Векторы (8 класс)

ВЕКТОРЫ ВЕКТОРЫ 8 КЛАСС 8 КЛАСС

ЧТО ТАКОЕ ВЕКТОР? ЧТО ТАКОЕ ВЕКТОР? Понятие вектора возникает там, Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются объектами, которые характеризуются величиной и направлением:: например, например, величиной и направлением скорость, сила, давление. Такие скорость, сила, давление. Такие векторными величины называются векторными величины называются величинами илиили векторами векторами.. величинами

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ  ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ  ВЕКТОРА ВЕКТОРА Наиболее наглядно величину и направление одновременно • Наиболее наглядно величину и направление одновременно вектора. . можно задать с помощью направленного отрезка – вектора можно задать с помощью направленного отрезка – Направление вектора указывается стрелкой. Точка AA Направление вектора указывается стрелкой. Точка вектора, а точка BB – – концомконцом.. называется началом называется Векторы обозначаются латинскими буквами aa,, b b,, c c,, …, также ABAB,, CD CD, … также , … (на первом месте ставится начало вектора). (на первом месте ставится начало вектора). началом вектора, а точка • Векторы обозначаются латинскими буквами …, а а В Конец вектора C D А Начало  вектора a b c

НУЛЕВОЙ ВЕКТОР НУЛЕВОЙ ВЕКТОР Любую точку плоскости • Любую точку плоскости можно считать вектором. можно считать вектором. Такой вектор называется Такой вектор называется нулевым. нулевым. Начало нулевого вектора • Начало нулевого вектора совпадает с его концом. совпадает с его концом. Нулевой вектор • Нулевой вектор обозначается 00 или обозначается или СССС.. М MM ­ нулевой вектор С CC ­ нулевой вектор

ДЛИНА ВЕКТОРА ДЛИНА ВЕКТОРА Расстояние между началом и концом вектора • Расстояние между началом и концом вектора называется длинойдлиной или или модулем называется Длина вектора обозначается ||аа|| или Длина вектора обозначается Длина нулевого вектора считается равной нулю. • Длина нулевого вектора считается равной нулю. модулем вектора. вектора. или ||АВАВ||.. A B a N C D |AB| = 6           |CD| = 5 |a| = 5              |NN| = 0 (каждая клетка на рисунке  имеет сторону, равную  единице измерения отрезков)

КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ • Ненулевые векторы называются коллинеарными, , Ненулевые векторы называются коллинеарными если они лежат либо на одной прямой, либо на если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому • Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. вектору. O b K a D C F CD, KF, O,  a,  b –  коллинеарные O, a – коллинеарные O, NP – коллинеарные NP, m – не коллинеарные N P m

НАПРАВЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ НАПРАВЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ Если два ненулевых вектора • Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены коллинеарны и направлены одинаково, то эти векторы одинаково, то эти векторы называются называются сонаправленными. сонаправленными. C Если два ненулевых вектора • Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены коллинеарны и направлены противоположно, то эти противоположно, то эти векторы называются векторы называются противоположно противоположно направленными.. направленными Нулевой вектор • Нулевой вектор сонаправлен с любым с любым сонаправлен вектором. вектором. a F D M b K ↑↑ a  ↑↓ a  CD   b  b       a  ↑↑ ↑↓ KF  KF   MM  ↑↑ a       MM  ↑↑ b

РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ равными, если они сонаправлены , если они сонаправлены • Векторы называются Векторы называются равными и их длины равны. и их длины равны. Равенство векторов обозначается: a = b : a = b • Равенство векторов обозначается Все нулевые векторы равны друг другу. • Все нулевые векторы равны друг другу. C a b a   b │a  = b  │ │ │  a = b M CC = MM

ОТКЛАДЫВАНИЕ ВЕКТОРА  ОТКЛАДЫВАНИЕ ВЕКТОРА  ОТ ДАННОЙ ТОЧКИ ОТ ДАННОЙ ТОЧКИ От любой точки можно отложить вектор, равный • От любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и притом только один. данному вектору, и притом только один. а А В p М N' N M  p p II AB MN = AB MN' = AB MN = a

ЗАДАЧА                      ЗАДАЧА                       Какие из векторов,  Какие из векторов, изображенных на изображенных на рисунке: рисунке: 1)1) коллинеарны; коллинеарны; 2)2) сонаправлены; сонаправлены; противоположно 3)3) противоположно направлены; направлены; 4)4) имеют равные длины? имеют равные длины? Отложите эти векторы от Отложите эти векторы от одной точки.. одной точки c d a b

ЗАДАЧА                     ЗАДАЧА                      На рисунке изображена равнобедренная • На рисунке изображена равнобедренная трапеция KLMN.KLMN. трапеция а) Укажите сонаправленные,, противоположно противоположно а) Укажите сонаправленные направленные,, равные вектора равные вектора.. направленные б) Укажите векторы,, длины которых равны длины которых равны. . б) Укажите векторы Равны ли при этом сами векторы? Равны ли при этом сами векторы? L M K N

ЗАДАЧИ                      ЗАДАЧИ                       На рисунке изображен параллелограмм ABCD.ABCD.Укажите Укажите • На рисунке изображен параллелограмм длины которых равны. . Равны ли при этом сами Равны ли при этом сами векторы,, длины которых равны векторы векторы? векторы? B C A D • В ромбе В ромбе ABCD отложен вектор AE, AE, равный вектору отложен вектор вектора EC.EC. вектора ABCD llACACll = = 12см 12см, , llBDBDll == 16см 16см.. От вершины От вершины A A равный вектору BD. BD. Найдите длину Найдите длину Отметьте две точки A A и и B.B. Найдите такую точку • Отметьте две точки AX = XB; бб) AX = BX; AX = XB; ) AX = BX; вв) XA = XB. ) XA = XB. Найдите такую точку X, X, что: а) что: а)

ЗАДАЧИ ЗАДАЧИ                   D(1;-2). Отложите от и точка D(1;-2). Даны вектор BC BC и точка Отложите от • Даны вектор точкиточки D D вектор, равный вектору вектор, равный вектору BC.BC. Как должен быть расположен ненулевой • Как должен быть расположен ненулевой векторвектор aa относительно прямой относительно прямой kk,, чтобы чтобы нашлись лежащие на этой прямой векторы,, нашлись лежащие на этой прямой векторы равные aa?? Сколько таких векторов найдется равные Отметьте на чертеже три из них.. Отметьте на чертеже три из них Сколько таких векторов найдется?? Векторы AB AB и и DC DC равны равны.. Докажите • Векторы точкиточки A, B, C четырехугольник ABCD четырехугольник Докажите,, что если что если A, B, C и и D D не лежат на одной прямой не лежат на одной прямой,, то то ABCD ― ― параллелограмм параллелограмм..

СУММА ДВУХ ВЕКТОРОВ СУММА ДВУХ ВЕКТОРОВ Рассмотрим пример: • Рассмотрим пример: Петя из дома(DD)) зашел к Васе( Петя из дома( в кинотеатр(КК). ). в кинотеатр( зашел к Васе(BB), а потом поехал ), а потом поехал B D В результате этих двух перемещений, которые В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами DB DB и и BKBK, Петя , Петя можно представить векторами в К, т.е. на вектор DDК:К: переместился из точки D D в К, т.е. на вектор переместился из точки K DK=DB+BK DK=DB+BK.. Вектор DKDK называется суммой векторов Вектор называется суммой векторов DB DB и и BKBK..

ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ  ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ  1) а+1) а+b=b+a Пусть а и ВЕКТОРОВ ВЕКТОРОВ (переместительный закон) b=b+a (переместительный закон) Правило параллелограмма Правило параллелограмма Пусть а и bb – два вектора. Отметим – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем вектор АDD = = bb. На этих . На этих точки АВ = а, затем вектор А векторах построим параллелограмм АВСDD.. векторах построим параллелограмм АВС АС = АВ + АС = АВ + BBС = а+С = а+bb АС = ААС = АDD + + DDС = С = b+ab+a D a C b a 2) 2) ((а+а+b)+c=a+(b+c) b)+c=a+(b+c) (сочетательный закон) (сочетательный закон) A b a b B

СУММА НЕСКОЛЬКИХ  СУММА НЕСКОЛЬКИХ  ВЕКТОРОВ ВЕКТОРОВ Правило многоугольника Правило многоугольника s=a+b+c+d+e+f s=a+b+c+d+e+f b a c d e f s m k n p r O k+n+m+r+p=00 k+n+m+r+p=

ВЕКТОРЫ ВЕКТОРЫ ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ  ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ  Пусть а – произвольный ненулевой Пусть а – произвольный ненулевой вектор. вектор. Определение. Вектор Определение. Вектор b b называется называется вектору а, если а и bb имеют равные противоположным вектору а, если а и имеют равные противоположным длины и противоположно направлены. длины и противоположно направлены. aa = АВ, = АВ, b = BAb = BA a B c ­c b А Вектор, противоположный вектору cc, обозначается так: , обозначается так: Вектор, противоположный вектору --cc.. Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0 Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ Определение. Разностью двух векторов Определение. Разностью двух векторов а и а и bb называется такой вектор, сумма которого с называется такой вектор, сумма которого с вектором bb равна вектору а. равна вектору а. вектором Теорема. Для любых векторов а и Теорема. равенство а - bb = а + (- равенство а - Задача. Даны векторы а и Задача. Для любых векторов а и bb справедливо справедливо = а + (-bb). ). ­b Даны векторы а и bb. Построить вектор а . Построить вектор а –– b b.. b ­b а а a ­ b