Волшебство делимости чисел

Государственное бюджетное образовательное учреждение Свердловской области «Центр психолого-педагогической, медицинской и социальной помощи «Ресурс»

 «Волшебство делимости чисел»

Выполнил педагог дополнительного образования Задумина Т.М.

Екатеринбург, 2025 г.

Действие деления является самым сложным из четырех арифметических действий.  Для успешного вычисления надо знать таблицу умножения и применять ее напрямую , так и в обратном порядке. Деление применяется практически в каждом упражнении или задаче. Например, при сокращении дробей. Гораздо проще вовремя сократить, то есть разделить числитель и знаменатель на одно и то же число, не равное нулю, чем выполнять умножение, а затем и деление многозначных чисел. Также деление выполняется при вынесении общего множителя за скобки, при решении уравнений.  Выполнение  деления чисел  вызывает у меня затруднение, поэтому я решила разобраться в этом «коварном действии». 

Определение. Целое число m делится на натуральное число n, если существует такое целое число k, что выполняется равенство   . Тогда  число n называют  делителем числа  m, а число m кратным числу k .

Если число  m делится на число n , то пишут m:n  . Например,  80 : 16, так как  80 = 16 5,  161 : 21, так как 161 = 21 *7.

Определение. Натуральное число называют простым, если оно делится на себя и на единицу.

Например, число 5  - простое, так как делится на 5 и на 1.

Наименьшим простым числом является число 2.

Определение. Натуральное число называется составным, если оно имеет более двух различных делителей. То есть делится на себя, на единицу и хотя бы еще на одно число.

Например, число 6 — составное, так как делится на 6, на 1, на 2, на 3.

Число 1 не является простым и не является составным.

Определение. Натуральное число называют общим делителем чисел и  ,если  делится на  и  делится на . Наибольшее такое число называют наибольшим общим делителем   и  и обозначают НОД(m; n). Например, число 4 является общим делителем чисел 24 и 36, а число 6 является их наибольшим общим делителем, то есть НОД(24;36) =6.

Определение. Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.  Например, числа 5 и 8 взаимно простые, так как НОД(5;8) = 1. А числа 5 и 15 не являются взаимно простыми, так как они оба делятся на 5 .

Определение. Число  называется общим кратным чисел и , если каждое из этих чисел делится на число  . Наименьшее такое число  называется наименьшим общим кратным чисел  и и обозначается НОК( ; )

Например, число 60 является общим кратным чисел 6 и 5, а число 30 — наименьшим общим кратным, НОК(6;5) = 30.

Признаки делимости.

Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра- ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными.

Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признаки делимости на 3 и 9. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра - ноль или 5.

Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 10.  Число делится на 10, если его последняя цифра — ноль.

Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.

Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 11.  На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

П р и м е р . Число 378015 делится на 3, так как сумма его цифр равна:

3 + 7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24, а это число делится на 3.

Данное число делится на 5, так как его последняя цифра 5.

Наконец, это число делится на 11, так как суммы его нечётных цифр:

3 + 8 + 1 = 12 и чётных цифр 7+ 0+5 =12 равны.

Удобные множители.

Существуют числа, при умножении которых получаются «круглые

числа». Например, 2 * 5= 10,

4 * 25 = 100,

8 * 125 = 1000.

Зная это, можно легко выполнять деление: 100 : 4 = 25, 100 : 25 = 4, 1000: 8 = 125, 1000: 125 = 8.

Таким образом, я лучше поняла действие деление чисел, Стала видеть числа, имеющие общий делитель и общий множитель. Вычислительные навыки улучшились, я стала быстрее считать.

Источники информации:

http://www.bymath.net/studyguide/ari/ari5.html