Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

2

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина общего перпендикуляра к данным прямым

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. 

/В. Произволов/

Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки — в этом случае они называются параллельными.
АА1=ВВ1=СС1

2. Прямая и плоскость имеют одну общую точку, в которой они пересекаются под некоторым углом.

3. Прямая и плоскость имеют более одной общей точки - прямая лежит в плоскости.
 

Пусть плоскость π задана общим уравнением

Тогда вектор n(A;B;C) – ее нормальный вектор, т.е. вектор, лежащий на перпендикулярной к этой плоскости прямой

Пусть прямая L задана каноническим уравнением

Пример 4

Уравнение прямой L представляет собой тройное равенство. Приравняем каждую часть этого равенства к некоторому параметру t, тогда получим систему:

Решение

Подставим x, y и z в уравнение плоскости и решим его:

Пример 5

Уравнение прямой L представляет собой тройное равенство. Приравняем каждую часть этого равенства к некоторому параметру t, тогда получим систему:

Решение

Подставим x, y и z в уравнение плоскости и решим его:

Прямая и плоскость не имеют общих точек. А, значит, они параллельны.

Пример 6

Уравнение прямой L представляет собой тройное равенство. Приравняем каждую часть этого равенства к некоторому параметру t, тогда получим систему:

Решение

Подставим x, y и z в уравнение плоскости и решим его:

Пример 7

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AB и плоскостью BB1C1.

Решение

π

М

n – нормальный вектор плоскости ВВ1С1 (π), а р – направляющий вектор прямой АВ

Дана пирамида с вершиной в точке D(1;10;8), основание которой – треугольник, построенный на векторах АВ и АС. Ребро AD перпендикулярно основанию АВС. Найдите угол между плоскостью основания АВС и боковым ребром СD.

Пример 8

Решение

Выполним чертеж:D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)

D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями , не принадлежащими одной плоскости, с общей границей а.
Мы знаем, что углы на плоскости (обычные углы) измеряются в градусах. А как измеряются двугранные углы?

Отметим на ребре двугранного угла какую-нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч перпендикулярно к ребру.

Образованный этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

1. Две плоскости не имеют общих точек — в этом случае они называются параллельными

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны

АА1=ВВ1=СС1

2. Две плоскости α и β пересекаются – результатом их пересечения является прямая

Две плоскости α и β пересекаются под прямым углом

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°.

Теорема. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
 

Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей

параллельные

Плоскости
совпадают

Плоскости
пересекаются

Пусть плоскость π задана общим уравнением

Тогда вектор n(A;B;C) – ее нормальный вектор, т.е. вектор, лежащий на перпендикулярной к этой плоскости прямой

α

β

n1 · n2 0

Плоскости π1, π2 и π3 заданы своими общими уравнениями.
Выяснить взаимное расположение плоскостей π1 и π2 .
При каком значении параметра р
а) плоскость π3 параллельна плоскости π1;
б) плоскость π3 перпендикулярна плоскости π2?

Пример 9

Решение.

В нашем случае