Урок по геометрии в 7 классе "Сравнение отрезков и углов" Атанасян

Введение В реальной жизни мы умеем сравнивать количества. Например, мы пони- маем, что 7 больше, чем 5. Семь яблок – это больше, чем 5 яблок. И понимаем важный принцип: часть меньше целого. Но наша задача – сравнение отрезков, углов, геометрических фигур. Где же в геометриче- ских фигурах часть, а где целое? Равенство геометрических фигур Начнем с важного определения равенства геометрических фигур, ведь от- резок, угол – это геометрическая фигура. Фигура 1 равна фигуре 2, если их можно совместить наложением: Например, два листа бумаги можно наложить друг на друга, и они нераз- личимы. Две одинаковые монеты и т.д. . Сравнение отрезков Отрезок – это часть прямой. Давайте попробуем совместить отрезки и При совмещении возможно 3 случая. . совместилась с точкой , и вторые концы - Точка лись. Тогда отрезок есть если совместились концы отрезков, то совместились и сами отрезки (см. рис. 1). тоже совмести- - То совместились, и в этом случае и и Рис. 1. Совмещение отрезков - – часть отрезка , значит, и , случай 1 (см. рис. 2). Рис. 2. Совмещение отрезков - Отрезок – это часть отрезка и , случай 2 , значит, (см. рис. 3). Рис. 3. Совмещение отрезков Сравнивать способом наложения не всегда удобно, ведь отрезки могут быть очень длинными либо же очень малыми, тогда сравнение неудобно. На помощь приходит сравнение их длин. , случай 3 и Длина отрезка Каждому отрезку соответствует его длина. Длина – положительное число, являющееся результатом сравнения с эталоном. Например, с помощью ли- нейки можно установить, какая длина у данного отрезка, сколько он со- ставляет миллиметров, сколько сантиметров и т.д. При этом мы считаем, что каждой длине найдется свой отрезок. И еще раз подчеркнем, что если совместились концы отрезков, то совместились и сами отрезки. Итак, наложение мы заменяем сравнением длин. Это наглядно видно на координатном луче. Есть координатный луч (см. рис. 4). Каждой точке соответствует число, ко- ордината – расстояние до нуля. Рис. 4. Координатный луч Дана точка натой 7. с координатой 0, точка с координатой 5 и точка с коорди- Наложение здесь не требуется, мы сравниваем длины. И замечаем, что от- резок . Если равны длины отрезков, то равны и отрезки. И наоборот, если равны отрезки, то равны и их длины. Середина отрезка Напомним важное понятие – середина отрезка. Дан отрезок Т.е. (см. рис. 5). , точка – середина отрезка, если она делит его пополам. Рис. 5. – середина отрезка Сравнение углов Рассмотрим совмещение углов. Угол , угол . Возможны три случая: - два угла полностью совместились. Т.е. точки пошел по лучу значит, равны по определению (см. рис. 6). , а пошел по лучу . Фигуры при наложении совместились, значит, они совместились, луч . Если есть такое совмещение, и Рис. 6. Совмещение углов: - угол угол , меньше, чем угол (см. рис. 7). , случай 1 . Это часть большего угла, значит, Рис. 7. Совмещение углов: - Угол Значит, угол , больше, чем угол (см. рис. 8). , случай 2 . Второй угол является частью первого. Рис. 8. Совмещение углов: , случай 3 Рассмотрим частый случай. Один из углов угол (см. рис. 9). , . Неразвернутый угол всегда меньше развернутого. – развернутый, а второй Рис. 9. Сравнение развернутого и неразвернутого углов Биссектриса угла Рассмотрим понятие биссектрисы угла. Есть угол таким образом, чтобы полученные углы оказались равными, т.е. В случае луч – биссектриса (см. рис. 10). . Проведем луч . Рис. 10. Биссектриса угла Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины, который делит угол пополам. Обзор некоторых аксиом В геометрии даже самые понятные действия регламентированы аксиома- ми. Полный список аксиом мы, следуя учебнику, здесь не приводим, но ре- зультаты используем. Например: можно отложить единственный отрезок, равный данному от- , от точки . Совместим точки 1. На луче резку точку , с которой совместим точку и . Тогда , на отрезке поставим (см. рис. 11). Рис. 11. Иллюстрация к примеру 2. Есть луч можно отложить единственный угол, равный заданному рис. 12). и заданный угол , от луча в верхней полуплоскости (см. Рис. 12. Иллюстрация к примеру 3. Прямая рассекает плоскость на две полуплоскости, обладающими важ- ными свойствами: - если две точки находятся в разных полуплоскостях, то прямая общую точку с прямой , единственную точку , которая принадлежит и имеет прямой , и прямой ми , значит, и : . Причем точка (см. рис. 13). находится между точка- Рис. 13. Иллюстрация к примеру - если две точки находятся в одной полуплоскости, то отрезок общей точки с прямой (см. рис. 14). не имеет Рис. 14. Иллюстрация к примеру Формулировку аксиом мы, следуя учебникам, приводим, если они нужны в процессе доказательства. Еще раз подчеркнем: фундаментом геометрии являются: во-первых, неопределимые понятия, такие как точка, прямая; во-вторых, аксиомы (то есть истины), которые не требуют доказательств. Именно аксиомы описывают свойства точек, прямых и их взаимное распо- ложение. Все остальное доказывается. Рекомендуем заглянуть в конец учебника, прочесть список всех аксиом и убедиться, что в геометрии быва- ет не только та геометрия, которую мы будем изучать, она называется Ев- клидова, но и геометрия Лобачевского. Все это вы найдете, заглянув в конец учебника. Перейдем к задачам по теме. Задание 1 На луче с началом точками и , а точка отмечены точки и – между точками , так, что точка и (см. рис. 15). лежит между Сравните отрезки Решение и , и , и . Рис. 15. Иллюстрация к заданию 1 Ответ: , , . Задание 2 является серединой отрезка Точка Можно ли совместить наложением отрезки: (см. рис. 16). ? ? a) и и b) Решение Рис. 16. Иллюстрация к заданию 2 a) ? Ответ: да (т.к. и ) b) и ? Ответ: нет Задание 3 Луч – биссектриса угла стить углы: (см. рис. 17). Можно ли наложением совме- a) и ? и ? b) Решение Рис. 17. Иллюстрация к заданию 3 a) и ? Ответ: да (т.к. ) b) и ? Ответ: нет Задача 4 на два угла (см. рис. 18). Сравните углы делит угол . Луч и Решение Рис. 18. Иллюстрация к заданию 4 Ответ: , т.к. является частью Заключение . Итак, мы рассмотрели сравнение отрезков и углов, решили типовые зада- чи. Список рекомендованной литературы 1. 2. 3. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Буту- зов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Про- свещение, 2010. Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет 1. 2. 3. Сравнение отрезков и углов (Ис точ ник). Презентация на тему: «Сравнение отрезков и углов» (Ис точ ник). Презентация на тему: «Сравнение отрезков и углов» (Ис точ ник). Домашнее задание 1. 2. 3. Какие две геометрические фигуры можно назвать равными? С помощью какого инструмента можно построить биссектрису угла? Начертите три луча , , с общим началом. Назовите все углы, об- разованные данными лучами, сравните углы между собой.