Вероятность в задачах ЕГЭ

ВЕРОЯТНОСТЬ В ЗАДАЧАХ ЕГЭ Случайные – события, которые могут произойти, а могут и не произойти. Действие, которое может привести к одному или нескольким результатам, называется испытанием. Возможные исходы испытания – это результаты действия (напр., орел или решка при подбрасывании). Благоприятные исходы – те, которые ожидаются в результате испытания. Обозначим вероятность события Р, n – число благоприятных исходов, m – число возможных исходов. Тогда Р= n m ,причем0≤Р≤1 . Пример. Вероятность выигрыша в лотерею, в которой из 100 билетов один выигрышный, равна Р= 1 100 . В пакете 25 яблок, из них 7 красные, остальные – зеленые. Какова вероятность того, что а) случайно вытащенное яблоко – красное? Всего исходов – 25, благоприятных – 7. Р= 7 25=0,28 . б) случайно вытащенный фрукт – банан? Всего исходов – 25, благоприятных – 0 (бананов нет). Р= 0 25=0 . №1 В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. 1 2 3 4 О О Р Р О Р О Р Благоприятных исходов 2 из 4-х возможных. №2 Найдите вероятность того, что при броске двух игральных кубиков, выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. 1 11 21 2 12 22 3 13 23 4 14 24 5 15 25 6 16 26 1 2 3 4 5 31 41 51 32 42 52 33 43 53 34 44 54 35 45 55 36 46 56 61 62 6 66 Всего 6*6 = 36 исходов, благоприятных -5. Р= 5 36 63 64 65 ≈0,14 №3. Перед началом 1 тура участников разбивают на пары с помощью жребия. Всего 26 шахматистов, из них из России – 10, в том числе Орлов. Найти вероятность того, что Орлов будет в 1 туре играть с кем-либо из России. Всего 26 участников. У Орлова всего 25 партнеров. 9 из 10 – благоприятные партнеры из России. Р= 9 25=0,36 . Несовместимые события – те, которые не могут происходить одновременно. Монета падает орлом или решкой – это 2 несовместимых события. Вероятность их одновременного наступления равна нулю. Независимые события – такие события, при которых вероятность исхода одного из них не зависит от происхождения другого. Сумма событий А и Б – произошло событие А и Б ( А∪Б¿ Если А и Б несовместимы, то Р(А+Б) = Р(А) + Р(Б) Пример: Какова вероятность того, что при бросании кубика выпадет «3» или «4»? Пусть событие А – выпадет «3», событие Б – выпадет «4». Так как эти события независимы, то Р(А и Б) = Р(А) + Р(Б). РА=1 6 ,РБ=1 6 ,РАиБ=1 6 +1 6=1 3 Произведением событий А и Б называется событие С, которое заключается в том, что произошли события А и Б одновременно Если события А и Б независимы, то Р(А∙Б)=Р(А)∙Р(Б) Какова вероятность одновременного происхождения двух событий одновременно: выиграть в лотерею (А) и познакомиться в этот же день с девушкой (Б), если Р(А) = 0,01, Р(Б) = 0,4? Так как эти события независимы, то Р=Р(А)∙Р=0,01∙0,4=0,004 Противоположные события: { Р1=Р(выигратьвлотерею)=0,01 Р1+Р2=0,01+0,99=1 Р2=Р(невыигратьвлотерею)=0,99 №4. В магазине 3 продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что в случайный момент времени все продавцы заняты. События «Все продавцы заняты» - Независим ые. Следовательно, Р=0,3∙0,3∙0,3=0,027 . №5. Паук заползает в лабиринт. Развернуться и ползти обратно он не может. На каждом разветвлении он выбирает один путь. Определите вероятность его выхода из А. выход А или дальше. Р(А) = Когда паук доползает до первой развилки, у него 2 возможности: 1 2 . вероятность развилка: Усложним задачу: выхода из Б. 1-я 2 ) ползетдальше(Р=1 2 ) развилка: развилка: { выходА(Р=1 { втупик(Р= 1 { выходБ(Р=1 2) 2 ) 2-я 3-я ползетдальше(Р=1 2 ) ползетдальше(Р=1 2 ) Р(Б)=1 2 ∙1 2 ∙1 2=1 8=0,125 Задачи на сумму и произведение вероятностей. №6. Две фабрики выпускают одинаковые стекла. 1-я фабрика – 45%, 2-я фабрика – 55%. Бракованных стекол первая фабрика выпускает 3%, вторая – 1%. Какова вероятность купить бракованное стекло? Р(1, брак) = 0,03∙0,45=0,0135; Р(2, брак) = 0,01∙0,55=0,0055 ; Р(купить брак) = 0,0135+0,0055=0,019 Повторение. №7. В чемпионате 16 команд. С помощью жребия нужно разбить на 4 группы по 4 команды в каждой. В барабане вперемежку лежат карточки с номерами групп. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе? 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2-я группа – это 4 карточки из 16-ти возможных. Р= 4 1 2 3 4 16= 1 4 = 0,25 №8. Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся О. решит больше 11 задач = 0,67. Вероятность того, что верно решит больше 10 задач = 0,74. Найти вероятность того, что О, решит ровно 11 задач. Возможные исходы: пусть n – число верно решенных задач. n > 10 (P=0.74) n > 11 (события несовместимы) n = 11 (Р(>11) = 0,67) (Р(=11) = х) 0.74 = 0.67 + х х = 0,07 № 9. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выиграет у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найти вероятность того, что А. выиграет оба раза. Таблица возможных исходов для А.: Выигрыш 0,52 0,3 Белые Черные 1-я партия: А. – белые 2-я партия: А. – черные Р = 0,52∙0,3=0,156 Проигрыш 0,48 0,7 №10. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле = 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попадет, а последние два раза промахнется. Результат округлите до сотых. 1 выстрел 2 выстрел 3 выстрел 4 выстрел 5 выстрел Попал 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 Р=0,83∙0,22≈0,02 Промахнулся 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 я и т ы б о С е ы м и с и в а з е н способ: Р=1−0,05∙0,05=0,9975 2 автома т - 0,05 + 0,95 + 0,95 - 0,05 №11. В магазинах стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найти вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Пусть + - автомат исправен (Р=0,95), - - автомат неисправен (Р=0,05). 1 События независимые. Подходят исходы А, Б, В. автомат 1 способ: Р=0,05∙0,95+0,95∙0,05+0,95∙0,95=0,9975 + 0,95 (сумма 2 - 0,05 противоположных событий = 1) + 0,95 - 0,05 №12. Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года = 0,3. Найти вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. Пусть + - лампа работает (Р = 0,7), - - лампа перегорела (Р = 0,3) 1 лампа + 0,7 - 0,3 + 0,7 - 0,3 №13. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе = 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах = 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Так как события зависимые, то вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах =0,12, а не 0,3∙0,3=0,09 ! События независимые. Подходят исходы А, Б, В. 1 способ: Р=0,7∙0,3+0,3∙0,7+0,7∙0,7=0,91 Р=1−0,3∙0,3=0,91 2 противоположных событий = 1) 2 лампа - 0,3 + 0,7 + 0,7 - 0,3 А Б В Г А Б В Г способ: (сумма Исход подходи т 1 +0, 7 - 0,3 + 0,7 - 0,3 2 - 0,3 + 0,7 +0, 7 - 0,3 Проще посчитать, что кофе закончится хотя бы в одном автомате или в двух сразу (сумма зависимых событий): Р(А∪Б)=Р(А)+Р(Б)−Р(А∩Б)=0,3+0,3−0,12=0,48 Р = 1 – 0,48 = 0,52 (или 2 способ: пусть В – не закончился в 1-м (Р = 1 - 0,3 = 0,7), Г – не закончился во 2-м (Р = 1 - 0,3 = 0,7), не закончился в обоих автоматах Р(В∩Г)=1−0,12=0,88. Тогда Р = 0,7+0,7-0,88=0,52) (Совокупность событий: оба сразу; [] −(∪) - сумма событий, т.е. или то, или другое, или Система: {¿−(∩)−произведениесобытий,т.еито,идругоесразу. ) №14. Чтобы поступить в институт на специальность «лингвистика» абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из 3 х предметов: математика, русский язык, иностранный язык. Чтобы поступить в институт на специальность «коммерция» абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из 3х предметов: математика, русский язык, обществознание. Вероятность того, что абитуриент К. получит не менее 70 баллов по математике = 0,6, про русскому языку = 0,8, по обществознанию = 0,5, по иностранному языку = 0,7. Найдите вероятность того, что К. сможет поступить хотя бы на одну из упомянутых специальностей. Благоприятные исходы: абитуриент поступит на специальность и «коммерция» «лингвистика» математика русский язык иностранный язык Р = 0,6 Р = 0,8 Р = 0,7 «лингвистика» «коммерция» Р = 0,6 математика математика русский язык русский язык Р = 0,8 иностранный обществознание Р = 0,5 язык обществознание Р = 0,6 Р = 0,8 Р = 0,7 Р = 0,5 иностранный язык + (0,7) - (0,3) + (0,7) - (0,3) обществознан ие - (0,5) + (0,5) + (0,5) - (0,5) исходы подходят Р = 0,7∙0,5+0,3∙0,5+0,7∙0,5=0,85 (1 способ) не подходит Р = 1−0,3∙0,5=0,85 (2 способ) Так как результаты сдачи экзаменов – независимые события, следовательно Р = 0,6∙0,8∙0,85=0,408 №15 Агрофирма закупает яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц купленных в 1-м домашнем хозяйстве – высшей категории, 20% яиц во 2-м домашнем хозяйстве – высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Какова вероятность того, что яйца, купленные в этой агрофирме, окажутся из первого хозяйства? Пусть х - вероятность того, что купленные яйца из 1-го хозяйства. Высшая категория 0,4 0,2 1 хозяйство 2 хозяйство Купить яйца одного из хозяйств – несовместные события. Если Р1 = х, то Р2 = 1 – х. Вероятность того, что яйца из 1-го хозяйства – высшей категории = 0,4х, вероятность того, что яйца из 2-го хозяйства – высшей категории =0,2(1 – х). Так как всего высшую категорию получают 35% всех яиц, то вероятность купить яйца высшей категории = 0,35 ∙1 Не высшая категория 0,6 0,8 0,4х+0,2(1−х)=0,35 , х = 0,75. он из промахнется пристрелянного №16. Ковбой Джон попадает в муху с вероятностью Р = 0,9 из пристрелянного револьвера и с вероятностью Р = 0,2 из непристрелянного. На столе лежат 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет. Найдите вероятность того, что он промахнется. Так как 4 револьвера пристрелянные, тогда 6 – нет. Вероятность того, что Джон схватит пристрелянный револьвер = 0,4, пристрелянный - =0,6. Вероятность того, = что 0,4∙0,1=0,04(независимыесобытия), – ¿0,6∙0,8=0,48(независимыесобытия). «Промахнется из пристрелянного револьвера» и «промахнется из непристрелянного револьвера» - несовместные события, следовательно Р = 0,04 + 0,48 = 0,52 №17. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на 3? Всего чисел 10, из них делятся на 3 три числа. Р = 0,3. №18. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают 2х человек, чтобы идти в магазин. Турист А. хочет идти в магазин, но подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдет в магазин? револьвера непристрелянного из Р = 2 5=0,4 . №19. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы узнать, кто начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что «Физик» выиграет жребий ровно 2 раза. Всего исходов – 8, благоприятных – 3. Р = 3 8=0,375 . №20. В классе 26 человек, среди них два близнеца А. и С. Класс случайным образом делят на две группы. Какова вероятность того, что А. и С. окажутся в одной группе? Пусть А уже в группе, тогда для С. осталось одноклассников 25 человек, для С. шансов уже 12 из 25-ти. Р = 12 25 = 0,48. №21. В группе туристов 30 человек. Их вертолетом забрасывают по 6 человек за рейс случайным образом. Найти вероятность того, что турист А. полетит первым рейсом. Всего рейсов пять. Р ¿ 1 5=0,2 №22. На олимпиаде учащихся рассаживают по трем аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся рассаживают в запасной аудитории. При подсчете выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник попал в запасную аудиторию. В запасной аудитории 10 человек. Р= 10 250=0,04. №23. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе будет меньше 20 человек равна 0,94. Вероятность того, что пассажиров окажется меньше 15-ти, равна 0,56. Найти вероятность того, что пассажиров будет от 15 до 19. n < 20 (P = 0.94) n<15 события несовместимы 15≤n≤19 Р 1 = 0,56 Р 2 = х Р = Р1 + Р2 → 0,56 + х = 0,94 → х = 0,38. №24. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявит гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% поступающих с подозрением на гепатит действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным. Пациент поступил с подозрением болен Р = 0,05 события несовместные здоров Р = 0,95 Р = 0,01 Р = 0,99 Р = 0,05∙0,9+0,95∙0,01=0,0545 . Р = 0, 1 Р = 0,9 Ссылка на сайт: http :// www . ege - study . ru /