Поделиться
Угол между прямыми в пространстве..ppt
Угол между прямыми в пространстве.
Перпендикулярность прямых
Две прямые
Лежат в одной плоскости
Не лежат в одной плоскости (скрещиваются)
Имеют общую точку (пересекаются)
Не имеют общих точек (параллельны)
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Если одна прямая лежит в данной плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые скрещиваются.
Признак скрещивающихся прямых
Признак скрещивающихся прямых.
Дано: АВ α, СD ∩ α = С, С АВ.
a
b
Доказательство:
Допустим, что СD и АВ лежат в одной плоскости.
Пусть это будет плоскость β.
Доказать, что АВ
Скрещивается с СD
А
В
С
D
α совпадает с β
Плоскости совпадают, чего быть не может, т.к. прямая СD
пересекает α. Плоскости, которой принадлежат АВ и СD не
существует и следовательно по определению скрещивающихся
прямых АВ скрещивается с СD. Ч.т.д.
Определить взаимное
расположение прямых
АВ1 и DC.
2. Указать взаимное
расположение прямой
DC и плоскости АА1В1В
3. Является ли прямая АВ1
параллельной плоскости
DD1С1С?
Дан куб АВСDA1B1C1D1
Являются ли параллельными
прямые АА1 и DD1; АА1 и СС1 ?
Почему?
АА1 || DD1, как противоположные
стороны квадрата, лежат в одной
плоскости и не пересекаются.
АА1 || DD1; DD1 || CC1 →AA1 || CC1
по теореме о трех
параллельных прямых.
2. Являются ли АА1 и DC
параллельными?
Они пересекаются?
Две прямые называются
скрещивающимися,
если они не лежат в одной плоскости.
Теорема:
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна.
Дано: АВ скрещивается с СD.
Построить α: АВ α, СD || α.
А
В
C
D
Через точку А проведем прямую
АЕ, АЕ || СD.
Е
2. Прямые АВ и АЕ пересекаются
и образуют плоскость α. АВ α,
СD || α. α – единственная плоскость.
Доказать, что α – единственная.
3. Доказательство:
α – единственная по следствию из
аксиом. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ,
пересекает АЕ и, следовательно, прямую СD.
Задача.
Построить плоскость α, проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b.
Построение:
Через точку К провести
прямую а1 || а.
2. Через точку К провести
прямую b1 || b.
а
b
К
а1
b1
3. Через пересекающиеся
прямые проведем
плоскость α. α – искомая
плоскость.
Задача
А
В
С
D
M
N
P
Р1
К
Дано: D (АВС),
АМ = МD; ВN = ND; CP = PD
К ВN.
Определить взаимное
расположение прямых:
а) ND и AB
б) РК и ВС
в) МN и AB
Задача
А
В
С
D
M
N
P
К
Дано: D (АВС),
АМ = МD; ВN = ND; CP = PD
К ВN.
Определить взаимное
расположение прямых:
а) ND и AB
б) РК и ВС
в) МN и AB
г) МР и AС
д) КN и AС
е) МD и BС
Задача
α
a
b
М
N
Дано: a || b
MN ∩ a = M
Определить
взаимное расположение
прямых MN u b.
Скрещивающиеся.
Теорема об углах с сонаправленными сторонами
Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.
α
1800 - α
00 < α 900
1.
Угол между двумя пересекающимися прямыми.
Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.
Угол между скрещивающимися прямыми.
2.
Угол между скрещивающимися прямыми АВ и СD определяется как угол между пересекающимися прямыми А1В1 и С1D1, при этом А1В1|| АВ и С1D1|| CD.
А
В
D
С
А1
В1
С1
D1
α
М1
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, проведенными через произвольную точку пространства параллельно данным скрещивающимся прямым.
Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними прямой.
Две скрещивающиеся прямые называют перпендикулярными, если угол между ними прямой.
Перпендикулярные прямые.
3.
В кубе A…D1 найдите угол между прямыми A1C1 и B1D1.
Ответ: 90o.
Куб 1
В кубе A…D1 найдите угол между прямыми AA1 и CD.
Ответ: 90o.
Куб 2
В кубе A…D1 найдите угол между прямыми AA1 и BC1.
Ответ: 45o.
Куб 3
В кубе A…D1 найдите угол между прямыми AA1 и CD1.
Ответ: 45o.
Куб 4
В кубе A…D1 найдите угол между прямыми AB1 и BC1.
Куб 5
В кубе A…D1 найдите угол между прямыми AB1 и DA1.
Ответ: 60o.
Куб 6
В кубе A…D1 найдите угол между прямыми AB1 и A1C1.
Ответ: 60o.
Куб 7
В кубе A…D1 найдите угол между прямыми AB1 и CD1.
Ответ: 90o.
Куб 8
Дана прямая в пространстве, на ней взята точка. Сколько можно построить прямых, проходящих через эту точку и перпендикулярных данной прямой?
Ответ: Бесконечно много.
Упражнение 1
Даны прямая и точка вне ее. Сколько можно построить прямых, проходящих через эту точку и перпендикулярных данной прямой?
Ответ: Бесконечно много.
Упражнение 2
Из планиметрии известно, что две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. Верно ли это утверждение для стереометрии?
Ответ: Нет.
Упражнение 3
В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между прямыми AD и BD.
Ответ: 60o.
Пирамида 1
В правильном тетраэдре ABCD точки E и F – середины ребер BC и CD. Найдите угол между прямыми AD и EF.
Ответ: 60o.
Пирамида 2
В правильном тетраэдре ABCD точка E – середина ребра AB. Найдите косинус угла между прямыми AD и CE.
Пирамида 3
В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми SA и SB.
Ответ: 60о.
Пирамида 4
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и SC.
Ответ: 60o.
Пирамида 5
В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми SA и SC.
Пирамида 6
В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SC. Найдите угол между прямыми AD и BE.
Пирамида 7
В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите угол между прямыми SA и BC.
Пирамида 8
В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите косинус угла между прямыми SA и DE.
Пирамида 9
В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите косинус угла между прямыми SA и BE.
Пирамида 10
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA1 и BC.
Ответ: 90o.
Призма 1
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA1 и BC1.
Ответ: 45o.
Призма 2
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и A1C1.
Ответ: 60o.
Призма 3
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB и A1C.
Призма 4
В правильной 6-й призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA1 и B1C1.
Ответ: 90o.
Призма 5
В правильной 6-й призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA1 и BC1.
Ответ: 45o.
Призма 6
В правильной 6-й призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA1 и DE1.
Ответ: 45o.
Призма 7
В правильной 6-й призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB1 и DE1.
Ответ: 90o.
Призма 8
В правильной 6-й призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и B1C1.
Ответ: 60o.
Призма 9
В правильной 6-й призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и C1D1.
Ответ: 60o.
Призма 10
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
