Вопрос 10.doc

Вопрос 10.

В настоящее время научное программирование претерпевает серьёзную трансформацию: развиваются интегрированные среды, основанные на алгоритмических языках, и растет применение универсальных математических систем(Maple, MATLAB, MatCad и др.). Эти системы имеют дружественный интерфейс, реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и обладают собственными языками программирования. Все это предоставляет широкие возможности для эффективной работы специалистов разных профилей, о чем говорит активное применение математических пакетов и научных исследованиях. С помощью этих пакетов проще готовить и выполнять задания, устраивать демонстрации и гораздо быстрее решать исследовательские и инженерные задачи. Этот пакет позволяет создавать интегрированные среды с участием систем программирования. Его можно использовать для визуализации данных и подготовки иллюстраций.

Пакет Maple – интерактивная программа, позволяющая проводить аналитические выкладки и вычисления, снабженная средствами двумерной и трехмерной графики, имеющая мощный язык программирования и богатую библиотеку математических формул и сведений. Работа с  Maple заключается в том, что пользователь вводит математические выражения и команды, а система пытается их выполнить и предоставить ответ. Получив (или не получив) ответ, пользователь вводит новые команды и так далее – взаимодействие происходит в диалоговом режиме. Благодаря собственному языку программирования высокого уровня введенные выражения и инструкции, а также результаты выполнения команд – формулы, графики, таблицы и числа – запоминаются в едином документе. Это обеспечивает уникальную технологию работы, когда чуть ли не все этапы математического исследования можно отразить в одном документе.

Общие принципы работы с Maple.

Работа в Maple проходит в режиме сессии – пользователь вводит команды, математические выражения, процедуры, которые воспринимаются и интерпретируются в Maple. Каждая команда должна завершаться (;) или двоеточием (:). В первом случае в строке под предложением будет выводиться результат исполнении команды или сообщение об ошибке, во втором случае результат не выводится. Разделитель (:)используется для отмены вывода, когда команда выполняется системой, но ее результат не выводится. Для отмены всех сделанных назначений и начала нового сеанса без выхода из Maple используется команда restart.

Команды Maple набираются после приглашения (>). Нажатие клавиши Enter запускает исполнение введенных команд. Если интерпретатор посчитал введенное законченным предложением, то команды выполняются, в противном случае Maple ожидает завершение сеанса ввода. Обнаружив ошибку, Maple печатает наследующей строке сообщение о ней; при синтаксической ошибке символом ^ отмечается первая нераспознанная литера. В Maple применяются круглые, квадратные и фигурные скобки. Назначение круглых скобок – задавать порядок при построении математических выражений и обрамлять аргументы функций и параметры в записи команд. Квадратные скобки нужны для работы с индексными величинами. Фигурные скобки используются для формирования множеств. В Maple две последовательные точки в параметрах команд применяются для определения интервала изменения переменных. Знаком процента (%) обозначается предшествующий вывод. Два знака процента отсылают к предшествующему результату. Предшественник предпоследнего результата обозначается тремя знаками процента. Используя константы, переменные, знаки арифметических и др. операций, составляются выражения. Это основной объект для многих команд. Последовательность выполнения арифметических операций соответствует стандартным математическим правилам: сначала проводится возведение в степень (^), затем умножение и деление, а в конце сложение и вычитание. Операции выполняются слева направо. Для операций отношения имеются знаки >,<,>=,<=,<>,=, а для конструирования булевых выражений используются команды not, or, and. Обратный слеш (\) используется для переносов, а для комментария в Maple предусмотрен символ #. Вся строка после этого символа не выполняется.

Переменная Maple идентифицируется  именем – набором символов, начинающихся с буквы, причем большие и малые буквы различаются. Кроме букв могут употребляться цифры и знак подчеркивания. Для обозначения служебных констант используются имена, начинающиеся с подчеркивания. Переменные среды являются Digits и Order, определяющие соответственно число знаков мантиссы для операций с плавающей запятой (по умолчанию десять цифр) и порядка разложений (по умолчанию разложения выписываются члены до шестого порядка). Для переопределения любой из этих величин достаточно просто присвоить ей новое значение.

Команды. Выражения и переменные обычно служат параметрами команд Maple. Стандартное обращение к команде выглядит следующем образом:

Command(par1,par2…);

Здесь command – команды, а par1,par2,…-  ее параметры. Результат выполнения команд может быть присвоен некоторой переменной. Наиболее важные команды содержатся в ядре Maple и вызываются автоматически, команды из главной библиотеки загружаются в память при их вызове. Остальные команды являются частью пакетов. До запуска таких команд пакет должен быть загружен командой with(package). Здесь package – имя пакета.

В Maple для некоторых математических операций существуют по две команды: одна прямого, а другая – отложенного исполнения, причем имена этих команд состоят из одинаковых букв. Команды прямого исполнения, как правило, начинаются с маленькой буквы и выполняются немедленно. Отложенные команды часто начинаются с большой буквы, обычно в том случае, когда существует команда-синоним прямого действия. После обращения к команде отложенного действия заданная математическая операция (интеграл, производная, предел и т.д.) Выводится в стандартном математическом виде и сразу не вычисляется. Для выполнения отложенной операции нужно использовать команду value. Перед использованием некоторых команд необходимо предварительно получить соответствующую библиотеку командой with.

 

Решение алгебраических и дифференциальных уравнений.

Алгебраические уравнения.

Команда solve является многоцелевой и применяется для аналитического решения алгебраических уравнений и их систем, неравенств, вычисления тождеств. Вызов команды solve имеет следующий вид: solve(EQN, VAR).

Здесь EQN – уравнение или система уравнений, а VAR – переменная или группа переменных. Если переменная VAR отсутствует, то будет найдено решение относительно всех переменных, входящих в уравнение EQN. Система уравнений и группа переменных задаются в виде множеств.

Для численного решения системы уравнений EQN относительно переменных VAR используется команда fsolve: fsolve(EQN, VAR, OPT).

При помощи дополнительных параметров OPT могут быть заданы условия, устанавливающие местоположение, тип и число разыскиваемых решений (a..b или x=a..b - задание интервала [a,b] для поиска решений; complex – поиск комплексных решений; maxsols=n – поиск n наименьших решений (для полиномов); x=s – начальное приближение), где x – обозначает переменную, а, b,s – вещественные числа, n – целое число.

Команда isolve(iqn) служит для отыскания решений уравнения eqn в целых числах.

Команда msolve(eqn,m) для нахождения решений уравнения eqn по модулю m.

Дифференциальные уравнения.

Для получения аналитических, приближенных и численных решений дифференциальные уравнений применяется команда dsolve, причем во всех случаях используется единый формат команды: dsolve(ODE, VAR, OPT)

Здесь ODE – дифференциальные уравнения или система дифференциальных уравнений относительно неизвестной функции VAR. Для решения задачи Коши в уравнении ODE нужно включить также начальные условия. Дополнительные условия OPT позволяют показать способ решения (type=…) и используемый метод (method=…).

В уравнениях для указания производной применяются команды diff , а для обозначение производной в начальных и краевых условиях используется оператор D. Система уравнений оформляется в виде множества: уравнения, начальные условия или краевые условия записываются через запятые и берутся в фигурные скобки.