Урок формирования теоремы: Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике в 8 классе

Муниципальное общеобразовательное учреждение Иркутского муниципального образования «Смоленская средняя общеобразовательная школа» Бабкина Анастасия Валентиновна, учитель математики с.Смоленщина, 2017г. Урок формирования теоремы: Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике в 8 классе Цель: формирование понятий синуса, косинуса, тангенса, котангенса острого угла прямоугольного треугольника и их вычисление. 1. Подготовительный этап Цель: создание базы для усвоения учащимися понятий синуса, косинуса, тангенса, котангенса острого угла прямоугольного треугольника. 1) Назовите катеты в  ABC,    APN. Назовите гипотенузы в  LKM и  EFA.   2) Будут   ли   гипотенузами   следующие   отрезки:  AB,  KL,  AP,  AN,  EF,  FA  в указанных треугольниках и почему? 3) Назвать углы, против которых лежат катеты  KL,  PN,  EA  или, которым они прилегают. На   доске   изображён   треугольник   МОВ.   Учащимся   предлагается самостоятельно  ответить   на  вопросы.  В это  же   время  на  те  же  вопросы отвечают два ученика, выполняющие задание на крыльях доски. Вопросы по рисунку. 1. Назовите угол, градусная мера которого 90о. 2. Перечислите катеты треугольника. 3. Назовите гипотенузу треугольника. 4. Назовите катет, прилежащий углу М, углу О. 5. Назовите катет прилежащий углу М. углу О. 6. Самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике противолежит углу… 7. Стороны, образующие прямой угол, называются … Идёт проверка и взаимопроверка задания 2. Мотивационный этап  Цель:   убедить   учащихся   в   необходимости   освоения   понятий  синуса,   косинуса, тангенса, котангенса острого угла прямоугольного треугольника. Мы закончили изучать очень важную и интересную тему ­ теорему Пифагора, прорешали много практических задач. Сейчас я хочу предложить ещё одну задачу. Задача №1. На какой высоте нужно подвесить уличный фонарь, чтобы при угловой высоте солнца длина тени столба была равна 60о, 50о? Предлагается   выполнить   чертёжи   перевести   условие   с   русского   языка   на   язык математики. Дано: ,   Найти длину ВС Решение.   Сначала   найдём   величину   угла   В.   Она   равна   30о.   Затем   опираясь   на свойство катета, противолежащего углу в 30о, узнаем длину гипотенузы АВ = 12 * 2 = 24. применяя теорему Пифагора, можно найти квадрат катета ВС. ВС2 = АВ2 – АС2 ВС2 = 576 – 144 ВС2 = 432 или ВС =  Учитель: Сможете ли вы решить задачу для случая, когда угол 50о? (Нет) Почему? (Недостаточно знаний). А хотели бы вы узнать новое, что позволит решить вам эту и много других задач? Тогда смело в путь.  м. Следовательно высота дерева 20,8 м 3. Ориентировочный этап (введение понятий в содержание обучения) Цель  :  формирование  знаний  о  понятиях  синуса, косинуса,  тангенса,  котангенса острого угла прямоугольного треугольника и их вычислении.  ­   Постройте   в   тетрадях   прямоугольный   треугольник   с   катетами   а   и   в   , гипотенузой   с.   И   составьте   всевозможные   отношения   с   этими   треми сторонами. (Кто быстрее). Сколько таких отношений у вас получилось? (6). В математике каждое из этих отношений имеет своё название. Итак, если все свои рассуждения привязать к углу, лежащему напротив катета а и назвать его α углом  , то получим следующие утверждения: с а в а с  называется синусом острого угла  Отношение  И обозначается следующим образом sinα= a c . α  прямоугольного треугольника. Слова синус, косинус, тангенс, котангенс употребляются всегда вместе с каким­ либо углом. (ЭТО важно!!!) Строгое   определение:  Синусом   острого   угла   прямоугольного   треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Отношение   в с   называется  косинусом  острого   угла   α   прямоугольного треугольника. И обозначается следующим образом cosα= b c . Строгое   определение:  Косинусом   острого   угла   прямоугольного   треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Отношение   а в   называется  тангенсом  острого   угла   α   прямоугольного треугольника. Строгое   определение:  Тангенсом   острого   угла   прямоугольного   треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Отношение   в а   называется  котангенсом  острого   угла   α   прямоугольного треугольника. Строгое определение:  Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету. Их изучают в школьном курсе математики, а два оставшихся­ нет. Кто заинтригован их опознанием, пожалуйста, может найти их названия дома самостоятельно и на следующем уроке поделиться со всеми своими находками. Задача. Дан прямоугольный треугольник АВС. Из вариантов ответов на следующие вопросы выберите и подчеркните правильные. I) Какое отношение верно? 8 1. а) 2. а)  , б) , б) , в) , в) , г) , г)  . . , б) 3. а) AC , б) ctgA=CB 4. а)  ctgA=AB , в) AB , в) ctgA=CB AC . . II)Чему равен CosA? а) CosA= , б) СosA= , в) CosA= , г) CosA= . III) Чему равен SinB? а) SinB=  , б) SinB= , в)SinB= , г) SinB= . IV) Чему равен tgB? а) tgB= , б) tgB= , в) tgB= , г) tgB= . V) Чему равен сtgB? а) сtgB= VI) Найти отношение SinA: CosA и ему обратное. , б) сtgB= , в) сtgB= , г) сtgB= . = =  и ctgA=  отсюда tgA= SinA: CosA = : Вопросы к классу: а) Каким числом в этой задаче выражен SinA, CosA, tgA, ctgA? б)   Это   справедливо   только   для   данного   треугольника   или   для   любого прямоугольного треугольника? в) Почему? 4. Применение понятия (обучение применению понятий) Цель:  обучение   применению   понятий  синуса,   косинуса,   тангенса,   котангенса острого угла прямоугольного треугольника и их вычислении в разных ситуациях. Использование таблицы Брадиса В.М. для нахождения  значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса целых углов. VII) Решите задачу: В прямоугольном треугольнике катет равен 8 см, а косинус прилежащего угла равен 0,8. Чему равна гипотенуза? VIII) В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20 см, а синус одного из острых углов равен 0,7. Чему равен катет, противолежащий данному острому углу? IX) ,  ,   опущены перпендикуляры на другую сторону угла, причем  На сторонах угла В3ОА3 отложены отрезки В1О= В1В2 = В2В3 =5 см . Из точек  ОА1 =4 см. а) Найдите CosO из треугольника  О . б) Найдите Sin O из треугольника  О . в) Найдите tg O из треугольника  О . в) Найдите ctg O из треугольника  О . Вывод: если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника ,то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны.( доказать дома самостоятельно). Учитель: пользуясь определениями синуса, косинуса, тангенса, котангенса острого угла прямоугольного треугольника запишите соотношения для синуса, косинуса, тангенса, котангенса угла В. Вариант 1                                                                               Вариант 2 Самостоятельная работа Известно, что TL = 13 дм,                                                  Известно, что FN = 17 cм, DT = 5 дм, DL = 12 дм                                                        HN = 15 cм, FN = 8 см. Найти:                                                                                  Найти: sin T; cos T; ctg T,tg T;                                                       sin F; cos F; ctgF, tg F; sin L; cos L; ctg L,tg L                                                        sin N; cos N; ctgN, tg N. Идёт   проверка   и   обсуждение   правильности   решения,   сверка   с   оригиналом ответов, подготовленных учителем. Учитель: Сравните полученные значения синуса, косинуса с 1. Ответ: Эти значения в двух вариантах меньше 1. Учитель: Это случайность? Идёт обсуждение, в ходе которого ученики приходят к выводу, что отношение катета к гипотенузе всегда есть правильная дробь, а всякая правильная дробь меньше 1. Учитель: А как быть с тангенсом и котангенсом? (В ходе обсуждения приходим к выводу, что тангенс и котангенс острого угла могут быть и меньше 1, и больше 1.) Учитель: Вернемся к нашей задаче. Хватит ли у нас теперь знаний, чтобы решить её. Ученики: Нет, т.к. неизвестны значения синуса, косинуса или тангенса угла 50о. Учитель:  Мы   уже   с   вами   говорили   ранее,   что   косинус   угла   не   зависит   от расположения и размеров треугольника. А зависит лишь от градусной меры угла. Точно также и синус, и тангенс, и котангенс зависят только от градусной меры угла. Об   этом   знали   учёные   и   они   составили   таблицы   синусов,   косинусов,   тангенсов углов. Один из них – Владимир Модестович Брадис. Заслуга В.М. Брадиса состояла в том, что он придумал способ, позволяющий до минимума сократить утомительные расчеты. Выбрать наиболее необходимые для инженерных   расчетов   функции,   один   раз   посчитать   их   значения   с   приемлемой точностью в широком интервале аргументов. А результаты расчетов представить в виде таблиц. Кропотливых расчетов В.М. Брадису предстояло проделать много. Но эти   расчеты   экономили   массу   времени   всем   последующим   пользователям   его таблиц. Эти таблицы стали советским бестселлером. С 1930­х годов их издавали едва ли не ежегодно   в   течение   тридцати   лет.   Эту   книжку   читали   миллионы.   Школьники, студенты, инженеры – таблицы Брадиса были у всех. Владимир Модестович Брадис, несмотря на рекордные тиражи своих «таблиц», в советской стране миллионером не стал. Но жизнь прожил вполне благополучную. Сегодня   мы   научимся   с   помощью   таблиц   находить   значения   синуса,   косинуса, тангенса,   котангенса   целых   углов.   Идёт   объяснение   как   найти   синус,   косинус, тангенс, котангенс 35о, 47о, 50о и т.д. Затем идёт решение задачи №1: Решение   задачи   №1.   По   определению   тангенса   острого   угла   прямоугольного ,   откуда   ВС   =   АC   *   tg   A,   но   tg   50о  =   1,1918, треугольника   имеем   tgA   =   следовательно ВС = 12 * 1,1918  Следовательно, высота столба – 14,3м. Ответ: 14,3 м Х) Найти ширину реки, если измерением найдено, что базис ВС = 90м, угол В равен 42о. . Решение. Используем определение косинуса угла В, можно записать, что AB =  .По таблице находим, что cos 42о = 0, 7431. Следовательно АВ = 90 : 0, 7431 121м. По   теореме   Пифагора   АВ2    следовательно   АС= =   АС2  +   ВС2, Ответ: 81м Учитель:  Попробуйте   решить   эту   задачу   другими   способами,   используя определение синуса и тангенса. Учащиеся решают по группам одна группа решает, используя определение синуса, другая­ тангенса. Какой способ лучше, почему? 5. Заключительный этап.  Какая теория сегодня на уроке была вспомогательной? (теорема Пифагора)  Если   нет   под   рукой   таблицы   В.М.   Брадиса,   как   быть   при   решении  прямоугольного треугольника? (калькулятор или интернет) Дома: два задания с урока в тетради, выучить новые понятия, изучить п.66 учебника + №591(б,г), №594.