Урок геометрии по теме "Теорема Пифагора"

Урок по геометрии  в 8 классе по теме : Теорема Пифагора I. Организационный момент.  II.        Устная работа 1) У прямоугольного треугольника заданы катеты а и b. Найдите гипотенузу c, если: а) а = 3, b = 4; б) a = 1, b = 1; в) a = 5, b = 6. 2) У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза с и катет а. Найдите второй катет, если: а) с = 5, а = 3; б) с = 13, а = 5; в) с = 6, а = 5. 3) Точка, лежащая внутри прямого угла, удалена от его сторон на расстояния, равные а и b. Найдите расстояние от точки до вершины угла. 4) Могут ли стороны прямоугольного треугольника быть пропорциональны числам 5, 6, 7? Ответы. 1) а) 5; б)  2 ; в)  61 . 2) а) 4; б) 12; в)  11 . 3) . 4) Нет. 2 a 2 b III. Новый материал С теоремой Пифагора связано открытие Пифагором несоизмеримых отрезков. Два отрезка называются  соизмеримыми, если их отношение является рациональным числом. Иначе говоря, если один из них принять за единичный отрезок, то длина другого будет выражаться рациональным числом.   Оказывается,   что,   как   бы   мы   не   выбирали   единичный   отрезок,   всегда   найдутся несоизмеримые с ним отрезки, т.е. такие, длины которых не выражаются рациональными числами. Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник АВС с катетами АС и ВС, равными единичному   отрезку.   Докажем,   что   гипотенуза  АВ  несоизмерима   с   катетами.     Предположим p q противное, т.е. что она соизмерима с катетами, т.е. ее длина выражается рациональным числом  . При этом дробь   p q   можно предполагать несократимой. Тогда по теореме Пифагора имеет место p q равенство ( (*)  p2 = 2q2. )2 = 1 + 1 = 2. Перепишем его в виде Из этого равенства следует, что p2 должно делиться на 2, значит, и p должно делиться на 2, т.е. p = 2p'. Подставляя это выражение в равенство (*), получим (2p')2 = 2q2 и, следовательно, 4(p')2 = 2q2. Сокращая на 2, будем иметь равенство 2(p')2 = q2. Из него следует, что q2 должно делиться на 2, значит, и q должно делиться на 2. Таким образом, p и q делятся на 2, что противоречит предположению о несократимости дроби . Полученное противоречие доказывает, что неверным было предположение о том, что гипотенуза p q соизмерима с катетами. Следовательно, гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника несоизмерима с его катетами. IV. Закрепление нового материала 1. Диагональ квадрата а. Чему равна сторона квадрата? 2. Найдите высоту равнобедренной трапеции, у которой основания 5 м и 11 м, а боковая сторона 4 м. 3. В правильном треугольнике со стороной 1 найдите его медианы. 4*.  Даны   две   окружности,   радиусов  R  и  r.  Расстояние   между   их   центрами   равно  a>R+r. Найдите длины отрезков их общих касательных (внешних). Ответы. 1. a 2 . 2.  7 . 3.  3 2 IV. Индивидуальное задание Задание 3 из домашней работы (сообщения о Пифагорейских числах). . 4*.   R r  a ( ) . 2 2 V. Занимательный момент (при наличии времени) Решение задачи 4* из домашней работы  .Постройте отрезок x, если  x= 2 a a  2 b b , где a и b – данные отрезки. 2 b .   Сначала   построим   отрезок  c= 2 a 2 b ,   это   гипотенуза   в Построение.   x a a  2  b прямоугольном треугольнике, у которого катеты равны  a  и  b. Теперь нужно построить отрезок  x,  . Для этого возьмем произвольный угол  O  (рис. 205) и на его сторонах отложим такой что   последовательно отрезки OA=b, AB=a, OC=c. Проведем прямую AC и прямую BD||AC, где DOC. Отрезок CD – искомый. x a c b VI.Задание на дом 1. Выучить теорию (п. 49 учебника) 2. Решить задачи. 1) Запишите какие­нибудь тройки пифагорейских чисел, кроме (3, 4, 5). II. 2) Найдите   стороны   прямоугольного   треугольника,   в   котором   гипотенуза   равна   26   см,   а Ответ. (6, 8, 10); (5, 12, 13); (8, 15, 17); (10, 24, 26) и др. отношение катетов 5:12. Ответ. 10 см, 24 см, 26 см. III. 3) В   равностороннем   треугольнике   со   стороной  а  найдите   радиусы  r  и  R  вписанной   и IV. V. VI. описанной окружностей. a a 3 Ответ. R= , r= 3 3 . 6 4*) Докажите, что верна теорема, обратная к теореме Пифагора: "Если в треугольнике квадрат   одной   стороны   равен   сумме   квадратов   двух   других   сторон,   то   он прямоугольный". Доказательство. Пусть в треугольнике  ABC  AB2=AC2+BC2. Возьмем прямоугольный треугольник  A1B1C1, у которого катеты  A1C1  и  B1C1  равны соответственно  AC  и  BC, тогда   его   гипотенуза  A1B1  равна  AB.   Значит,    ABC=  A1B1C1  (по   трем   сторонам), следовательно,  С= С1=90 , и треугольник ABC – прямоугольный.