Уравнения смешанного типа иррациональные и тригонометрические из материалов ЕГЭ.

Уравнения из материалов ЕГЭ профильного уровня смешанного тип

         Иррациональные и тригонометрические уравнения.

1. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Решим уравнение

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

2. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Воспользуемся тем, что

и произведем эквивалентые преобразования уравнения:

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности. Подходят

Ответ: а) б)

3. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Заметим, что

поэтому, внося под знак корня, необходимо рассмотреть два случая:

В случае имеем:

Условию удовлетворяет серия

В случае имеем:

Условию удовлетворяют серии и

б)  Отберём корни, принадлежащие отрезку при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Получим

Ответ: а) б)

4. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. Уравнение имеет корни, только если При этом условии обе части уравнения неотрицательны и можно возвести их в квадрат. Выполним преобразования:

Разделим второе уравнение совокупности на получим это уравнение не имеет решений. Умножим обе части первого уравнения на −1 и воспользуемся формулами двойного угла. Получим:

Из найденных серий условию удовлетворяют только и

Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.), получим числа и

Ответ: а) б) и

5. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения принадлежащие отрезку

Решение. а)  Заметим, что получим в левой части

Далее, используя формулы перейдем к половинному аргументу в правой части и сведем уравнение к однородному тригонометрическому второй степени:

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности, подходят

Ответ: а) б)

6. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение с помощью формул приведения и основного тригонометрического тождества:

б)  Отберём корни. принадлежащие отрезку. Для первой серии получаем:

откуда корень Для второй серии имеем:

откуда корень

Ответ: а) б)

7. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  При условии исходное уравнение равносильно следующим:

Условию удовлетворяет только

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности, подходят и 0.

Ответ: а) б) 0.

8. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Левая часть уравнения обращается в нуль в двух случаях. Если второй множитель равен нулю:

Или если первый множитель равен нулю, а второй при этом определён.

Решим уравнение:

Решим неравенство:

Неравенству удовлетворяют только корни серии

Объединяя два рассмотренных случая, заключаем, что решениями уравнения являются и

б)  Для отбора корней воспользуемся тригонометрической окружностью (см. рис.). На отрезке лежат корни и

Ответ: а) б)

9. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Перенесем в правую часть, заметим, что сумма не принимает отрицательных значений. Следовательно, при условии возведение обеих частей уравнения в квадрат является равносильным преобразованием. Имеем:

Выразим множители, стоящие в левой части уравнения, через В силу основного тригонометрического тождества Чтобы преобразовать первый множитель, воспользуемся формулой откуда получим: Далее применим формулы косинуса тройного угла и косинуса половинного угла

Пусть тогда имеем:

Вернемся к исходной переменной, получим уравнение откуда Учитывая условие окончательно получаем:

б)  Чтобы найти корни на заданном отрезке, решим двойное неравенство:

Так как правая часть полученного двойного неравенства лежит в интервале (−1; 0). Значения k целые, поэтому наибольшее значение k = −1. Оценим левую часть:

Поскольку подходит также значение k = −2. Поскольку осталось проверить значение k = −3. Покажем, что

Итак k = −3, k = −2 или k = −1. Найденным значениям k соответствуют корни и

Ответ: а) б)

10. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)   При условии и исходное уравнение эквивалентно совокупности

Условию удовлетворяют серии корней и

б)  Отберём корни при помощи единичной тригонометрической окружности. На заданном отрезке лежит только один корень  — число

Ответ: а) б)

11. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. a)  Уравнение равносильно уравнению при условии Возведем обе части исходного уравнения в квадрат при условии получим:

Полученный корень удовлетворяет исходному ограничению.

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.), подходят числа и 

Ответ: а) б)

12. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Под знаками обоих радикалов находятся полные квадраты:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходит

Ответ: а) б)

13. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Сделаем замену переменной тогда:

Таким образом, откуда

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности. Точка удовлетворяет заданному интервалу.

Ответ: а) б)

Примечание.

Уравнение удобно решить, используя геометрический смысл модуля. Действительно, с геометрической точки зрения левая часть уравнения представляет собой разность расстояний от точки с координатой t до точек с координатами 5 и 1 на числовой оси. Эта разность равна в точке для точек, лежащих на числовой оси правее числа 2, эта разность расстояний будет меньше двух, а для точек, лежащих левее  — больше двух.

14. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Под знаками обоих радикалов находятся полные квадраты:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходит

Ответ: а) б)

15. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходит

Ответ: а) б)

16. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Исходное уравнение имеет смысл только при тогда это эквивалентно совокупности:

Все найденные серии корней удовлетворяют условию

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.), получим: и

Ответ: а) б) и

17. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Получим

Ответ: а) б)

18. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  При условии исходное уравнение эквивалентно следующим:

Каждое из слагаемых в левой части не меньше −1, поэтому их сумма равна −2 тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно −1. Решим уравнение получим то есть Проверим для найденных решений выполнение условия Используем периодичность синуса, применим формулу приведения, получаем:

Выражение равно −1 для всех нечетных k и только для них. Следовательно, решениями уравнения (⁎) являются числа где k  — любое нечетное число. Эти числа удовлетворяют условию поскольку обращают косинус в нуль. Тем самым все они являются корнями исходного уравнения.

б)  Решим двойное неравенство:

Следовательно, k = 3 и подходит корень

 Ответ: а) б)

 Примечание.Ответ к пункту а) можно записать в виде

19. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а) Заметим, что уравнение может иметь решения только при Преобразуем его при этом условии:

б)  Отберём корни, принадлежащие отрезку при помощи тригонометрической окружности. Подходят

Ответ: а) б)

20. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, то есть

При этом условии числитель дроби должен быть равен нулю. Применим формулы и получим:

Если и угол х лежит в первой четверти, то а тогда что обращает знаменатель в нуль. Если же и угол х лежит во второй четверти, то а тогда что допустимо. Следовательно, решением уравнения является серия

б)  Отберем корни, решая двойное неравенство:

Акрсинус положительного числа лежит в интервале поэтому левая часть двойного неравенства больше  –5π, а правая  — меньше –4,5π. Следовательно, число 2πk лежит в интервале (–5π; –4,5π), а значит, Найденному значению параметра соответствует корень

Ответ: а) б)

                                     Решить самостоятельно.

1. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

2. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

3. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

4. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

5. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

6. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

7. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

8. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

                                               Ответы.

1. а) б)     (№17)

2. : а) б)     (№40)

3. : а) б)   (№31)

4. : а) б)    (№47)

5. : а) б)   (№55)

6. а) б)    (№67)

7. а) б)    (№68)

8. : а) б) 0.    (№71)