Урок на тему "Различные способы доказательства теорем" (9 класс).

Раздел: Преподавание математики Название статьи: Различные способы  доказательства теоремы Автор: Преподаватель математики  ГБОУ лицей №1571 СЗАО города Москвы   Сазонова Татьяна Федоровна Обучение   учащихся   доказательству   теорем   нередко   оказывается недостаточно эффективным. Одна из причин этого, на мой взгляд, отсутствие возможности показа авторами учебников различных способов доказательств той или иной теоремы. Отсюда следует, что для активизации познавательной деятельности   учащихся   и   повышения     логического   уровня   их   мышления, учителю необходимо ставить перед учащимися проблему поиска различных способов доказательства одной и той же теоремы, учитель должен на примере показать, как это делается.          Далее перед учителем возникает проблема побудить у учащихся желание самостоятельно   искать   различные   способы   доказательства   теорем. Рассматриваемая деятельность будет эффективна в том случае, если учитель, перед тем, как предложить ребятам доказать теорему, досконально изучит её сам:   отыщет   способы   доказательства   и   установит   возможные   связи   её   с другими теоремами. Только тогда он по­настоящему оценит познавательные возможности теоремы и организует соответствующую работу с учащимися в классе   и   на   внеклассных   занятиях.   Особо   это   важно   на   начальном   этапе изучения   геометрии   в   7   классе   –   заронить   потребность   в   поиске   новых доказательств на последующих этапах изучения геометрии.           В   данной   статье   ставится   цель     поделиться   опытом   доказательства некоторых теорем различными способами.        Рассмотрим несколько теорем из курса геометрии 7­11 классов.   Как   доказываются   эта   теоремы   в   учебниках   Л.С.Атанасяна   и   А.В.Погорелова   всем   известно,   поэтому   я   приведу   менее   известные доказательства.      Теорема о сумме углов треугольника.  Сумма углов в треугольнике равна 180º.    Доказательство:  I      c  пособ.                         N                               C                                     M                                                                                                                                       В                                                               А                                                               Рис.1      Отложим углы, соответственно равные углам  А и В от сторон угла С: угол, равный А откладывается от луча СА в ту полуплоскость относительно прямой СА, которая не содержит точку В (рис.1). Нужно доказать, что угол С равен 180º, т.е. является развернутым.             Из равенства внутренних накрест лежащих углов А и МСА следует параллельность   прямых   СМ   и   АВ.   Аналогично   убеждаемся,   что  CN АВ. Ссылаясь на аксиому параллельных, приходим к выводу, что прямые СМ и СN cовпадают. Следовательно,  МС∟ N = 180º. ║ II     способ                                                                                                D                                                                                                                                                                                    F                                                        С                                                                                                                                                                                                                       А                                                                                                                    В                                                          Рис.2            Проведём луч АС и  CF АВ║ параллельных прямых CF и АВ и секущей АС. ∟В =  = ∟BCF  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых CF и АВ и секущей ВС. ∟ACD = 180º, т.к. этот угол развернутый, значит:                                   ∟А   +  ∟В  + ∟С  =  180º.      . ∟А =  ∟DCF  как соответственные при III      способ                                                                                                                                                              F               D                                                                                                                                                             C                                                                                   M ∟                         А                                                                                                    В                                                                     Рис.3 ∟DCF  = ∟АСВ   как     Проведем   лучи   ВС   и     АС   и     проведем   СМ   АВ.   ∟FCM  как соответственные при параллельных прямых вертикальные,  А =  CM и АВ и секущей АС. ∟В = ∟MCF  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  CF  и АВ и секущей ВС. ∟FCM = 180º, т.к. этот угол развернутый, значит:                                                 ∟А   +  ∟В  + ∟С  =  180º.      ║ IV     способ.                                                           С                                                             М ║ ║                             В                                                                              А                                                              Рис.4 ∟А = ∟MCА  как внутренние накрест лежащие при        Проведем СМ ВА.  ∟ВСМ = ∟А + ∟С. ∟ВСМ + ∟В = 180º, т.к. эти углы СМ ВА и секущей АС.  внутренние односторонние при параллельных прямых CM и ВА и секущей ВС, значит:                                                 ∟А   +  ∟В  + ∟С  =  180º.      Теорема о зависимости углов треугольника от его сторон. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.       Рассмотрим случай, когда в ∆ АВС  АС>АВ. Проведем АМ – биссектрису ∟ВАС. Если построить точку Е =  S  AМ  (В) (рис.5), то окажется, что  ∟В = ∟АЕМ, но ∟АЕМ – внешний угол ∆ СЕМ. Поэтому  ∟В =  ∟АЕМ и  ∟С < ∟В.      Доказательство аналогично, если построить точку  D = S АМ (С).                                                   А                                                                                                 Е С                 В                                           М                                                                            Рис.5 Есть и ряд других доказательств, использующих свойство биссектрисы.                                                                                     А                                                                                                                          B                                                                                                                              D                                       E                                             M                                                                        С                                  Рис.6                                             Через   точку   М   проведем   прямую,   перпендикулярную   лучу   АМ   и   пересекающую прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е (рис.6). Тогда АD = AE и   ∟ADM =  ∟AEM; ∟АВС >∟ADM и ∟АЕМ >∟С как внешние углы  ∆ МВD и ∆ СЕМ. Значит ∟В >∟С. Можно опустить перпендикуляры BT и CI на луч АМ (рис.7).                                                                    А                                                                                                                        В                                                                             Т                                                                                      М                                                                                           I                                                                      С                                                                                                       Рис.7 Тогда выяснится, что  ∟ABT = ∟ACI, но угол С – часть угла АСI, а угол АВТ – часть угла АВС. Отсюда вытекает, что  ∟В  > ∟С. Теорема о трех перпендикулярах. Прямая теорема: Если через основание наклонной провести прямую , перпендикулярную к ней,  то эта прямая будет перпендикулярна и проекции наклонной. Обратная теорема: Если через основание наклонной провести прямую , перпендикулярную к  проекции этой наклонной, то эта прямая будет перпендикулярна и самой  наклонной.                                             S                                             О                                                                                 В                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         t          А                                                                                                                                                                                      С                                                                       Рис.8 I      c  пособ  (Доказательство обратной теоремы)        Допустим, что SA не перпендикулярна прямой t. Проведем  SB  SA  > SB. Из прямоугольных треугольников  SOA  и  SOB:   OA2 =  SA2 ­    SO2,  OB2 =   SB2 ­  SO2.  Получаем: OA > OB. Между тем  OA  <  OB, т.к.   OA  ┴ t  по условию (рис.8).  ┴ t , тогда  II       c  пособ. (Доказательство обратной теоремы) S                                       O                                                                                    M                                 t                 A                   N                            Рис.9        Приведен в учебнике «Геометрия 9­10» А.Киселева.         От точки А отложим равные отрезки: AM = AN (рис.9). Точки M и N cоединим   с   точками  O  и  S.   В   ∆  MON   OA  есть   одновременно   высота   и медиана, т.е. этот треугольник равнобедренный:  OM  =  ON. Прямоугольные треугольники OSM и  OSN равны (по двум катетам). Из их равенства следует, что SM = SN и SA – медиана равнобедренного треугольника MSN. Значит, SA – высота этого треугольника, т.е.  SA ┴MN.    III  (Доказательство обратной теоремы)        На прямой t   возьмем произвольную точку   B   (рис.8)  и соединим ее с точками O и S. Из прямоугольных треугольников SOB, SOA  и  AOB:    способ. SB2 =  SO2 + OB2;  SA2 =  SO2  + OA2;  OB2 ­ OA2 = AB2          Вычтя из первого равенства второе, получим: SB2 ­   SA2   =   OB2 ­   OA2. Приняв во внимание третье равенство, будем иметь: SB2 ­  SA2  =  AB2,  SB2  = =SA2 +  AB2. Согласно обратной теореме Пифагора SA    ┴ AB, т.е.  t    ┴ SA.    n   ­2). Теорема о сумме внутренних углов выпуклого n­угольника. Сумма внутренних углов выпуклого     n  ­угольника равна 180º(      Когда у ребят выработается навык поиска доказательств теорем, при   изучении темы «Теорема о сумме внутренних углов выпуклого n­угольника»,  можно провести следующую работу.         Учащиеся   класса   в   зависимости   от   способностей   делятся   на   группы. Каждая   группа   «ищет   своё   доказательство»   теоремы   о   сумме   внутренних углов выпуклого n­угольника.     Ученики класса, члены математического кружка, доказывают эту теорему методом математической индукции: при  n  = 3 формула 180º(n  ­ 2) в силу теоремы   о   сумме   углов   треугольника;   далее   предполагается   истинность данной формулы при n = k и доказывается ее справедливость для n = k + 1. А именно: 180º(k  + 1 ­ 2)  =  180º(k  ­ 1) =    180º(n  ­ 1 ­ 1) = 180º(n  ­ 2). Вторая группа   учащихся   проводит   доказательство   теоремы   с   опорой   на   рис.10. Ребята замечают, что если n  ­  количество сторон многоугольника, то n – 2 – количество образовавшихся треугольников. И т.к. сумма внутренних углов треугольника равна 180º, то сумма внутренних углов выпуклого n­угольника равна 180º(n ­2).                                                       А1                                                                                                 А2                             Аn                                                                                                                    А3                                                                  Рис.10          Третья группа ребят находит доказательство теоремы, исходя из рис.11 сумма внутренних углов выпуклого n­угольника 180ºn ­ 360º  = 180º(n ­2)).                                                              В                                                                                                    С                                                              1    2                                                               O      3                                                              5    4                     А D                                                           E                                                           Рис.11             И,   наконец,   четвертая   группа   учащихся,   изучая   рис.12   и   выполняя дополнительный   рис.13   (рисуем   углы   с   соответственно   параллельными сторонами   для  ∟1   ­  ∟6),   приходит   к   выводу:   сумма   внутренних   углов выпуклого n­угольника  равна 180ºn ­ 360º  = 180º(n ­2).                                 6                              1                                                                                                                                                                                                                       2                                          1   2   3     5                                                                                           6                                                                                                                  5        4                                                 3                        4                           Рис.12                                                                                      Рис.13       Каждая группа учащихся тратит на поиск доказательства около 10 минут. После этого представитель группы на доске демонстрирует классу найденное доказательство теоремы.       Ограничиваясь приведенными примерами, надо отметить положительный опыт   систематического   использования   этого   методического   подхода   в преподавании   геометрии.   Приучая   учащихся   к   самостоятельным   поискам доказательства, поощряя их работу в этом направлении (даже если найденное доказательство   сложнее   известного),   можно   добиться   более   прочных   и глубоких   знаний,   способствовать   повышению   математической   культуры учащихся. Литература:   «Геометрия»   учебник   для   7­9   классов   общеобразовательных   учреждений/ А.С.Атанасян и др., Москва, «Просвещение», 2000. «Геометрия»   учебник   для   7­9   классов   общеобразовательных   учреждений/ А.В.Погорелов и др., «Просвещение», АО, «Московские учебники», Москва, 2003. «Геометрия» учебник для 10­11 классов общеобразовательных учреждений/ А.В.Погорелов и др., «Просвещение», АО, «Московские учебники», Москва, 2003.