Векторы в пространстве

Векторы в пространстве

Понятие вектора в пространстве

Вектор(направленный отрезок) –
отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом.

Длина вектора – длина отрезка AB.
А
В
M

Коллинеарные векторы Два ненулевых вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или параллельных прямых

Коллинеарные векторы

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной
прямой или параллельных прямых.

Среди коллинеарных различают:
Сонаправленные векторы
Противоположно направленные векторы

Равные векторы Равные векторы - сонаправленные векторы, длины которых равны

Равные векторы

Равные векторы - сонаправленные векторы,
длины которых равны.
От любой точки можно отложить вектор,
равный данному, и притом только один.

Противоположные векторы Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны

Противоположные векторы

Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны.

Вектором, противоположным нулевому,
считается нулевой вектор.

Признак коллинеарности

Действия с векторами Сложение Вычитание

Действия с векторами

Сложение
Вычитание
Умножение вектора на число

Сложение векторов Правило треугольника

Сложение векторов

Правило треугольника
Правило параллелограмма
Правило многоугольника
Правило параллелепипеда

Правило треугольника А B C

Правило треугольника

А
B
C

Правило треугольника А B C Для любых трех точек

Правило треугольника

А
B
C
Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:

Правило параллелограмма А B C

Правило параллелограмма

А
B
C

Правило многоугольника Сумма векторов равна вектору, проведенному из начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании)

Правило многоугольника

Сумма векторов равна вектору, проведенному
из начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании).
B
A
C
D
E
Пример

Пример C A B D A1 B1 C1 D1

Пример

C
A
B
D
A1
B1
C1
D1

Правило параллелепипеда B А C D

Правило параллелепипеда

B
А
C
D
A1
B1
C1
D1
Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда.

Свойства B А C D A1 B1 C1 D1

Свойства

B
А
C
D
A1
B1
C1
D1

Вычитание Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору

Вычитание

Разностью векторов и называется такой
вектор, сумма которого с вектором равна
вектору .

Вычитание B A Правило трех точек

Вычитание

B
A
Правило трех точек
C

Умножение вектора на число

Свойства

Определение компланарных векторов

Компланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости.
Пример:
B
А
C
D
A1
B1
C1
D1

О компланарных векторах Любые два вектора всегда компланарны

О компланарных векторах

Любые два вектора всегда компланарны.

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.
α
если

Признак компланарности

Задачи на компланарность Компланарны ли векторы: а) б) 2

Задачи на компланарность

Компланарны ли векторы:
а)
б)

2.) Известно, что векторы , и компланарны. Компланарны ли векторы:
а)
б)

Решение

Разложение вектора По двум неколлинеарным векторам

Разложение вектора

По двум неколлинеарным векторам
По трем некомпланарным векторам

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Теорема.
Любой вектор можно разложить по двум
данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Если вектор p представлен в виде

где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор
разложен по векторам , и .
Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.

Теорема
Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство теоремы С O A B

Доказательство теоремы

С
O
A
B
P1
P2
P

Базисные задачи

Вектор, проведенный в середину отрезка,

Доказательство
равен полусумме векторов, проведенных из той же точки в его концы.

Доказательство С A B O

Доказательство

С
A
B
O

Вектор, соединяющий середины двух отрезков,

С
A
B
D
M
N
С
A
B
D
M
N
Доказательство
равен полусумме векторов, соединяющих их концы.

Доказательство С A B D M N

Доказательство

С
A
B
D
M
N

Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма,

A
B
C
D
O
M
Доказательство
равен одной четверти суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины параллелограмма.

Доказательство A B C D O M

Доказательство

A
B
C
D
O
M

Задача 1. Разложение векторов

Задача 1. Разложение векторов

Разложите вектор по , и :

а)
б)
в)
г)
Решение
A
B
C
D
N

Решение а) б) в) г)

Решение

а)
б)
в)
г)

Задача 2. Сложение и вычитание

Задача 2. Сложение и вычитание

Упростите выражения:
а)
б)
в)
г)
д)
е)

Решение

Решение а) б) в) г) д) е)

Решение

а)
б)
в)
г)
д)

е)

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

20.10.2023