Величины и зависимости между ними

Величины и зависимости между ними

Содержание данного раздела учебника связано с компьютер­ным математическим моделированием. Применение математичес­кого моделирования постоянно требует учета зависимостей одних величин от других. Приведем примеры таких зависимостей:

1) время падения тела на землю зависит от его первоначальной высоты;

2) давление газа в баллоне зависит от его температуры;

3) уровень заболеваемости жителей города бронхиальной аст­мой зависит от концентрации вредных примесей в городском воздухе.

Реализация математической модели на компьютере (компью­терная математическая модель) требует владения приемами представления зависимостей между величинами.

Рассмотрим различные методы представления зависимостей.

Всякое исследование нужно начинать с выделения количест­венных характеристик исследуемого объекта. Такие характерис­тики называются величинами.

С понятием величины вы уже встречались в курсе информати­ки 7-9 классов. Напомним, что со всякой величиной связаны три основных свойства: имя, значение, тип.

Имя величины может быть смысловым и символическим. Примером смыслового имени является « давление газа », а симво­лическое имя для этой же величины - Р. В базах данных вели­чинами являются поля записей. Для них, как правило, использу­ются смысловые имена, например: ФАМИЛИЯ, ВЕС, ОЦЕНКА и т. п. В физике и других науках, использующих математический аппарат, применяются символические имена для обозначения ве­личин. Чтобы не терялся смысл, для определенных величин ис­пользуются стандартные имена. Например, время обозначают буквой t, скорость - V, силу - F и пр.

Если значение величины не изменяется, то она называется по­стоянной величиной или константой. Пример константы - число Пифагора  = 3,14159  .. Величина, значение которой может меняться, называется переменной. Например, в описании процесса падения тела переменными величинами являются высота Н и время падения t.

Третьим свойством величины является ее тип. С понятием типа величины вы также встречались, знакомясь с программиро­ванием и базами данных. Тип определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин: числовой, символьный, логический . Поскольку в данном разделе мы будем говорить лишь о количественных характеристиках, и рассматриваться будут только величины числового типа.

А теперь вернемся к примерам 1-3 (см. начало параграфа) и обозначим (поименуем) все переменные величины, зависимости между которыми нас будут интересовать. Кроме имен укажем размерности величин. Размерности определяют единицы, в кото­рых представляются значения величин.

1) t (с) - время падения; Н (м) - высота падения. Зависи­мость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивле­ния воздуха; ускорение свободного падения g (м/с² ) будем считать константой.

2) Р (н/м2 ) - давление газа (в единицах СИ давление измеряет­ ся в ньютонах на квадратный метр); t (⁰С) - температура газа. Давление при нуле градусов Р₀ будем считать констан­той для данного газа.

3) Загрязненность воздуха будем характеризовать концентра­цией примесей (каких именно, будет сказано позже) - С (мг/м³ ). Единица измерения - масса примесей, содержа­щихся в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в милли­граммах. Уровень заболеваемости будем характеризовать числом хронических больных астмой, приходящихся на 1000 жителей данного города - Р (бол. /тыс.).

Отметим важное качественное различие между зависимостя­ми, описанными в примерах 1 и 2 , с одной стороны, и в приме­ ре 3, с другой . В первом случае зависимость между величинами является полностью определенной: значение Н однозначно опре­деляет значение t (пример 1), значение t однозначно определяет значение Р (пример 2). Но в третьем примере зависимость между значением загрязненности воздуха и уровнем заболеваемости но­сит существенно более сложный характер; при одном и том же уровне загрязненности в разные месяцы в одном и том же городе (или в разных городах в один и тот же месяц) уровень заболевае­мости может быть разным, поскольку на него влияют и многие другие факторы. Отложим более детальное обсуждение этого при­ мера до следующего параграфа, а пока лишь отметим, что на ма­тематическом языке зависимости в примерах 1 и 2 являются функциональными, а в примере 3 - нет.