Уравнение касательной

Урок по теме: « Уравнение касательной к кривой»

Цели:
• Отработать умения и навыки вычисления производной функции, нахождение производной функции в точке; вырабатывать у обучающихся умения и навыки в составлении уравнения касательной к графику функции  в точке;
• развивать внимание, зрительную память, логическое и образное мышление, познавательный интерес, активность учащихся на уроках;
• воспитывать аккуратность, прививать интерес к предмету, воспитывать познавательную активность, самостоятельность.

Ход урока.

1.       Орг. момент. Мотивация урока.

Чтобы настроиться на урок повторим ранее изученный материал.

2.      Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

На предыдущих уроках мы с вами находили производные различных функций. Какими формулами мы пользовались? (Формулами производной …)

Какие правила необходимо еще знать для нахождения производной функций? (Правила дифференцирования)
Сегодня мы применим наши знания и умения для того, чтобы больше узнать о производной и о других интересных фактах из истории математики.

 Игра «Домино»
В комплекте «Домино» 20 карточек. Пары  перемешивают свои карточки, делят пополам  и начинают раскладывать домино с карточки. Если не все карточки разложены, значит, вы где - то допустили ошибку, и её нужно найти.

Какое правило нужно использовать для нахождения производных  функций?

f(x) = 6sinx;   f(x) = x⁵+ 3

f(x) = 8x⁴ + 5cosx

;    ;   

(x) = (2-x)(2+x)

3.      Историческая справка 

Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой.

Знаменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных), а саму производную называл флюентой.

Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 – 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, которое ученый разработал независимо от Лейбница.

Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 – 1557гг.) – здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Д.Грегори, в работах И. Барроу.

4.      Изучение нового материала.

Вопрос учителя:

Можно ли считать верным утверждение: касательная к графику – это прямая, имеющая с кривой только одну общую точку?

В процессе определения касательной обнаруживают прямую, представляющее собой некое предельное положение секущей, которую и называют касательной к кривой в некоторой точке.

Пусть дана функция y = f (x) и точка М(а; f(a)) и пусть существует призводная f '(а). Уравнение касательной – это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + m. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и m. Из ранее изученного известно, что k = f '(а).

Найдем m. Искомая прямая походит через точку М(а; f(a)), подставим эти координаты в уравнение прямой: f(a) = ka + m, отсюда m = f(a) – ka. Подставим значение m в уравнение

y = kx + m.

y = kx + f(a) – ka,

y = f(a) + f '(а) · (x-a).

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = а.

Используя эту формулу, мы можем задать алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f (x) (предлагаю составить алгоритм самим учащимся):

1.      Обозначим абсциссу точки касания буквой а.

2.      Вычислим f(a).

3.      Найдем f '( х) и вычислим f '( а).

4.      Подставим найденные значения числа а, f( а), f '( а) в уравнение касательной.

5.      Зарядка для глаз.

6.      Закрепление нового материала.

Решить устно № 491, 504.

1) Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² - 3х + 5 в точке с абсциссой а = -1.

Решение: Составим уравнение касательной (по алгоритму).

1. а = -1;
2. f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;
3. f '(x) = 2х – 3,
   f '(a) = f '(-1) = -2 – 3 = -5;
4. y = 9 – 5 · (x + 1),

y = 4 – 5x.

Ответ: y = 4 – 5x.

2) Составить уравнение касательной, проходящей через точку пересечения графика функции  f(x) = (3 – х)/(х + 1) с прямой y = 1.

Решение: Найдем абсциссу точки касания:

(3 – а)/(а + 1) = 1, а = 1.

Составим уравнение касательной по алгоритму:

1. f(a) = f(1) = 1;
2. f '(x) = -4/(х +1)²;
3. f '(a) = f '(1) = -1;
4. y = 1 – 1 · (х – 1),

y = 2 – х.

Ответ: y = 2 – х.

Решить письменно № 513(а), 514 (а), 561(а), 551(а).

7.      Самостоятельная работа.

ВАРИАНТ 1

1.      В  чём  состоит  физический  смысл  производной?

         А. Ускорение.       Б. Скорость. В. Угловой  коэффициент.

     2. Точка  движется  по  прямой  по  закону  S(t) = 2t³  +  3t . Чему  равна  скорость  точки  в  момент  времени  t = 1?

         А.  5.                Б.  12.            В.  9.               Г.  3.

     3. Заполните  пропуски:

        а)(    )' = 3 - 4 + ;            б) ( -  25  -    )' = (    ).

    4. Разбейте  на  пары  «функция  -  производная».

         а)  ;                      1)  

         б);                        2);

         в)  ;                         3)            

         г)7+                     4) 

     5. Найдите  угловой  коэффициент  касательной,  проведённой  к  графику  функции  f()   через  его  точку  с  абсциссой   

         А.  8.                Б.  4.               В.  – 8.            Г.  – 4.  

ВАРИАНТ 2

1.      В  чём  состоит  геометрический  смысл  производной?

         А. Ускорение.          Б. Скорость          В. Угловой  коэффициент.

     2. Точка  движется  по  прямой  по  закону   S(t)  =  2t²  .  Вычислите  ускорение  движения.

         А. – 4.            Б. – 8.             В.  4.             Г. 8.

     3. Заполните  пропуски:

       а) '    (        );    б) (     )'     .

4. Разбейте  на  пары  «функция  -  производная».

  а)                         1)

  б)                   2)

  в) ;                             3)  

  г)                            4)

5. Найдите  угловой  коэффициент  касательной,  проведённой  к  графику  функции  f() через  его  точку  с  абсциссой   

         А.  - 7.                Б.  8.               В.  7.            Г.  9.  

Ответ:

Вариант 1                                      Вариант 2

1.     Б;                                                1. В;           

2.        В;                                                2. В;

3.     а)                     3.  а)

б)                      б)

4.  а     -   2,                                  4.   а     -    3,

     б     -   4,                                         б    -    4,

     в     -    1,                                        в    -    1,

      г     -    3;                                        г    -    2;

5.  Б.                                             5.  А.

Сверка с верными ответами.

8.      Итоги урока. Д/з. Рефлексия.

Прием «Незаконченное предложение»

Д/з: п.16. Решить № 514(б), 513(б), 561(в), 552(а).

Сегодняшний урок хочется закончить словами американского математика Мориса Клайна:

“Музыка может возвышать или умиротворять душу, 
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума, 
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А математика способна достичь всех этих целей”.

Найти производную функции.

1)  y = 5         y^' = 0                              Л

                       y^' = 5x                            Н

                       y^' = 1                              Б

2) y = -x         y^' = 1                               В

                       y^' = -1                             А

                       y^' = x²                                        И

3)  y = 2x+3      y^' = 3                            У

                         y^' = x                             И

                         y^' = 2                             Г

4)  y =- 12    y^' =                                Р

                        y^' = 1                                Т

                        y^' = -12                             Г

5)  y=x⁴           y^' =                              П

                        y^' = 4x³                              А

                                    y^' = x³                                С

6) y=-5x³       y^' = -15x²                            Н

                      y^' = -5x²                              О

                                 y^'  = 5x²                               Р

7) y=x-x³       y^' = 1-x²                                            Д

                      y^' = 1-3x²                            Ж

                      y^' = x-3x²                                          А

Итак, получили фамилию ученого Лагранж.

Вариант 1

1_. Производной функции y=4x⁷ является    А) 7x⁶   Б) 28x⁶       В) 8x⁶    Г) 27x⁶

2_. Производной функции y=x⁴-2x –

А) 4x³-2-               Б) 4x-2+                В)  4x³-2+               Г) 4x²-2

3_. Производной  является   А)     Б)          В)                    Г)

4. Производной функции  является

А)        Б)         В)         Г)

Вариант 2

1. Производной функции y=5x⁶ является  А) 5x  Б) 30 x⁶          В) 30 x⁵          Г) 6x⁵

2.  Производной   является

А)            Б)                        В)              Г)

3.  Производной  является  А)      Б)              В)         Г)

 4.  Производной функции является

А)           Б)           В)            Г)

Отгадать кроссворд:

1.Физический смысл производной: …... изменения функции.

2. Вид числового промежутка.

3. Раздел математики

4. Понятие,  характеризующее скорость изменения функции в данной точке.

5. Число в пределах десяти.

6. Один из создателей дифференциального исчисления.

7. Русский математик.

Ответы: 

1.      Скорость

2.      Интервал

3.      Алгебра

4.      Производная

5.      Четыре

6.      Ньютон

7.      Колмогоров.

КРОССВОРД

1.Французский математик XVII века Пьер ферма определил эту линию так: « Прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности заданной точки».

2. В математике это понятие возникло в результате попыток придать точный смысл таким понятиям, как «скорость движения в данный момент времени» и  «касательная к кривой в заданной точке».

3. Приращение какой переменной обычно обозначается?

4. Если существует предел в точке а и этот предел равен значению функции в точке  а, то в этой точке функцию называют… ( Подсказка. График такой функции можно нарисовать одним росчерком карандаша, без отрыва от бумаги.)

5.эта точка лежит внутри области определения функции, и в ней функция принимает самое большое значение по сравнению со значениями  в близких точках.

6. Эта величина определяется как производная скорости по времени.

7.Если функцию   можно представить в виде , где   и - некие функции, то функцию f называют…