Увлекательная геометрия "Дерево геометрии". Учебник: Геометрия 9 класс. (Атанасян Л.С.)

Увлекательная геометрия

 

  

 

Дерево геометрии

 

 

 Выполнили  учащиеся 9 класса:

Муратова Наталья

Барсегян Лилит

Красюк Наталья

Брызгалин Дмитрий

Брызгалина Татьяна

                                        

 

 

  Оглавление

                                                                                                      

 

  Введение…………………………………………………………………... 3-4

 

1.     Схема зависимости………………………………………………….   5

 

2.Ключевые точки схемы зависимости ……………………………..   5

 

3.Анализ зависимости теорем, свойств, признаков, следствий

 и задач от аксиом…………………………………………………….....   6

 

4.Вывод…………………………………………………………………   6

 

5.Заключение…………………………………………………………...   6

 

6.Литература……………………………………………………………   7

 

 

«Никакое человеческое исследование не может быть названо истиной, если оно не проходит через математическое доказательство»

                                                       Леонардо да Винчи

 

Введение.

Геометрия (с греческого «землемерие») появилась в результате длительного исторического процесса накопления геометрических фактов. Она посвящена системному изучению свойств геометрических фигур на плоскости и в пространстве.  Изучение геометрии основано на аксиоматическом методе. 

Суть аксиоматического метода построения научной теории состоит в следующем:

• перечисляются основные (неопределяемые) понятия,
• все вновь возникающие понятия должны быть определены через основные понятия и понятия, определенные ранее.

Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними. Так, точка и прямая – это объекты геометрии, а то, что точка принадлежит прямой, – отношение между ними. Необходимость введения основных понятий очевидна, так как процесс, состоящий в том, чтобы определить одни объекты через другие, более простые, а эти в свою очередь через еще более простые, не будет ограничен до тех пор, пока некоторые объекты не будут считаться неопределимыми.

• Далее формулируются аксиомы –  предпосылки, которые принимаются за исходные и составляют основу для доказательства теорем. Все остальные предложения должны являться логическим следствием аксиом или ранее доказанных утверждений. Список основных понятий и формулировки аксиом составляет основу теории и, в частности, планиметрии.

Таким образом, основным средством познания (выяснения новых свойств геометрических фигур) в геометрии является доказательство теорем. Теорема – утверждение, требующее доказательства.

Аксиомы и теоремы свойственны не только математике. Любая фундаментальная научная дисциплина имеет свою аксиоматику и свою теорию (область применения теорем). Геометрия появляется всюду, где нужна точность в определении формы и размеров.

Цель исследования:  показать структуру геометрических фактов планиметрии на основании анализа учебника «Геометрия 7-9» Атанасяна Л.С.

Задачи исследования:

1.     Разобрать доказательства теорем, свойств, признаков геометрии и составить схему зависимости.

2.     Выявить ключевые точки с точки зрения их использования в доказательствах.

3.     Используя построенную схему проанализировать зависимость теорем, свойств, признаков, следствий и задач от аксиом.

Для выполнения задач использовался учебник «Геометрия 7-9» Атанасяна Л.С., были изучены аксиомы и теоремы, свойства, признаки, следствия и их доказательства.

 

 

1.     Схема зависимости.

Для того чтобы составить схему зависимости были исследованы  доказательства 30 теорем, 18 свойств, признаков, следствий и 8 задач из учебника «Геометрия 7-9» (Приложение 1). Изучалось каждое доказательство, рассматривалось, на что оно опиралось. Например, при доказательстве первого признака равенства треугольников использовались 7,8 и 10 аксиома (Приложение 2). Как видим, само доказательство данной теоремы, по существу, не изменилось, только теперь мы опирались уже не на наглядно очевидные факты, а на аксиомы, в которых эти факты выражены. Так как доказательства опираются на аксиомы, на доказанные ранее теоремы, свойства, признаки, то была составлена схема зависимости (Приложение 3).

2.     Ключевые точки схемы зависимости.

Ключевая точка – это геометрический факт (аксиомы, теоремы и т.д.), который

·        непосредственно требует для своего доказательства более 3 фактов;

·        более 5 раз используется непосредственно в доказательстве других фактов.

Исходя из получившейся схемы зависимости, я считаю для определения ключевых точек следующие:

1.                                   теорема о площади параллелограмма (20, пр.1) для ее доказательства использовалось 1аксиома, 2 теоремы и 2 свойства;

2.                                   теорема о площади треугольника (21, пр.1) для ее доказательства использовалось 1 аксиома, 1 теорема и 2 свойства;

3.                                   задача о медиане треугольника (з7, пр.1) для ее доказательства использовалось 2 теоремы и 2 свойства (Приложение 4.1).

4.                                   теорема о накрест лежащих углах (7, пр.1) использовалась при доказательстве 4 теорем, 4 свойств и 1 задачи;

5.                                   первый признак равенства треугольников (1,пр.1) использовался при доказательстве 5 теорем и 3 свойств;

6.                                   аксиома 8 (пр.1) использовалась при доказательстве 7 теорем и    1 задачи;

7.                                   аксиома 7 (пр.1) использовалась при доказательстве 6 теорем;

8.                                   аксиома 10 (пр.1) использовалась при доказательстве 6 теорем;

9.                                   теорема о накрест лежащих углах (10, пр.1) использовалась при доказательстве 2 теорем, 2 свойств и 2 задач (Приложение 4.2).

3.     Анализ зависимости теорем, свойств, признаков, следствий и задач от аксиом.

 

Данная работа заключалась в следующем: используя схему зависимости, по очереди убираем одну из часто используемых аксиом при доказательствах в геометрии. Удаление той или иной аксиомы автоматически влечет удаление из схемы теорем, свойств, признаков, следствий и задач, в доказательстве которых данная  аксиома используется непосредственно или опосредованно. Исследуя так каждую аксиому видно как «рушится карточный домик».

 

·        если убрать аксиому 7, то остается 1 теорема и 2 свойства  (Приложение 5.1);

·        если убрать аксиому 8, то остается 1 теорема и 2 свойства  (Приложение 5.2);

·        если убрать аксиому 9, то остается 14 теорем, 8 свойств и 2 задачи (Приложение 5.3);

·        если убрать аксиому 10, то остается теорема о площади прямоугольника и 2 свойства параллельности (Приложение 5.4);

·        если убрать аксиому 16, то остается 17 теорем, 8 свойств и 1 задача (Приложение 5.5).

 

4.     Вывод.

 

В ходе исследовательской работы были изучены аксиомы и доказательства теорем, свойств, признаков в геометрии 7-8 класса.

Результаты работы показали, что геометрия действительно построена  на аксиоматическом методе.

1-6 аксиомы были основой для I главы «Начальные геометрические сведения».

14 и 15 в основном используют в 7-8 классе для решения геометрических задач.

Для доказательства использовались 7,8,9,10,13,16 аксиомы.

Было показано, что теоремы зависят от аксиом и если из ряда аксиом исключить 7,8 и 10, то геометрия перестает существовать. Так как в геометрии 7-8 класса остается только 1 теорема и 2 свойства.

 

 

 

1.     Заключение.

 

Подобный метод анализа структуры геометрии имеет достаточно серьезную методическую ценность. Более того, построение подобных схем зависимостей для различных учебников, может быть использован как объективный критерий сравнений методических особенностей.

 

2.     Литература

 

1.     Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб.пособие для 7-9 кл.-М.: Просвещение, 2004.

2.     Журнал «Математика в школе» №5, 1974г.

 

Приложение 1

Аксиомы геометрии.

(В схемах используются цифра в темном кружочке, например 1)

 

1.     Каждой прямой принадлежат, по крайней мере две точки.

2.     Имеются, по крайней мере три точки, не лежачие на одной прямой.

3.     Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

4.     Из тех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

5.     Каждая точка О прямой разделяет её на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О.

6.     Каждая прямая а разделяет плоскость на две части (две плоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а.

7.     Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.

8.     На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и при только один.

9.     От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.

10. Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом h₁k₁ двумя способами:1) так, что луч h совместится с лучом h₁, а луч k- с лучом k₁. 2) так, что луч h совместится с лучом k₁, а луч k – с лучом h₁.

11. Любая фигура равна самой себе.

12. Если фигура Ф  равна фигуре Ф₁, то фигура Ф₁ равна фигуре Ф.

13. Если фигура Ф₁  равна фигуре Ф₂, а фигура Ф₂ равна фигуре Ф₃, то фигура Ф₁ равна фигуреФ₃.

14. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.

15. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

      16.Через точку, не лежащую на данной прямой проходит только одна прямая,               параллельная данной.

 Теоремы геометрии.

(В схемах используются цифра в светлом кружочке, например 1)

 

1.     Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2.     Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

3.     В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

4.     В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

5.     Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

6.     Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

7.     Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

8.     Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

9.     Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равны 180⁰, то прямые параллельны.

10. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

11. Если параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

12. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180⁰.

13. Сумма углов треугольника равна 180⁰.

14. В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол;2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

15. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух сторон.

16. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

17. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

18. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

19. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

20. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

21. Площадь треугольника равна половине произведения его  произведения на высоту.

22. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площадь этих треугольников относятся как произведение сторон, заключается.

23. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

24. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

25. Обратная. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

26. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

27. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

28. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключены между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

29. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

30. Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон и равна половине этой стороны.

 

Свойства, признаки, следствия.

(В схемах используются цифра с надстрочным 0 в светлом кружочке, например 1⁰)

 

1.            Следствие о параллельных прямых: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

2.     Следствие о параллельных прямых: Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

3.            Следствие    о    прямоугольном    треугольнике:    В    прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

4.     Следствие о прямоугольном треугольнике: Если два угла треугольника равны,  то  треугольник равнобедренный  (признак равнобедренного треугольника).

5.     Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰.

6.  Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30⁰, равен  половине гипотенузы.

7.  Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

8.  Если катет и прилежащий к нему острый угол  одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

9.  Свойство   параллелограмма:   В   параллелограмме   противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

10.    Свойство    параллелограмма:    диагонали    параллелограмма    точкой пересечения делятся пополам.

11.    Признак  параллелограмма:  Если  в  четырёхугольнике две  стороны равны: и параллельны, то этот четырёхугольник-параллелограмм.

12.    Признак        параллелограмма: Если  в  четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник-параллелограмм.

13.    Признак   параллелограмма:   Если   в   четырёхугольнике   диагонали пересекаются   и   точкой   пересечения   делятся   пополам,   то   этот
четырёхугольник - параллелограмм.

14.    Свойство ромба: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

15.    Следствия   о   площади   прямоугольного   треугольника:   Площадь прямоугольного   треугольника   равна   половине   произведения   его катетов.

16.    Следствия о площади прямоугольного треугольника: Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

17.    Равные многоугольники имеют равные площади.

18. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

 

Задачи.

(В схемах используются буква з и цифра в светлом кружочке, например з1)

1.  № 153. Дана прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте  прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой  а.

2.           № 212. Докажите, что если стороны одного угла соответственно   параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°.

3.            № 384. Через середину М стороны АВ треугольника ABC проведена  прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает стону АС в точке N. Докажите, что AN=NC.

4.   №524.(Формула Герона) Докажите, что площадь S треугольника  со сторонами а, в, с выражается формулой S=√р(р–а)(р– в)(р – с), 

    где  р=1/2 (а+в+с) – полупериметр треугольника.

5.            № 535. Докажите,     что    биссектриса    треугольника    делит противоположную     сторону     на     отрезки,     пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

6.            № 556. Стороны угла О пересечены параллельными прямыми АВ и CD. Докажите, что отрезок ОА и АС пропорциональны отрезкам ОВ и BD.

7.            Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

8.            Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

 

Приложение 2

 

Доказательство первого признака равенства треугольника.

 

Теорема. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

Доказательство.

Нужно было доказать, что если АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁ и /A = /A₁, то треугольники ABC и А₁В₁С₁ равны. С этой це­лью мы рассматривали такое наложение, при котором вершина А совмещается с вершиной A₁, а стороны АВ и АС треугольника ABC накладываются соответственно на лучи A₁C₁ и A₁B₁. При этом мы опирались на наглядно очевидный факт, что такое на­ложение существует, поскольку углы А и А₁ равны. Теперь мож­но сказать, что существование такого наложения следует из аксиомы 10.

Далее мы рассуждали так: поскольку АВ=А₁В₁, АС =А₁С₁, то сторона АВ совместится со стороной А₁В₁, а сторо­на АС — со стороной А₁С₁, в частности совместятся точки В и В₁, С и С₁. Как обосновать этот факт, опираясь на аксиомы? Очень просто.

По аксиоме 8 на луче А₁В₁ от точки А₁ можно отло­жить только один отрезок, равный отрезку АВ. Но по условию теоремы АВ =А₁В₁, поэтому при нашем наложении точка В со­вместится с точкой B₁ Аналогично точка С совместится с точ­кой C₁ Остается сослаться на аксиому 7, чтобы обосновать тот факт, что сторона ВС совместится со стороной В₁С₁. Теперь мож­но сделать вывод, что треугольники ABC и А₁В₁С₁ полностью совместились и, значит, они равны.

 

Скачано с www.znanio.ru