Урок по математике "Многогранники" 11 класс

Повторительно­обобщающий урок по теме: Многогранники,  их поверхности и объемы. Цели урока: обобщить знания учащихся по данной теме. Закрепить  знания учащимися формул, по которым находят площадь  боковой поверхности, площадь полной поверхности,  объема призмы, пирамиды, уметь их применять при  решении задач. Воспитательные цели: добиться понимания значимости данного  вопроса в практической жизни. Продолжать воспитывать у  учащихся чувство старательности и  трудолюбия. Ход урока. 1. Организационный момент. 2. Проверка домашнего задания. Сообщения учащихся о многогранниках.  Призма. Призмой называется многогранник, который состоит из двух  плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и  совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих  соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники  называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие  соответствующие вершины,— боковыми ребрами призмы.  Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях. У призмы боковые ребра параллельны и равны. Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из параллелограммов. У каждого из этих  параллелограммов две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие — соседними боковыми ребрами. Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее  оснований.  Отрезок, соединяющий 2 вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю. Виды призм: 1. Прямая. Призма называется прямой, если ее боковые ребра  перпендикулярны основанию. У прямой призмы боковые грани  являются прямоугольниками.  2. Наклонная. Призма называется наклонной, если ее боковые ребра неперпендикулярны основанию. 3. Правильная. Прямая призма называется правильной, если ее  основания являются правильными многоугольниками. Пирамида Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника — основания пирамиды, точки, не лежащей в  плоскости основания,— вершины пирамиды и всех отрезков,  соединяющих вершину пирамиды с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания,  называются боковыми ребрами. Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней.  Каждая боковая грань — треугольник. Одной из его вершин является  вершина пирамиды, а противолежащей стороной — сторона основания  пирамиды. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Пирамида называется n­угольной, если ее основанием является n­ угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром. Пирамида называется правильной, если ее основанием является  правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром  этого многоугольника.  Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее  высоту. У правильной пирамиды боковые ребра равны, а значит, боковые  грани – равные равнобедренные треугольники.  Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее  вершины, называется апофемой.  Плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и  Усеченная пирамида. пересекающая пирамиду, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая  часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях,  называются  основаниями пирамиды, остальные грани называются  боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные  многоугольники, боковые грани – трапеции. Усеченная пирамида, которая получается из правильной пирамиды,  также называется правильной. Боковые грани правильной усеченной  пирамиды равные равнобокие трапеции; их высоты называются  апофемами. Правильные многогранники. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани  являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом  сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число  ребер. Существует пять типов правильных выпуклых многогранников  правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. У правильного тетраэдра грани — правильные треугольники; в  каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой  треугольную пирамиду, у которой все ребра равны. У куба все грани — квадраты; в каждой вершине сходится по три  ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с  равными ребрами. У октаэдра грани — правильные треугольники, но в отличие от  тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра. У додекаэдра грани — правильные пятиугольники. В каждой  вершине сходится по три ребра. У икосаэдра грани — правильные треугольники, но в отличие от  тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер. 3. Тестовые задания.  1.Что представляет собой призма? а. многоугольник б. многогранник в. четырехугольник г. тело вращения. 2.Что является основанием призмы? а. плоские многоугольники б. окружности в. отрезки г. многогранники 3. Какое из оснований призмы больше? а. верхнее б. нижнее в. они равны г. правильного ответа нет. 4. Как соотносятся между собой боковые ребра призмы? а. пересекаются под прямым углом б. только равны в. равны и параллельны г. скрещиваются. 5. Из чего состоит боковая поверхность призмы? а. треугольники б. параллелограммы в. многоугольники г. трапеции. 6. Чем характеризуется прямая призма? а. боковые ребра перпендикулярны основаниям б. боковые ребра перпендикулярны друг другу в. боковые ребра параллельны основаниям г. среди ответов правильного нет 7. Что характерно для правильной призмы? а. является прямой б. является наклонной в. в основании лежит правильный многоугольник г. является наклонной и в основании лежит правильный  многоугольник 8. Что является боковой гранью пирамиды? а. прямоугольники б. параллелограммы в. треугольники г. квадраты 9. Какая пирамида называется тетраэдром? а. четырехугольная  б. треугольная в. пятиугольная г. n­угольная 10. Как называется высота боковой грани пирамиды? а. медиана б.перпендикуляр в. биссектриса г. апофема 11. Какие свойства характеризуют правильную усеченную пирамиду? а. основания равны б. основания подобны в. боковые ребра параллельны и равны г. боковые ребра равны 12. Что является гранями правильного тетраэдра? а. правильные треугольники б. равнобедренные треугольники в. квадраты г. правильные пятиугольники 13. Сколько ребер сходится в каждой вершине  правильного тетраэдра? а. 2 б. 3 в. 4 г. 5 14. Что является гранями куба? а. правильные треугольники б. равнобедренные треугольники в. квадраты г. правильные пятиугольники 15. Сколько ребер сходится в каждой вершине  куба? а. 2 б. 3 в. 4 г. 5 16. Что является гранями октаэдра ? а. правильные треугольники б. равнобедренные треугольники в. квадраты г. правильные пятиугольники 17. Сколько ребер сходится в каждой вершине  октаэдра? а. 2 б. 3 в. 4 г. 5 18. Что является гранями додекаэдра? а. правильные треугольники б. равнобедренные треугольники в. квадраты г. правильные пятиугольники 19. Сколько ребер сходится в каждой вершине  додекаэдра? а. 2 б. 3 в. 4 г. 5 20. Что является гранями икосаэдра? а. правильные треугольники б. равнобедренные треугольники в. квадраты г. правильные пятиугольники 21. Сколько ребер сходится в каждой вершине  икосаэдра? а. 2 б. 3 в. 4 г. 5 4. Повторение формул для вычисления площадей полной и  боковой поверхностей и объемов  многогранников. Работа с  плакатами. 5. Контроль знаний учащихся: дифференцированная самостоятельная работа (диагностика обученности). I  вариант. 1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда,  если его длина равна 2 см, ширина – 6 см, а  диагональ – 7 см. 2.Боковая поверхность правильной четырехугольной  призмы равна 48 см 2 , а полная поверхность – 56  см 2 . Найдите высоту призмы. 3. Найдите боковое ребро правильной  четырехугольной пирамиды, если ее объем равен  4см 3 . а сторона основания равна 2см. II вариант. 1. Найдите площадь поверхности прямоугольного  параллелепипеда по трем его измерениям, равным  4см, 4см и 6см. 2. Высота правильной четырехугольной пирамиды  равна 2см, а сторона основания – 4см. Найдите  боковое ребро. 3. Найдите объем правильной четырехугольной  пирамиды, если боковое ребро равно – 10см, а  сторона основания равна  см. 28 Задания с различными вариантами педагогической поддержки для слабоуспевающих учащихся. Карточка 1. Задача. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 2 см, ширина – 4см, а диагональ – 6см. Для решения этой задачи следует использовать следующие  формулы:  1.  осн  H 2. Теорему Пифагора   SV b a с 2 2 2 Карточка 2. Задача. Найдите площадь поверхности прямоугольного  параллелепипеда по трем его измерениям, равным 10см, 2см и 5см. Подобную задачу мы решали в теме «Прямоугольный параллелепипед»  № 38, стр. 315.  Ответ должен быть следующим:  п.пS =160 см 2 Карточка 3. Задача. Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если его длина  равна 6см, ширина – 7см, а диагональ – 11см. Эталон решения: Дано: ABCD DCBA 1 1 1 ­прямоугольный 1 параллелепипед.  AD = 6см, AB = 7см,  DB1 =11см. Найти: V Решение: осн  H 76  =42(см 2 )  SV 1.По условию ABCD – прямоугольник, значит  оснS =  2. Рассмотрим    BAD, он прямоугольный по условию. По  т. Пифагора  BD AB = 85(см 2 )   AD BD AD Sосн AB  2 7 2 6 2 2 2 2  2 2 2 BDB1   42 DB 1 11 6 ,   он   прямоугольный.   По   т.Пифагора,  BD   85 1  см(252 3.   Рассмотрим      BB 2 1 BB 36 V ) Ответ: V=252 см 3 Решить задачу: Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если  его длина равна 2 см, ширина – 4см, а диагональ – 6см. (см).  6 3 Карточка 4. Задача. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 2 см, ширина – 4см, а диагональ – 6см. Для решения этой задачи следует использовать следующие  формулы:  1.  осн  H 2. Теорему Пифагора    SV a с 2 2 2 b Карточка 5. Задача. Найдите площадь поверхности прямоугольного  параллелепипеда по трем его измерениям, равным 10см, 2см и 5см. Подобную задачу мы решали в теме «Прямоугольный параллелепипед»  № 38, стр. 315.  Ответ должен быть следующим:  п.пS =160 см 2 Карточка 6. Задача. Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если его длина  равна 6см, ширина – 7см, а диагональ – 11см. Эталон решения: Дано: ABCD DCBA 1 1 1 ­прямоугольный 1 параллелепипед.  AD = 6см, AB = 7см,  DB1 =11см. Найти: V Решение: осн  H  SV 1.По условию ABCD – прямоугольник, значит  оснS =  76  =42(см 2 ) Sосн  AB AD  2 2 7 2 3 2 2 2   6 2 BD 2 AD 2  6 (см). BDB1  BD   85 1  см(252 DB 1 11 6   42 ,   он   прямоугольный.   По   т.Пифагора, 2. Рассмотрим    BAD, он прямоугольный по условию. По  т. Пифагора  AB = 85(см 2 ) BD 3.   Рассмотрим      BB 2 1 BB 36 V ) Ответ: V=252 см 3 Решить задачу: Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если  его длина равна 2 см, ширина – 4см, а диагональ – 6см. Взаимопроверка. 6.Итог урока. Сообщить о результатах урока. 7. Домашнее задание. Подготовка к контрольной работе.  1.Контрольные вопросы стр.311­312, 349.  2.Решить задачу: Боковая поверхность правильной треугольной призмы равна 18 см 2 , а полная ­ 36 см 2 . Найти высоту призмы.