Урок по теме: « Уравнение касательной к кривой»
Цели:
• Отработать умения и навыки вычисления
производной функции, нахождение производной функции в точке; вырабатывать у
обучающихся умения и навыки в составлении уравнения касательной к графику
функции в точке;
• развивать внимание, зрительную память,
логическое и образное мышление, познавательный интерес, активность учащихся на
уроках;
• воспитывать аккуратность, прививать
интерес к предмету, воспитывать познавательную активность, самостоятельность.
Ход урока.
Тема сегодняшнего урока: «Уравнение касательной к графику функции». Откройте тетради, запишите число и тему урока. Пусть следующие слова станут девизом сегодняшнего урока. ü Плохих идей не бывает. Мыслите творчески. Рискуйте . Не критикуйте |
1. Орг. момент. Мотивация урока.
Чтобы настроиться на урок повторим ранее изученный материал.
2. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.
На предыдущих уроках мы с вами находили производные различных функций. Какими формулами мы пользовались? (Формулами производной …)
Какие правила необходимо еще знать для
нахождения производной функций? (Правила дифференцирования)
Сегодня мы применим наши знания и умения для
того, чтобы больше узнать о производной и о других интересных фактах из истории
математики.
Игра «Домино»
В комплекте «Домино» 20 карточек. Пары
перемешивают свои карточки, делят пополам и начинают раскладывать домино
с карточки. Если не все карточки разложены, значит, вы где - то допустили
ошибку, и её нужно найти.
|
c |
|
|
n |
(c |
|
|
( |
|
-
|
|
2 |
0 |
|
|
( |
c' |
1 |
|
Какое правило нужно использовать для нахождения производных функций?
f(x) = 6sinx; f(x) = x5+ 3
f(x) = 8x4 + 5cosx
;
;
(x) = (2-x)(2+x)
3. Историческая справка
Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой.
Знаменитый физик Исаак Ньютон,
родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику.
Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных
фигур, он
создал общий метод решения таких задач – метод
флюксий (производных), а
саму производную называл флюентой.
Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 – 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, которое ученый разработал независимо от Лейбница.
Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 – 1557гг.) – здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Д.Грегори, в работах И. Барроу.
4. Изучение нового материала.
Вопрос учителя:
Можно ли считать верным утверждение: касательная к графику – это прямая, имеющая с кривой только одну общую точку?
В процессе определения касательной обнаруживают прямую, представляющее собой некое предельное положение секущей, которую и называют касательной к кривой в некоторой точке.
Пусть дана функция y = f (x) и точка М(а; f(a)) и пусть существует призводная f '(а). Уравнение касательной – это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + m. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и m. Из ранее изученного известно, что k = f '(а).
Найдем m. Искомая прямая походит через точку М(а; f(a)), подставим эти координаты в уравнение прямой: f(a) = ka + m, отсюда m = f(a) – ka. Подставим значение m в уравнение
y = kx + m.
y = kx + f(a) – ka,
y = f(a) + f '(а) · (x-a).
Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = а.
Используя эту формулу, мы можем задать алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f (x) (предлагаю составить алгоритм самим учащимся):
1. Обозначим абсциссу точки касания буквой а.
2. Вычислим f(a).
3. Найдем f '( х) и вычислим f '( а).
4. Подставим найденные значения числа а, f( а), f '( а) в уравнение касательной.
5. Зарядка для глаз.
6. Закрепление нового материала.
Решить устно № 491, 504.
1) Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² - 3х + 5 в точке с абсциссой а = -1.
Решение: Составим уравнение касательной (по алгоритму).
y = 4 – 5x.
Ответ: y = 4 – 5x.
2) Составить уравнение касательной, проходящей через точку пересечения графика функции f(x) = (3 – х)/(х + 1) с прямой y = 1.
Решение: Найдем абсциссу точки касания:
(3 – а)/(а + 1) = 1, а = 1.
Составим уравнение касательной по алгоритму:
y = 2 – х.
Ответ: y = 2 – х.
Решить письменно № 513(а), 514 (а), 561(а), 551(а).
7. Самостоятельная работа.
ВАРИАНТ 1
1. В чём состоит физический смысл производной?
А. Ускорение. Б. Скорость. В. Угловой коэффициент.
2. Точка движется по прямой по закону S(t) = 2t3 + 3t . Чему равна скорость точки в момент времени t = 1?
А. 5. Б. 12. В. 9. Г. 3.
3. Заполните пропуски:
а)( )' = 3 - 4 +
; б) (
- 25
-
)'
= ( ).
4. Разбейте на пары «функция - производная».
а) ;
1)
б);
2)
;
в) ;
3)
г)7
+
4)
5. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику
функции f()
через его точку с
абсциссой
А. 8. Б. 4. В. – 8. Г. – 4.
ВАРИАНТ 2
1. В чём состоит геометрический смысл производной?
А. Ускорение. Б. Скорость В. Угловой коэффициент.
2. Точка движется
по прямой по закону S(t)
= 2t2
. Вычислите
ускорение движения.
А. – 4. Б. – 8. В. 4. Г. 8.
3. Заполните пропуски:
а) '
( ); б) (
)'
.
4. Разбейте на пары «функция - производная».
а)
1)
б) 2)
в) ;
3)
г)
4)
5.
Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f()
через его точку с
абсциссой
А. - 7. Б. 8. В. 7. Г. 9.
Ответ:
Вариант 1 Вариант 2
1. Б; 1. В;
2. В; 2. В;
3. а)
3. а)
б)
б)
4. а - 2, 4. а - 3,
б - 4, б - 4,
в - 1, в - 1,
г - 3; г - 2;
5. Б. 5. А.
Сверка с верными ответами.
8. Итоги урока. Д/з. Рефлексия.
Прием «Незаконченное предложение»
Д/з: п.16. Решить № 514(б), 513(б), 561(в), 552(а).
Сегодняшний урок хочется закончить словами американского математика Мориса Клайна:
“Музыка
может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную
сторону жизни людей,
А математика
способна достичь всех этих целей”.
Найти производную функции.
1) y = 5 y' = 0 Л
y' = 5x Н
y' = 1 Б
2) y = -x y' = 1 В
y' = -1 А
y' = x2 И
3) y = 2x+3 y' = 3 У
y' = x И
y' = 2 Г
4) y
=- 12 y'
=
Р
y' = 1 Т
y' = -12 Г
5) y=x4
y'
=
П
y' = 4x3 А
y' = x3 С
6) y=-5x3 y' = -15x2 Н
y' = -5x2 О
y' = 5x2 Р
7) y=x-x3 y' = 1-x2 Д
y' = 1-3x2 Ж
y' = x-3x2 А
Итак, получили фамилию ученого Лагранж.
Вариант 1
1. Производной функции y=4x7 является А) 7x6 Б) 28x6 В) 8x6 Г) 27x6
2.
Производной
функции y=x4-2x
–
А) 4x3-2- Б) 4x-2+
В) 4x3-2+
Г) 4x2-2
3.
Производной является А)
Б)
В)
Г)
4.
Производной функции
является
А) Б)
В)
Г)
Вариант 2
1. Производной функции y=5x6 является А) 5x Б) 30 x6 В) 30 x5 Г) 6x5
2.
Производной является
А) Б)
В)
Г)
3.
Производной является А)
Б)
В)
Г)
4. Производной
функции является
А) Б)
В)
Г)
Отгадать кроссворд:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||
6 |
|
|
|
|
|
||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Физический смысл производной: …... изменения функции.
2. Вид числового промежутка.
3. Раздел математики
4. Понятие, характеризующее скорость изменения функции в данной точке.
5. Число в пределах десяти.
6. Один из создателей дифференциального исчисления.
7. Русский математик.
Ответы:
1. Скорость
2. Интервал
3. Алгебра
4. Производная
5. Четыре
6. Ньютон
7. Колмогоров.
КРОССВОРД
1.Французский математик XVII века Пьер ферма определил эту линию так: « Прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности заданной точки».
2. В математике это понятие возникло в результате попыток придать точный смысл таким понятиям, как «скорость движения в данный момент времени» и «касательная к кривой в заданной точке».
3. Приращение какой переменной обычно
обозначается?
4. Если существует предел в точке а и этот предел равен значению функции в точке а, то в этой точке функцию называют… ( Подсказка. График такой функции можно нарисовать одним росчерком карандаша, без отрыва от бумаги.)
5.эта точка лежит внутри области определения функции, и в ней функция принимает самое большое значение по сравнению со значениями в близких точках.
6. Эта величина определяется как производная скорости по времени.
7.Если функцию можно представить в виде
, где
и
- некие функции, то функцию f называют…
|
2. |
|
||||
|
|
|||||
|
|
|||||
1. |
|
|
|
|
6. |
|
|
|
4. |
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
7. |
||
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.