , т.е.  x 2 2 х 3   4 0  0    x   34 8 0 ,   x   34 8 ,    ,  x   3 2      ­ критическая точка  первого  рода. 1, 26 х   3. Найти интервалы  возрастания и убывания. 4. Точки экстремума                  у/                    –                          +                             +   │                              *                                                                                                             у       убывает   ­ 1,26    возрастает    0                возрастает                                                                     min                    5. Найти значение функции в точке экстремума.  у(­1,26) =  ­1,6       А( ­ 1,26; ­1,6) точка минимума. 3 x 4  x  х  1,26   1, 26   3 1, 26  4    2 4  1,26  Пример 3.  Найти  интервалы возрастания, убывания   кривой  у =   ,  точки экстремума.  3x x х   ;   Решение. 1. Найти область определения функции. Функция задана дробью. Дробь не имеет смысла, если ее знаменатель равен нулю, т.е. если х = 0. Числитель дроби   имеет смысл при   любом значении х   . Поэтому область определения функции:     x     ) ;0) (0; ( 2. Найти критические точки первого рода     x (   3 3 1 x x x x       y   3   x    x  2 x , т.е.      3) 1 x    x 3 2 x  3 2 x x 2 x   y   0,     если     3 2 x  0    так  как  3 0 , критических точек нет  3 0  2 х 0 3. Найти интервалы  возрастания и убывания.                     у//                 +                 +                                                                                  *                                                              возрастает     0    возрастает 4. Сделать вывод о наличие точек  экстремума. Точек экстремума нет. В заключение заметим, что точки, в которых первая  производная обращается  в нуль, иногда проще исследовать на экстремум, выяснив знак второй производной у//: точка  х = х0, в которой у// существует и отлична от нуля, является экстремальной, а именно, точкой максимума, если     у//< 0 и точкой минимума  в противном случае.           Пример 4.  Найти  интервалы возрастания, убывания   кривой  у =   ,  точки 3 2 x  12 x 2  18 x  1 экстремума. Решение 1. Область определения функции  x   ;   19              2. Найдем критические точки первого рода  , 24 x  18 2  x 6 = 0,     = 0    x x 2 4  3 y   3  x x 12 2 , если    2  18 x    1  x   18 24 26 x y  х1 = 3, х2 = 1 критические точки  3. Найдем у//       26 x   18 24    x    0     y 4. Рассчитаем  значение  второй производной  в критических точках первого рода                  24 12 x  в точке х1 = 3 функция имеет минимум  в точке х1 = 1 функция имеет максимум y    12 x  24   x  3  12 3 24 36 24 12 0        x  12 y 5. Найдем значение функции в точке  экстремума 12 1 24 12 24  12 0     24     1 x  y (3)  3 2 x  12 x 2     2 3  3    12 3  2 x  3  = ­ 1    18 3 1  =  7   18 1   18 1     2 1 3     12 1 2  2  3  x 3  x x 2 12 (1) y  А(3; ­1) точка минимума, В(1; 7) точка максимума. Задачи для самостоятельной работы. 1.  Найти производные    следующих функций:   а) у = х2 – 2х +1: б) у= 5х2 ­4х: в) у=  х2 ­  : г)у =     18 1 1 1 2 3х 3 1 2 2 х 1 : д) у=  : е) у =  3 х 7  . 4 х 2.   Найти производные    сложных функций:    а) у=  : б) у= соs5x : в) у = tg3x , г) у= е3х , д) у= 7х , е) у= е1­х , ж) у= 65х. з) у= ln2x .  sin x 2     и) у= 5lnx . к) у= log3x .   3.   Найти производную функции в точке:        1. у= х3 – 2х, х0 = ­ 2 ;   2);  y = (x­1)e3x . x0= 0 3)  y= 2sinx +cos2x. X0 =   2  4.  Решить уравнение f/(x)=0    у = 2x3+ 3 x2 – 12x ­3 5.  Решить неравенство: f/(x) <0    Y = ­x2 + 3x +1 6.  Найти коэффициент угла наклона касательной к графику функции:         У= х3 + 2х2 – 4х ­3 в точке х0 = ­ 2. 7.  Найти промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума              у = х3 – 2х2 + х +3.  8.    Материальная точка движется по закону х(t) = t3 – 5t2 +6t + 7. где          t – время в с., х – перемещение в м. Найти скорость и ускорение через  3 сек. 9.  Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции:         у= х3 + 3х2 – 2х ­3 в точке х0 = ­ 3. 10.  Найти промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума              у = х3 – х2 ­ х +2.  11.   Материальная точка движется по закону х(t) =2 t3 + t2 ­ 4. где  20 возрастания и убывания функции, точки перегибы графика функции  и интервалы          его     выпуклости и вогнутости: а)   у = х2 + 1 б)   y   x 2 36 x  3 2 x  4 x в)  y  5  34 x x 13. Провести полное исследование  функции и построить график:  а)   y = (x2 + 5 x + 6) x2  ;                               б)  ; в)   y = x4 – 8 x2 + 1  ;                                      г) у 2  1 х 3 х 2 х  у  2 х 2 х .  3 Вопросы для самопроверки.  Геометрическое применение  производной. 1. Определение производной. 2. Основные правила и формулы дифференцируемости функции. 3. 4. Физическое (механическое) применение  производной. 5. Возрастание, убывание функции. 6. Экстремумы функции. 7. Выпуклость, вогнутость и перегибы функции. 8. Полная схема исследования функции . ТЕМА 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 5.1.  Неопределенный интеграл.   Неопределенный   интеграл   ­   это   раздел   математического   анализа,   в   котором   изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления  и приложения. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет  основу аппарата математического анализа. Интегральное   исчисление   возникло   сразу   после   рассмотрения   большого   числа   задач естествознания     и   математики.   Важнейшая   из   них   ­   физическая   задача   определения пройденного   за   данное   время   пути   по   известной,   но   может   быть,   переменной   скорости движения   и   значительно   более   древняя   задача   вычисления   площадей   и   объемов геометрических тел. Центральным   в   интегральном   исчислении   является   понятие   интеграла3   которое,   однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям определенного и неопределенного интегралов.             Интегрирование функции f(x) — это операция отыскания (для данной функции f(x)) так называемой первообразной функции. Первообразной является такая функция F(x), по отношению к которой исходная функция f(x) производна, т. е. f(x) = F'(x).  Например, для функции  f(x) = 2x2­3x  первообразной будет F(x) =  . точнее, семейство первообразных   F(x)+С, где С ­ произвольная постоянная.  2 3 3 x x 2 3 2  Действительно, легко убедиться, что                                 2 x 2 – 3x   2 3 3 x  3 2 2 x C     21      Переход   f(x)   [F(x)   +C]   есть   операция   интегрирования   функции.     Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность всех ее первообразных                                        ( ) f x dx F x C ( )      Геометрически   неопределенный   интеграл   представляет   семейство   плоских   кривых, смещенных друг относительно друга вдоль вертикальной оси. Таблица   основных   интегралов   получается   из   основных   формул   дифференциального исчисления путем прямого их обращения. Замечания: • Интегрирование, как правило, значительно сложнее дифференцирования. Оно не является механическим, требует большей практики и изобретательности. •   Интегрирование   ­   действие,   обратное   дифференцированию,   и   его   можно   проверить дифференцированием. • Некоторые обратные действия в математике не однозначны и не всегда выполнимы; здесь это приводит к существованию так называемых неберущихся интегралов. В   простейшем   случае,   когда   заданный   интеграл   представляет   одну   из   формул интегрирования, задача интегрирования сводится к простому применению этой формулы. Во   всех   других   случаях   задача   интегрирования   состоит   в   том,   чтобы   путем   подходящих преобразований привести данный интеграл к одной или нескольким формулам интегрирова­ ния (если это возможно). Примеры.   Найти неопределенные интегралы:  1)      2)  dx 2 x    2 x dx    2 1 x   2 1  C   C    C  1 x  1 1 x =  1 5 x    1 2  C  1 2 5 2 x   1 2   dx 5 2 2 x  2  dx  3 2  x dx  3 2  5 2  2  x dx  2 x 3 dx 3 2 x 2 2 4 x   3 2 x 2 x  5 dx   x2 3 x  5 x2  C 2 dx    . Здесь подынтегральная функция, разложена на суммы дробей, постоянные сомножители вынесены за знак интеграла, и получены под знаком интеграла табличные функции. 3.     2 2 x x   1 1 dx Подынтегральная функция ­  неправильная дробь. Выделим целую часть  2 2 x x   1 dx 1    x 2    1  2 x 1 2 dx   = x  ­ 2 arctgx + C 2 2 x x   1 1  2  2 x  1 dx   1  2  2 x  1 dx  dx    2 2 x dx  1   dx  2  dx  2 x 1           5.2. Определенный интеграл. Для вычисления определенного интеграла,  когда можно найти соответствующий  неопределенный интеграл, служит формула Ньютона­ Лейбница 22           b  a ( ) f x dx  ( ) f x dx  b a  ( ) F x b a  ( ) F a  ( ) F b Примеры:   Вычислить интегралы 1. )   6 2   1 5 6  4 8 x x dx  2   1 8 6 x 4 x  5  4 x dx  2   1  4 6 x   x 5  4  dx  2   1 4 2  x dxх dx  1  5  4 5 x   5 6 2  1  5  3 x  3 2  1 6  5  5 2     1 5  5  3    3 (2   ( 1)  3 )       6 32 1 5 1 3 8  1    33 6 5 5 9    3 8 198 5 45  24 1,875         5.3. Геометрическое применение интеграла. Как   известно,   определенный   интеграл   от   непрерывной   неотрицательной   функции   равен площади криволинейной трапеции (геометрический смысл определенного интеграла)                                                                    S b   a ( ) f x dx Криволинейной трапецией называется плоская фигура,ограниченная графиком  непрерывной неотрицательной функции f (x),  ,прямыми х = а, х = b и отрезком оси ОХ. x  a b ,  С помощью определенного интеграла можно также вычислять площади  плоских  фигур, так как эта  задача  всегда  сводится к вычислению площадей криволинейных трапеций. Площадь   всякой     плоской     фигуры     в     прямоугольной     системе   координат   может   быть составлена   из   площадей   криволинейных   трапеций,   прилегающих   к   оси   Ох   или   к   оси   Оу Задачи   на   вычисление   площадей   плоских   фигур   удобно   решать   по   следующему   плану: 1. По условию задачи делают схематический чертеж. 2. Заштриховывают   плоскую фигуру, ограниченную заданными линиями. 3. Определяют,  является ли плоская фигура криволинейной трапецией. 4 а)  Если данная плоская фигура является криволинейной трапецией,  то   из     условия   задачи   и   чертежа   определяют   пределы   интегрирования     криволинейной трапеции и   вычисляют площадь   криволинейной трапеции по формуле  S b   a ydx  4 б)    Если данная плоская фигура  не является криволинейной трапецией,  то представляют искомую площадь как сумму или разность   площадей  криволинейных трапеций.   Из  условия задачи     или   чертежа   определяют   пределы   интегрирования   для   каждой   составляющей криволинейной трапеции. 5. Записывают каждую функцию в виде y = f(x)  6. Вычисляют площади каждой  криволинейной трапеции и  площадь искомой фигуры. Задача 1.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной   линиями  у2 = 9 х, х = 16, у =0. Решение. 1. По условию задачи делают схематический чертеж. 23           18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 у 0 4 8 12 16 20 24 28 32 х                                  2. Заштриховывают   плоскую фигуру, ограниченную заданными линиями. 3. Определяют,  является ли плоская фигура криволинейной трапецией. Да,   данная   плоская   фигура   является   криволинейной   трапецией,   т.к.     она     ограниченная графиком    непрерывной   неотрицательной   функции   у  =   ,    прямыми  х  =  0,  х  =  16  и 9x отрезком оси ОХ, т.е. уравнение оси у = 0 4. Если данная плоская фигура является криволинейной трапецией, то из  условия задачи и чертежа определяют пределы интегрирования  криволинейной трапеции. Из чертежа определяем пределы интегрирования    х = 0, х = 16 5. Вычисляют площади   криволинейной трапеции    S  b  a ( ) f x dx  16  0 9 xdx  16 3  0 xdx  16 3  0 1 x dx 2 3 x 2   3 3 2 16 0  3 3 2   x 2 3   16 0   2  16 x xед 0   2 16  16     2 16 4 122( 2 )   Если плоская фигура не является криволинейной трапецией, то искомую площадь следует представить как сумму или разность площадей криволинейных трапеций   и находить   и   1S 2S их по общему правилу. Пусть   функция   f(x)   непрерывна   на   отрезке   [а,  b]   и   принимает     на   этом   отрезке   как положительные, так и отрицательные значения. Тогда нужно разбить отрезок [а, b] на такие части, в каждом из которых функция не изменяет знак, затем по приведенной выше формулу вычислить соответствующие этим частям площади и найденные площади сложить Задача 2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной   линиями  у = х2­ 4,  х =1,  х = 3, у = 0 Решение. Данная плоская фигура не является криволинейной трапецией, так как на отрезке [1;3] функция   у = х2­ 4 принимает как отрицательное, так и положительное значения. Разобью отрезок [1;3] на такие части, в каждой из которых функция не меняет знак и тогда  6 4 2 0 ­2 ­4 ­6 0 ( ) f x dx  у ­1 S 12 A  2  1  рассчитаю площадь данной плоской фигуры по  формулам     =  S  S  S 2 3 D 12 A 2 3 1 х 2  1 ( ) f x dx  3  2   ( ) f x dx 2  1  2 x  4  dx  3 x 3  4 x  2 1  3 2 3   4 2    3 1 3   4 1  16 11    3 3 5  3 24                    