Вопрос 42.doc
Оценка 4.9

Вопрос 42.doc

Оценка 4.9
doc
13.05.2020
Вопрос 42.doc
Вопрос 42.doc

          Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Требуется найти решение уравнения y’=f(x,y) (1) при начальном условии y(x0)=y0 (2). Пара чисел (x0,y0) называется начальными данными. Решение задачи Коши называется частным решением уравнения (1) при условии (2). Частному решению соответствует одна из интегральных кривых, проходящих через точку (x0,y0). Условие существования и единственности решения задачи Коши содержится в теореме: Пусть функция f(x,y) – правая часть ДУ (1), непрерывна вместе со своей частной производной  по переменной y в некоторой области D на плоскости. Тогда при любых начальных данных (x0,y0) задача Коши (1)-(2) имеет единственное решение . При выполнении условий теоремы через точку (x0,y0) на плоскости проходит единственная интегральная кривая.

Численное решение задачи Коши состоит в том, чтобы получить искомое решение в виде таблицы значений аргументов на некотором отрезке [a,b]. x0=a,x1,…,xn=b. Точки xi, i= называются узловыми точками, а множество этих точек называется сеткой на отрезке [a,b]. Будем использовать равномерную сетку с шагом h=(ba)/n, xixi–1=h, xi=x0+ih, i=. Приближенное значение численного решения задачи Коши в узловых точках  xi обозначим Yi. Т.о. , i=. Для любого численного метода решения задачи Коши условие (2) выполняется точно, т.е. . Величина погрешности численного метода решения задачи Коши на сетке отрезка  [a,b] оценивается величиной , т.е. расстояние между векторами приближенного решения (Y0, Y1,…, Yn) и точного решения  на сетке, в метрике и на . Говорят, что численный метод имеет p-тый порядок точности по шагу h на сетке, если расстояние d можно представить в виде степенной функции от h.d=chp, p>0, c – положительный постоянный коэффициент. В данном случае, когда шаг , то погрешность .

 

                                                                   

 

Метод Эйлера и его модификации, методы Рунге-Кутта.

Задача Коши для ДУ вида y’=f(x,y) состоит в том, чтобы найти решение этого уравнения, удовлетворяющее условию y(x0)=y0. Простейшим численным методом решения задачи Коши является метод Эйлера (метод ломаных Эйлера). Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке P0(x0,y0) есть . Найдем ординату y1 касательной, соответствующей абсциссе . Уравнение касательной к кривой в точке P0 имеет вид: , тогда . Угловой коэффициент в точке P1(x1,y1) также находится из данного ДУ: . На следующем шаге получаем новую точку P2(x2,y2), причем . Продолжая вычисления в соответствии с изложенной схемой, получаем формулы Эйлера для n приближенных значений решения задачи Коши с начальными данными (x0,y0) на сетке отрезка [a,b] с шагом h..  (1). Графической иллюстрацией приближенного решения является ломаная, соединяющая последовательно точки P0, P1,…, Pn, которая называется ломаной Эйлера.

Оценим погрешность метода на одном шаге. Для этого запишем разложение точного решения задачи Коши в точке x1 по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

. Погрешность метода на одном шаге имеет порядок h2, т. к.

. После n шагов погрешность вычисления значения в конечной точке отрезка возрастет не больше чем в n раз. Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством:  или d=ch, где . Это означает, что метод Эйлера имеет первый порядок точности. В частности, при уменьшении шага h в 10 раз, погрешность тоже уменьшится примерно в 10 раз. Практическую оценку погрешности решения на сетке отрезка [a,b] с шагом h/2 в точке xi[a,b] производят с помощью приближенного равенства – правила Рунге: ,    где p – порядок точности  численного метода. Т. о. оценка погрешности полученного результата проводится с помощью 2-х вычислений: один раз с шагом h, второй раз – с шагом h/2.

Численный метод решения задачи Коши на равномерной сетке x0=a, x1,…, xm=b  отрезка [a,b] шагом , является методом Рунге-Кутта, если, начиная с данных (x0,y0) решение ведется по следующим рекуррентным формулам:   (2). Метод называется методом Рунге-Кутта порядка p, если он имеет p-тый порядок точности по шагу h на сетке. Порядок точности p достигается с помощью формулы (1) при определенных значениях коэффициентов cj и dj , j=, c1=0 всегда. Эти коэффициенты вычисляются по следующей схеме: 1) точное решение  и его приближение  представляются в виде разложения по формуле Тейлора с центром x0, вплоть до слагаемого порядка ; 2) из равенств подобных членов при одинаковых степенях h в двух разложениях получают уравнения, решая которые находят коэффициенты .

Метод Эйлера можно назвать методом Рунге-Кутта 1-го порядка. Действительно, для p=1, c1=0, d1=1 формулы (2) преобразуются в соотношения (1).

Метод Рунге-Кутта 2-го порядка (p=2) называется методом Эйлера-Коши.  Если p=2, то c1=0, c2=1, d1=d2=1/2. В этом случае формулы (2) принимают вид: ,

  (7). Для практической оценки погрешности приближения можно применить правило Рунге, полагая p=2.

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка называют классическим методом Рунге-Кутта. p=4, c1=0, c2=c3=1/2, c4=1, d1=d4=1/6, d2=d3=1/3, получим классические формулы Рунге-Кутта:

 

Графиком приближенного решения является ломаная, последовательно соединяющая точки Pi(xi,yi), i=. С увеличением порядка численного метода звенья  ломаной приближаются к ломаной, образованной хордами интегральной кривой , последовательно соединяющими точки на интегральной кривой. Правило Рунге практической оценки погрешности решения для численного метода 4-го порядка имеет вид: 


Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Метод Эйлера и его модификации, методы

Метод Эйлера и его модификации, методы

Эти коэффициенты вычисляются по следующей схеме: 1) точное решение и его приближение представляются в виде разложения по формуле

Эти коэффициенты вычисляются по следующей схеме: 1) точное решение и его приближение представляются в виде разложения по формуле
Скачать файл