Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Оценка 4.7

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Оценка 4.7
Презентации учебные +2
docx
математика
8 кл
11.02.2017
Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Публикация является частью публикации:
конспект.docx
Обобщающий урок по теме: «Теорема Пифагора» Учитель: Н.В. Мыльникова Геометрия, 8 класс Цель:  Ближе познакомиться с древнегреческим учёным Пифагором, его знаменитой теоремой Пифагор Самосский (около 569г.- около 475г. до н.э.) Жил на свете математик Пифагор, И о нём пойдёт сегодня разговор. Сочинял он теоремы, и не раз, Удивить хотел, как видно нас. На радужной узрел я оболочке Бегущие квадратики, кружочки, Вселенной опрокинутый узор, И вспыхнуло в мелькании сквозь строчки Пылающее имя-Пифагор! Пифагор Самосский - великий греческий ученый. Его имя знакомо каждому школьнику. Про жизнь Пифагора известно очень мало, с его именем связано большое количество легенд. В нашем повествовании есть истины и легенды, правда и вымысел. Пифагор- один из самых известных ученых, но и самая загадочная личность, человек-символ, философ и пророк. Он был властителем дум и проповедником созданной им религии. Его обожествляли и ненавидели…Так кто же ты , Пифагор? БИОГРАФИЯ ПИФАГОРА Пифагор родился в 570 г. до н. э. ( точная дата неизвестна) на острове Самос. Отцом его был Мнесарх- резчик по драгоценным камням. Имя матери не сохранилось... Родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Любимыми занятиями юного Пифагора были слушание музыки и чтение стихов, беседы со старцами- своими учителями. Когда Пифагору исполнилось 20 лет, учитель сказал ему: «Ты вырос из Самоса, отправляйся путешествовать, только так ты утолишь жажду познания». Пифагор отправляется в Милет, где общается со знаменитым Фалесом, учится у него. Но талант ученика проявляется в том, что он идёт дальше учителя. Фалес советует ему отправиться в Египет. Пифагор много путешествует по странам Востока, посещает Египет и Вавилон. Там он знакомится с культурой, наукой и обычаями разных народов, подробно изучает восточную математику. Много было изведано, понято, прочувствовано талантливым учеником. После 20-ти лет странствований Пифагор возвращается на родину. Он мечтает создать свою школу, в основе которой были бы ясность логики и твёрдость доказательств. В то время на острове Самос правил Поликрат. Он отличался жестокостью и деспотизмом. Поликрат поспешил всячески обласкать знаменитого путешественника, слава о мудрости которого бежала впереди него. Но роль придворного полураба не устраивала Пифагора. Его угнетала атмосфера произвола и насилия. Тяжело далось Пифагору расставание с родиной. Он поселился в греческом городе Кротон на юге Италии. Кротон и Самос связывали давние торговые отношения. Отец Пифагора не раз там бывал; возможно, там жили его родственники. Пифагор сразу покорил жителей города своим величием, благородством, красотой и обаянием. Он организовал религиозно-этическое братство, типа монашеского ордена, « Союз Истины, Добра и Красоты», который впоследствии назовут пифагорейской школой или пифагорейским союзом. ПИФАГОРЕЙСКАЯ ШКОЛА Пифагорейская школа положила начало математическим наукам. Числа понимались как суть всего существующего, им придавался мистический смысл. Здесь же начали развиваться астрономия и медицина. Система знаний школы состояла из четырёх разделов: 1) арифметики-учения о числах; 2) геометрии-учения о фигурах; 3) астрономии-учения о строении мира; 4) музыки-учения о гармонии и теории музыки. Эта система образования, заложенная Пифагором, просуществовала тысячелетия. Большинство принципов союза носило тайный характер и было доступно лишь членам союза. В школе был особый распорядок дня. Вставали с восходом солнца и шли на морской берег встречать рассвет. В утренней прохладе строили планы на день, делали гимнастические упражнения, завтракали. В конце дня - прогулка, морское купание, ужин и чтение. Члены союза заботились и о духовном, и о физическом развитии. Среди победителей Олимпийских игр в те времена было много учеников Пифагора. Сам он стал победителем по кулачному бою. ПЕНТАГРАММА Пентаграмма – это звёздчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. Пятиконечная звезда считалась в школе Пифагора чем-то вроде талисмана, которым одаривали друзей; тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. Пентаграмму никто не изобретал, её только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют цветы, морские звёзды и другие создания природы. Пентаграмма пропорциональна, значит, красива. Не случайно и сегодня она реет на флагах едва ли не половины стран мира. Но первыми, кто обратил пентаграмму в символ, были пифагорейцы. ЗАДАНИЕ: Нарисуйте не отрывая руки пентаграмму. УЧЕНИЕ ПИФАГОРА В "Перечне математиков", Евдема, о Пифагоре сказано так: "Как передают, Пифагор превратил занятие этой отраслью знания (геометрией) в настоящую науку,   рассматривая   ее   основы   с   высшей   точки   зрения   и   исследуя   ее   теории   менее материальным и более умственным образом".  Пифагору   приписываются   создание   основ   планиметрии,   правил   построения   некоторых правильных многоугольников и многогранников, введение широкого и обязательного использования доказательств   в   геометрии,   создание   учения   о   подобии,   доказательство   теоремы   о   сторонах прямоугольного треугольника. Пифагор­математик был и одним из величайших философов, учение которого, к сожалению, не сохранилось до наших дней. Для всех ­ и высших, и низших ­ у Пифагора было мудрое изречение: "Следует избегать всеми средствами, отсекая огнем и мечом, и всем, чем только можно, от тела ­ болезнь, от души ­ невежество, от желудка ­ излишнего, от города ­ смуту, от дома ­ раздоры, и от всего вместе ­ неумеренность."  Пифагор определял число как энергию и считал, что через науку о числах раскрывается тайна Вселенной, ибо число заключает в себе тайну вещей. Пифагор пытался создать науку всех наук. Все числа он разделил на два вида: четные и нечетные, и выявил свойства чисел каждой группы. ПИФАГОР И ГЕОМЕТРИЯ Изучая во время путешествия математику древнего Египта и Вавилона, Пифагор убедился в том, что математики, в основном, стремились к накоплению готовых рецептов для решения задач. Его же интересовало, откуда взяты эти решения, как доказать справедливость общих и частных случаев. Он и его ученики потратили много сил, чтобы отдельным сведениям и фактам придать характер настоящей науки. Пифагору приписывается много замечательных открытий, доказательств: 1) теорема о сумме углов треугольника; 2) геометрические способы решения квадратных уравнений; 3) построение правильного пятиугольника циркулем и линейкой; 4) знаменитая теорема Пифагора и т. д. Итак с2=а2+в2. Как по другому можно сформулировать теорему и следствия из неё? ФОРМУЛИРОВКИ ТЕОРЕМЫ Приведем  различные  формулировки   теоремы  Пифагора  в  переводе  с   греческого,  латинского   и немецкого языков.  У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):  "В   прямоугольном   треугольнике   квадрат   стороны,   натянутой   над   прямым   углом,   равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". Латинский перевод арабского текста  Аннаирици  (около 900 г. до н. э.), сделанный  Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит:  "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым  углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол". В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так:  "Итак,   площадь   квадрата,   измеренного   по   длинной   стороне,   столь   же   велика,   как   у   двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу". В   первом   русском   переводе   евклидовых  "Начал",   сделанном  Ф.   И.   Петрушевским,   теорема Пифагора изложена так:  "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол". В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал".   С   другой   стороны,   Прокл   утверждает,   что   доказательство   в   "Началах"   принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни   Пифагора   и   его   математической   деятельности.   Зато   легенда   сообщает   даже   ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многим известен сонет Шамиссо:    Пребудет вечной истина, как скоро    Ее познает слабый человек!    И ныне теорема Пифагора    Верна, как и в его далекий век.    Обильно было жертвопринашенье    Богам от Пифагора. Сто быков    Он отдал на закланье и сожженье    За света луч, пришедший с облаков.    Поэтому всегда с тех самых пор,    Чуть истина рождается на свет,    Быки ревут, ее почуя ,вслед.    Они не в силах свету помешать ,    А могут лишь закрыв глаза дрожать    От страха, что вселил в них Пифагор. Ролик и ИН-НЕТА ИСТОРИЯ ТЕОРЕМЫ Исторический   обзор   начнем   с  древнего   Китая.  Здесь   особое внимание привлекает математическая книга Чу­пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары. Кантор  (крупнейший   немецкий   историк   математики)   считает,   что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже  египтянам  еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По   мнению   Кантора  гарпедонапты,   или   "натягиватели   веревок", строили   прямые   углы   при   помощи   прямоугольных   треугольников   со сторонами 3, 4 и 5. Очень   легко   можно   воспроизвести   их   способ   построения.   Возьмем веревку   длиною   в   12   м.   и   привяжем   к   ней   по   цветной   полоске   на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.  Несколько больше известно о теореме Пифагора у  вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится   приближенное   вычисление   гипотенузы   прямоугольного треугольника.   Отсюда   можно   сделать   вывод,   что   в   Двуречье   умели производить   вычисления   с   прямоугольными   треугольниками,   по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с  Ван­дер­ другой­на   критическом   изучении   греческих   источников, Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: "Заслугой   первых   греческих   математиков,   таких   как   Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные   на   смутных   представлениях,   превратились   в   точную науку." Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была  известна в Индии уже около 18 века до н. э. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА Причина популярности этой теоремы – её простота и значимость. Она применяется в геометрии буквально на каждом шагу. В настоящее время различных доказательств теоремы известно около пятисот. В старину теорему называли ещё «теоремой невесты». Чертёж к ней несколько напоминает пчелу. Можно проследить связь слов: пчела – нимфа – невеста; так появилось название. Простейшее доказательство Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два. Теорема доказана.  случае Применение: решение задач со слайда № ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НИЛЬСЕНА. На рисунке вспомогательные линии изменены по предложению  Нильсена. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 9 ВЕКА Н.Э. «СТУЛ НЕВЕСТЫ» Ранее были представлены только такие доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе, с одной стороны, и квадраты, построенные на катетах, с другой, складывались из равных частей. Такие доказательства называются доказательствами при помощи сложения   ("аддитивными   доказательствами")   или,   чаще, доказательствами методом разложения. До сих пор мы исходили из   обычного   расположения   квадратов,   построенных   на соответствующих сторонах треугольника, т. е. вне треугольника. Однако во многих случаях более выгодно другое расположение квадратов. На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием   н.   э.,   индусы   называли  "стулом  невесты".   Способ   построения   квадрата   со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на   катетах,   и   квадрата,   построенного   на   гипотенузе,   ­   неправильный   заштрихованный пятиугольник   5.   Присоединив   к   нему   треугольники   1   и   2,   получим   оба   квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе. На рисунках ниже изображены два различных расположения близких к тому, которое дается на первом рисунке.  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕВКЛИДА Дано: ABC­прямоугольный треугольник  Доказать:  SABDE=SACFG+SBCHI Пусть ABDE­квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC, а ACFG и BCHI­квадраты, построенные на его катетах.  Опустим   из   вершины   C   прямого   угла перпендикуляр   CP   на   гипотенузу   и продолжим   его   до   пересечения   со стороной DE квадрата ABDE в точке Q; соединим точки C и E, B и G.  Очевидно,   что   углы  CAE=GAB(=A+90°); отсюда следует, что треугольники ACE и AGB(закрашенные   на   рисунке)   равны между собой (по двум сторонам и углу, заключённому   между   ними).   Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA; они имеют общее основание  AE и высоту AP, опущенную на это основание, следовательно SPQEA=2SACE  Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG   имеют   общее   основание   GA   и высоту AC; значит, SFCAG=2SGAB Отсюда   и   из   равенства   треугольников   ACE   и   GBA   вытекает   равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника   QPAE   и   квадрата   CHIB.   А   отсюда,   следует,   что   квадрат   ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. а2 + b2 = c2.  ДРУГОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО МЕТОДОМ ВЫЧИТАНИЯ. Познакомимся   с   другим   доказательством   методом   вычитания. Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку,   направления   сторон   которой   совпадают   с   направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так,   как   указано   на   рисунке,   при   этом   прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей   так   чтобы   остался   лишь   квадрат,   построенный   на гипотенузе. Эти части следующие: 1. треугольники 1, 2, 3, 4;  2. прямоугольник 5;  3. прямоугольник 6 и квадрат 8;  4. прямоугольник 7 и квадрат 9;  Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты,  построенные на катетах. Этими частями будут: 1. прямоугольники 6 и 7; 2. прямоугольник 5;  3. прямоугольник 1(заштрихован);  4. прямоугольник 2(заштрихован);  Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу  расположения фигур. Из рисунка ясно, что: 1. прямоугольник 5 равновелик самому себе;  2. четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7;  3. прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1  (заштрихован);;  4. прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику  2(заштрихован);  Доказательство закончено ТАЙНА ПИФАГОРА Была у Пифагора и его учеников тайна, сохраняемая под угрозой жизни. Рассмотрим квадрат АВСД со стороной 1 см. Проведём диагональ ВД. Найдём её длину. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы ВД равен сумме квадратов катетов АВ и АД, квадрат ВД равен двум, ВД равно корню квадратному из двух. Сейчас мы знаем, что это иррациональное число. Но во времена Пифагора этого не знали. Это противоречило утверждению Пифагора «Всё есть число». Отрезок существует, а числа, выражающие его длину, нет. Пифагор решил сохранить это своё открытие в тайне. В С   А D Решение интересных задач Задание покажи Частушки Выводы ЗНАЧЕНИЕ ТЕОРЕМЫ Из теоремы Пифагора или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Да, путь познания не гладок. Но знаем мы со школьных лет, Загадок больше, чем разгадок, И поискам предела нет! Подведение итогов Источники и литература 1. Геометрия, 7­9: учебник для общеобразовательных учреждений/ [Л.С. Атанасян, В.Ф.  Бутузов, С.Б. Кадымцев и др.] – 16­е изд. – М.: Просвещение, 2006. – 384с. Просвещение, 1979. – 96 с. 2. Борисов Н.И. Как обучать математике: (Из опыта работы). Пособие для учителей. – М.:  3. Значении теоремы Пифагора. Статья [электронный ресурс] –  http://bankreferatov.ru/  4. История открытия теоремы Пифагора. Статья [электронный ресурс] –  http://kvant.ru/  5. Несколько способов доказательства знаменитой теоремы. Статья [электронный ресурс] –   http://th­pif.narod.ru/formul.html 6. Видео в режиме он­лайн: http://go.mail.ru/search_video?utf8in=1&q= %D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0%20%D0%BF %D0%B8%D1%84%D0%B0%D0%B3%D0%BE %D1%80%D0%B0&fr=web_videorb&ffsputnik=1#d=4078375590&sig=742227d459&i=a2092 97cec936ee3125952bc6bea59d0&s=rutube

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Урок геометрии ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
11.02.2017