Что такое софизм?

Правильно понятая ошибка – это путь к открытию

И.П. Павлов

Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка), формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений.

          Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок.        Особенно   часто    в        математических софизмах выполняются «запрещённые» действия или    не   учитываются        условия      применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям        «очевидности».               Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

          В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки в математических исследованиях, допускаемые даже выдающимися математиками. Именно уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики. 

          Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформулировать эту аксиому можно так: через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной (что одну          прямую,    параллельную         данной,     можно       провести   –       это доказывается). Это утверждение на протяжении более чем двух тысяч лет пытались доказать, вывеси из остальных аксиом геометрии, но все попытки не увенчались успехом. Полученные «доказательства» оказались ошибочными. И всё же, несмотря на ошибочность этих «доказательств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Можно сказать, что они подготовили одно из величайших достижений в области геометрии и всей математики – создание неевклидовой геометрии. Честь разработки новой геометрии принадлежит нашему великому         соотечественнику      Н.И. Лобачевскому   и       венгерскому математику Яношу Бойяи. Н.И. Лобачевский и сам сначала пытался доказать аксиому параллельных, но скоро понял, что этого сделать нельзя. И путь, идя которым Лобачевский убедился в этом, привёл его к созданию новой геометрии. Этот замечательный вклад в математику был одним из тех, которые прославили русскую науку. 

Чем полезны софизмы и что они дают?

          Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, то есть прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в математических рассуждениях. Что важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала, наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений. Всё это нужно и важно. 

          Наконец, разбор софизмов увлекателен. Чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.

        Софизм «Учеба»

The more you study, the more you know The more you know, the more you forget

The more you forget, the less you know

The less you know, the less you forget The less you forget, the more you know So why study?

Алгебраические софизмы

Вот некоторые результаты решения софизмов: 

(для  подробного просмотра  нажмите на выбранную строку)

1 р. = 10 000 к. Возьмём верное равенство: 

1 р. = 100 к.  Возведём его по частям в квадрат. 

************************************************************************************

Вопрос: 

В чём ошибка?

 Ответ (нажмите «Enter»):

 Возведение в квадрат величин не имеет смысла. В квадрат возводятся только числа.

5 = 6

Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмём числовое тождество: 

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. 

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9). 

(заключённый в скобки).

Получаем  5 = 6.

************************************************************************************

Вопрос: 

В чём ошибка?

Ответ (нажмите «Enter»):

Общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя.

4 = 8

Возьмём систему уравнений:

Решим её способом подстановки. Получим: 

 x =             ; 

4 – y + y = 8, т.е. 4 = 8. 

************************************************************************************

Вопрос: 

В чём здесь дело?

Ответ (нажмите «Enter»):

Уравнения данной системы несовместны.

2 · 2 = 5

Имеем числовое равенство (верное):  4 : 4 = 5 : 5.  Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель.  Получим: 4 (1 : 1) = 5 (1 : 1).

************************************************************************************

Вопрос: 

Где здесь ошибка?

Ответ (нажмите «Enter»):

Ошибка допущена в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4 : 4 = 5 : 5.

5 = 1

Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3.

Получим числа 2 и – 2. 

При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 

************************************************************************************

Вопрос: 

В чём ошибка?

Ответ (нажмите «Enter»):

Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.

4 = 5

Имеем числовое равенство (верное):

 ************************************************************************************

Вопрос: 

В чём ошибка?

Ответ (нажмите «Enter»):

(4 – 4,5)² = (5 – 4,5)² ↔ |4 – 4,5| = |5 – 4,5|.

Любое число равно его половине

Возьмём два равных числа a и b, a = b. Обе части этого равенства умножим на a и затем вычтем из произведений по b². Получим:

a² – b²  = ab – b², или (a + b) (a – b) = b (a – b).

************************************************************************************

Вопрос: 

В чём ошибка?

Ответ (нажмите «Enter»):

Нельзя делить на (a – b), так как (a – b) = 0.

Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска

Пусть a (м) – расстояние от Земли до Солнца, а b (м) – толщина волоска. Среднее арифметическое их обозначим через v. Имеем:

a + b = 2v, a = 2v – b, a – 2v = – b. Перемножив по частям два последних равенства, получаем:

************************************************************************************

Вопрос: 

Где здесь ошибка?

Ответ (нажмите «Enter»):

Ошибка как в примере №6.

Любое число = 0

Каково бы ни было число a, верны равенства:

************************************************************************************

Вопрос: 

В чём ошибка?

Ответ (нажмите «Enter»):

Ошибка как в примере №6.

Из двух неравных чисел  первое всегда больше второго

Пусть a и b – произвольные числа и a ≠ b. Имеем:

(a – b)² > 0, _т.е. a² – 2ab – b² > 0, _или a² + b² > 2ab. К обеим частям этого неравенства прибавим  – 2b². Получим:

************************************************************************************

Вопрос: 

Где допущена ошибка?

Ответ (нажмите «Enter»):

При делении обеих частей неравенства (a + b) (a – b) > 2b (a – b)  на (a – b) знак неравенства может измениться на противоположный (если a – b < 0).

Геометрические софизмы

Вот некоторые примеры геометрических софизмов: 

(для  подробного просмотра  нажмите на выбранную строку)

Пример 2.          Земля и апельсин

Пример 3.          Искусная починка

Пример 4.          Два перпендикуляра

Пример 5.          «Новое доказательство» теоремы Пифагора

Загадочное исчезновение

У нас есть произвольный прямоугольник, на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга, так, как

Рис_{. 1}

************************************************************************************                                                                                           

Вопрос: 

Куда исчезла 13-я линия?

 Ответ (нажмите «Enter»):

 13-я линия удлинила каждую из оставшихся на 1/12 своей длины .

Земля и апельсин

Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кругу. Далее вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1м. Тогда обручи отстанут от поверхности тел и образуют некоторый зазор

************************************************************************************

Вопрос: 

Где зазор будет больше: у апельсина или у Земли?

Ответ (нажмите «Enter»):

Пусть  длина окружности земного шара = C, а апельсина с метрам. Тогда радиус Земли R =  C/2 и радиус апельсина r = c/2 . После прибавки к радиусам 1 метра окружность обруча у Земли будет C + 1, а у апельсина       c + 1. Радиусы их соответственно будут: (C + 1)/2 и  (c + 1)/2 . Если из новых радиусов вычтем прежние, то получим в обоих случаях одно и то же.

(C + 1)/2 - C/2 = 1/2                              -                          для Земли, 

(c + 1)/2 - c/2 = 1/2                                -                для апельсина   Итак, у Земли и у апельсина получается один и тот же зазор   в 1/2  метра (примерно 16 см).

Искусная починка

В дне деревянного судна во время плавания случилась прямоугольная пробоина в 13 см длины и 5 см ширины, т.е. площадь пробоины = 65 см². Судовой плотник взял квадратную дощечку со стороной квадрата 8 см (т.е. площадь = 64 см²), разрезал её прямыми линиями на четыре части A, B, C, D так, как показано на рисунке 2, а  затем сложил их так, что получился прямоугольник, как раз соответствующий пробоине, см. рисунок 3. Этим прямоугольником он и заделал пробоину. Вышло, что плотник сумел квадрат в 64 см² обратить в прямоугольник с площадью 65 см².

*******************************************************

Вопрос: 

Как такое могло получиться? Ответ (нажмите «Enter»):

Легко  видеть, что получившиеся при разрезании квадрата треугольники  A и B равны между собой. Также равны и трапеции C, D. Меньшее основание трапеций и меньший катет треугольников равны 3 см и поэтому должны совпасть при совмещении треугольника A с трапецией C и треугольника B с трапецией D. В чём же секрет? Дело в том, что точки G, H, E не лежат на одной прямой, tg  EHK = 8/3 , а tg  HGJ = 5/2. Так как 8/3 – 5/2 = 1/6 > 0, то  EHK >  HGJ. Точно так же линия EFG – ломанная. Площадь полученного прямоугольника действительно равна 65 см², но в нём имеется щель в виде параллелограмма, площадь которого в точности равна 1 см². Наибольшая ширина щели равна 5 – 3 – (5·3)/8 = 1/8 см. Таким образом плотнику всё равно придётся замазывать небольшую щель.   

   Два перпендикуляра

Попытаемсяпрямой, к этой «доказать», прямой можно что  провестичерез точку, два перпендикуляра лежащую вне.                                                                           _{. 4}                                                                                                                                                                             B

С этой целью возьмём треугольник  ABC (рисунок 4). На сторонах AB и BC этого треугольника, как на диаметрах, построим          полуокружности. Пусть         эти    полуокружности пересекаются со стороной AC в точках E и D. Соединим точки E и D прямыми с точкой B. Угол  AEB прямой, как вписанный, опирающийся    на     диаметр;   угол BDC также         прямой.

Следовательно, BE  AC и BD  AC. Через точку B проходят C два перпендикуляра к прямой  AC. 

****************************************************

Вопрос:                                                                                     ^B

В чём ошибка?

Ответ (нажмите «Enter»):

Рассуждения      опирались   на   ошибочный чертёж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной AC в одной точке, т.е. BE совпадает с  BD.

«Новое доказательство» теоремы Пифагора

Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и острым углом  , противолежащим катету a. 

Имеем: a = c sin , b = c cos , _откуда a² = c² sin² , b² = c² cos² .  Просуммировав по частям эти равенства, получаем: 

************************************************************************************

Вопрос: 

В чём ошибка?

Ответ (нажмите «Enter»):

 Ошибки здесь нет. Но формула sin²   + cos²  = 1 сама выводится на основании теоремы Пифагора. 

1.         «Аванта +. Математика». – Москва, изд. «Аванта +»,1998.

2.       «БЭКМ – 2007». – Москва, 2007. 

3.      

4.       Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С.  «Математическая шкатулка». – Москва, изд. «Просвещение»,1988.