Урок алгебры 10 класс Обратная функция

Повторим

Если каждому значению х из некоторого множества действительных чисел поставлено в соответствие по определенному правилу f число у, то, говорят, что на этом множестве задана функция.
D(f) – область определения функции;
х – независимая переменная или аргумент;
у – зависимая переменная;
множество всех значений y=f(x), xϵХ называют областью значений функции и обозначают E(f).

Задача
Пусть дана функция y=f(x)
Найти значение функции в точке х=х0
Например:
Найти значение функции у=5х+7 в точке х=7.
у(7)=5∙7+7
Ответ: у(7)=42

Прямая

Задача
Пусть дана функция y=f(x)
Найти значение аргумента в точке у=у0
Например:
Дана функция у=5х+7. Найти значе-
ние аргумента при котором у=22.
22=5х+7
5х=22-7
5x=15
х=15:5
x=3
Ответ: у(3)=22

Обратная

Задача

Пусть дан закон изменения скорости движения от времени
Найти закон изменения времени от скорости.
Решение:
𝑣0 – gt=𝑣
gt=𝑣 – 𝑣0
t= 𝑣− 𝑣 0 𝑔 𝑣𝑣− 𝑣 0 𝑣𝑣 𝑣 0 0 𝑣 0 𝑣− 𝑣 0 𝑔 𝑔𝑔 𝑣− 𝑣 0 𝑔

Обратимая функция

Обратная функция к 𝑣𝑣(𝑡𝑡)

Если функция y=𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 принимает каждое свое значение у только при одном значении x, то эту функцию называют обратимой.

𝑦𝑦=5𝑥𝑥−7
𝑦𝑦= 2 𝑥 2 2 𝑥 𝑥𝑥 2 𝑥
𝑦𝑦= 𝑥 7 𝑥𝑥 𝑥 7 7 𝑥 7

Пусть 𝑦𝑦=𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 − обратимая функция. Тогда каждому 𝑦𝑦 из множества значений функции соответствует одно определенное число 𝑥𝑥 из области определения, такое, что 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 =𝑦𝑦. Это соответствие определяет функцию 𝑥𝑥 от 𝑦𝑦, которую обозначим 𝑥𝑥=𝑔𝑔 𝑦 𝑦𝑦 𝑦 . Поменяем местами 𝑥𝑥 и 𝑦𝑦: 𝑦𝑦=𝑔𝑔 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 . Функцию 𝑦𝑦=𝑔𝑔 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 называют обратной к функции 𝑦𝑦=𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 . Обозначают 𝑓 −1 𝑓𝑓 𝑓 −1 −1 𝑓 −1 (𝑥𝑥).

Пример

Найти функцию, обратную функции y= 1 𝑥−5 1 1 𝑥−5 𝑥𝑥−5 1 𝑥−5 .
Решение:
1 𝑥−5 1 1 𝑥−5 𝑥𝑥−5 1 𝑥−5 =𝑦𝑦
𝑥𝑥−5= 1 𝑦 1 1 𝑦 𝑦𝑦 1 𝑦
𝑥𝑥= 1 𝑦 1 1 𝑦 𝑦𝑦 1 𝑦 +5
Ответ: 𝑓 −1 𝑓𝑓 𝑓 −1 −1 𝑓 −1 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 =5+ 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥

y= 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 +5

y

x

5

0

D(y)= (−∞; 5)∪(5; +∞)

E(y)= (−∞; 0)∪(0; +∞)

y

0

5

x

D(y)= (−∞; 0)∪(0; +∞)

E(y)= (−∞; 5)∪(5; +∞)

Свойства обратных функций:

Область определения обратной функции 𝑓 −1 𝑓𝑓 𝑓 −1 −1 𝑓 −1 совпадает с множеством значений исходной функции 𝑓𝑓, а множество значений обратной функции 𝑓 −1 𝑓𝑓 𝑓 −1 −1 𝑓 −1 совпадает с областью определения исходной функции 𝑓𝑓:
𝐷𝐷 𝑓 −1 𝑓 −1 𝑓𝑓 𝑓 −1 −1 𝑓 −1 𝑓 −1 =𝐸𝐸 𝑓 𝑓𝑓 𝑓 , 𝐸𝐸 𝑓 −1 𝑓 −1 𝑓𝑓 𝑓 −1 −1 𝑓 −1 𝑓 −1 =𝐷𝐷 𝑓 𝑓𝑓 𝑓
Монотонная функция является обратимой:
а) если функция 𝑓𝑓 возрастает, то обратная к ней функция 𝑓 −1 𝑓𝑓 𝑓 −1 −1 𝑓 −1 также возрастает;
б) если функция 𝑓𝑓 убывает, то обратная к ней функция 𝑓 −1 𝑓𝑓 𝑓 −1 −1 𝑓 −1 также убывает.

Пример

Показать, что для функции 𝑦𝑦=5𝑥𝑥−3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.
Решение:
𝐷𝐷 𝑦 𝑦𝑦 𝑦 =𝑅𝑅
𝐸𝐸 𝑦 𝑦𝑦 𝑦 =𝑅𝑅
Функция возрастает на R.
Значит, обратная функция существует на R.
Решим уравнение 𝑦𝑦=5𝑥𝑥−3 относительно 𝑥𝑥. Получим,
𝑥𝑥= 𝑦+3 5 𝑦𝑦+3 𝑦+3 5 5 𝑦+3 5 .
Поменяв местами буквы 𝑥𝑥 и 𝑦𝑦, получим:
y= 𝑥+3 5 𝑥𝑥+3 𝑥+3 5 5 𝑥+3 5 .
Это и есть искомая обратная функция.

Пример

Дана функция 𝑦𝑦= 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 , 𝑥𝑥𝜖𝜖 0; +∞ 0; +∞ 0; +∞ .
Доказать, что для нее существует обратная функция, записать аналитическое выражение обратной функции в виде 𝑦𝑦= 𝑓 −1 𝑓𝑓 𝑓 −1 −1 𝑓 −1 (𝑥𝑥) и построить график обратной функции.

Решение:
Функция 𝑦𝑦= 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 возрастает на промежутке 0; +∞ 0; +∞ 0; +∞ ,значит, она имеет обратную функцию.
Из уравнения 𝑦𝑦= 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 находим: 𝑥𝑥= 𝑦 𝑦 𝑦𝑦 𝑦 или 𝑥𝑥=− 𝑦 𝑦 𝑦𝑦 𝑦 . Промежутку 0; +∞ 0; +∞ 0; +∞ принадлежат лишь значения функции 𝑥𝑥= 𝑦 𝑦 𝑦𝑦 𝑦 .

Поменяв местами 𝑥𝑥 и 𝑦𝑦, получим y= 𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 , 𝑥𝑥𝜖𝜖 0; +∞ 0; +∞ 0; +∞ .
График этой функции получается из графика функции 𝑦𝑦= 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 , 𝑥𝑥𝜖𝜖 0; +∞ 0; +∞ 0; +∞ с помощью симметрии относительно прямой 𝑦𝑦=𝑥𝑥.