Урок на тему "Метод интервалов"

Применение метода интервалов для решения неравенств. Цель   урока:  рассмотреть   применение   метода   интервалов   для   решения неравенств различных типов. Задачи урока:  1. Сформировать у школьников мотивацию к изучению данной темы. 2.  Развивать   у   учащихся   умение   пользоваться  опорными  знаниями,  для   их применения в новой ситуации. 3.   Развивать   у   учащихся   математическое   мышление   (умение   наблюдать, выделять существенные признаки и делать обобщения). 4. Развивать у учащихся навыки творческого подхода к решению задач. Оборудование и материалы: компьютер, проектор, экран, презентация для сопровождения занятия, раздаточный материал для учащихся. Ход урока 1. Сообщение темы и цели урока. 2. Повторение и закрепление пройденного материала. 1)   Ответы   на   вопросы   по   домашнему   заданию   (разбор   задач,   вызвавших затруднения). 2) Повторение применения метода интервалов для решения неравенств  3) Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).  Вариант 1. №1. Решите методом интервалов неравенства: а) (2 №2. Найдите область определения функции: y    б)  3) 0; 3 0.     3 3 x 4 24 x  5. 5)(     6 2 x x x x x 2 x x   2)( Вариант 2. №1. Решите методом интервалов неравенства: а) (5 №2. Найдите область определения функции: y Самопроверка самостоятельной работы с оцениванием     б)  4) 0; 2 0.       5 5 x 3 29 x  4.  x 2 7 3 x x 2 3. Изучение нового материала. Нами   уже   рассматривался   метод   интервалов   для   решения   квадратных неравенств. Применим тот же метод к решению неравенств высоких степеней. Рассмотрим схему решения на следующем примере.  0.   x 6    x 2   1  5  3 3  2  x  5    x x Пример 1. Решим неравенство  Решение  Прежде   всего,   отметим,  что   если   в  разложении   многочлена   на   множители входит   сомножитель   0x   ­   корень   многочлена кратности  k .  Данный многочлен имеет корни:   1 x   кратности 1;  3 Нанесем эти корни на числовую ось. Отметим корни четной кратности двумя черточками, нечетной кратности – одной чертой.  x     кратности 6;   5 x   кратности 5. 5 x   кратности 2;  4 1 x     кратности 3; 2 2 ,   то   говорят,   что   0 x k x 0 3 Определим знак многочлена на каждом интервале, при любом значении  х  не совпадающем   с  корнями   и  взятом  из  данного  интервала.  Получим   полную диаграмму знаков многочлена на всей числовой оси: Теперь   легко   ответить   на   вопрос   задачи,   при   каких   значениях  х  знак многочлена   неотрицательный.   Отметим   на   рисунке   нужные   нам   области, получим: Из рисунка видно, что такими х являются    x  5 U   2;0  U U   1  3;   . Проанализируем смену знаков в корнях различной кратности.  Посмотрите   внимательно   на   диаграмму   знаков,   что   можно   заметить? (предполагаемый   ответ:   в   корнях   четной   кратности   смена   знаков   не произошла, а в корнях нечетной кратности – знак меняется).  Давайте проверим, подтвердится ли данное наблюдение при решении других неравенств. Решите неравенство 5 2 2 5 4       x x x x 3 9        7  6  2  2   x   x 1 вариант:  2 вариант:  (Два   ученика   решают   неравенства   на   откидной   доске   не   видной   классу, остальные выполняют задание самостоятельно, затем проверяем полученное решение по вариантам и снова делаем выводы о смене знака в зависимости от степени кратности корня).    0. 10    0. 1  x  x   3 Обобщая ваши наблюдения, приходим к важным выводам   Для   решения   неравенства   важно   знать,   является   ли  k  четным   или нечетным числом.   При четном k многочлен справа и слева от  (т.е. знак многочлена не меняется),   При   нечетном  k  многочлен   справа   и   слева   от   противоположные знаки (т.е. знак многочлена изменяется). 0x  имеет один и тот же знак 0x   имеет Еще   небольшое   замечание,   что   бы   применять   метод   интервалов,   нужно сначала   привести   в   неравенство   к   указанному   виду   (т.е.   разложить   на множители).  P x  Q x   Рассмотрим  способы решения рациональных неравенств    методом 0   интервалов  Заметим, что рациональные неравенства легко сводятся к решению неравенств высоких   степеней.   Умножим   обе   части   такого   неравенства   на   многочлен ( ) 0 2Q x , который положителен при всех допустимых значениях х (т.к.  ). Тогда  знак исходного неравенства  не меняется, и получаем  неравенство P x Q x ( ) ( ) 0  P x  Q x  , эквивалентное данному неравенству.       эквивалентно   системе   неравенств   ( ) P x Q x ( ) 0, Q x   которая  ( ) 0, Q x  Итак:     0 далее решается методом интервалов. Пример 2.  Решим неравенство   2  1  x  5 x    x x  2  2    2 x  x 3   2  0. x 2 x    Отметим, прежде всего, что знаменатель неравенства не может быть равен нулю и найдем область определения неравенства:   5 2,  Сведем   данное   рациональное   неравенство   к   алгебраическому.   Для   этого умножим   обе   части   неравенства   на   положительное   выражение   –   квадрат знаменателя (замети, что при этом знак неравенства не меняется). Получаем:   откуда  2) 0 )( x x   0,  (5 5.       2 x x x x x     2 2  x x x x x x 5 3 2     1  x    2     0    x  21     .   Разложив   квадратный   трехчлен   на  .   Решаем   это  множители,   имеем: 3 неравенство методом интервалов. Находим корни многочлена и определяем их   кратность:  х  =1   (четная   кратность),   остальные   корни   3,   ­1,   0,   5,   ­2 (нечетной   кратности).  Отмечаем   корни   на  числовой   оси   с  учетом   области определения   неравенства   и   определяем   знаки   на   промежутках   с   учетом кратности корней.  1      5 2 0 x x x x   Ответ:  x   ; 2   U  1;0  U U   1  3;5  . 4. Задание на уроке (первичное закрепление материала). Фронтальная работа с классом №389 (а, в), № 390 (в, г), №393(а), №394(а).  x x  0; 17    2 16                      в)  №389. Решите неравенство, разложив его левую часть на множители: а)  № 390. Решите неравенство: в)  №393. Решите неравенство:  а)                        г)  0; x   8  4  3 25  21  21 x x 24   0. 0. 0.        7 4 x x x x x x    2  №394. Решите неравенство:  а)   6 x 2  x 4  .5 5. Задание на дом  Повторить §15 (глава II), №389 (б), № 390 (б), №393(б), №394(б). Подумайте, как  имея готовую диаграмму знаков построить эскиз графика  функции. 6. Подведение итогов урока, рефлексия. 1.       Что   вы   ожидали   от   работы     на   данном   уроке?   Сравните   свои предварительные цели и реально достигнутые результаты. 2.       Какие   чувства   и   ощущения   возникали   у   вас   в   ходе   работы?   Что оказалось для вас самым неожиданным? 3.      Что вам более всего удалось, какие моменты были выполнены наиболее успешно? 4.       Перечислите   в   порядке   убывания   основные   трудности,   которые   вы испытывали во время учебы. Как вы их преодолевали? 2 7. Задания (для тех, кто желает знать больше). №1. Решите неравенство: а)   б)  в)   2 3 ;   2    x 7 x   6 3 x 0;   . 4  x 7  3  3  2 x  6 x   5   x 1  2 x 7 x 3 №2. Постройте эскизы графиков функций: а)  1 2  ;     б)   2  y x x y .     1 2   2 x x Литература 1. Учебник:  Алгебра­9 класс, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, М.: Просвещение, 2009.  2. Рурукин А.Н., Полякова С.А., Поурочные разработки по алгебре: 9 класс. – М.: ВАКО, 2010 –  (В помощь школьному учителю).