Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
КЭИФ I курс
Преподаватель:
Князева Светлана Евгеньевна
Математика может быть занимательной, математические фокусы — впечатляющими, отношения, в которые вступают между собой цифры — причудливыми. Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир.
2
Иоганн Вольфганг Гёте
9
Взаимное расположение прямых в пространстве
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина общего перпендикуляра к данным прямым
10
Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.
/В. Произволов/
12
Взаимное расположение прямой и плоскости
Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки — в этом случае они называются параллельными.
АА1=ВВ1=СС1
13
2. Прямая и плоскость имеют одну общую точку, в которой они пересекаются под некоторым углом.
Взаимное расположение прямой и плоскости
14
3. Прямая и плоскость имеют более одной общей точки - прямая лежит в плоскости.
Взаимное расположение прямой и плоскости
17
Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть плоскость π задана общим уравнением
Тогда вектор n(A;B;C) – ее нормальный вектор, т.е. вектор, лежащий на перпендикулярной к этой плоскости прямой
23
Уравнение прямой L представляет собой тройное равенство. Приравняем каждую часть этого равенства к некоторому параметру t, тогда получим систему:
Решение
27
Уравнение прямой L представляет собой тройное равенство. Приравняем каждую часть этого равенства к некоторому параметру t, тогда получим систему:
Решение
28
Подставим x, y и z в уравнение плоскости и решим его:
Прямая и плоскость не имеют общих точек. А, значит, они параллельны.
30
Уравнение прямой L представляет собой тройное равенство. Приравняем каждую часть этого равенства к некоторому параметру t, тогда получим систему:
Решение
32
Пример 7
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AB и плоскостью BB1C1.
36
Дана пирамида с вершиной в точке D(1;10;8), основание которой – треугольник, построенный на векторах АВ и АС. Ребро AD перпендикулярно основанию АВС. Найдите угол между плоскостью основания АВС и боковым ребром СD.
Пример 8
39
Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение.
/В.Ф. Каган/
40
Взаимное расположение плоскостей
Двугранный угол между плоскостями
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями , не принадлежащими одной плоскости, с общей границей а.
Мы знаем, что углы на плоскости (обычные углы) измеряются в градусах. А как измеряются двугранные углы?
41
Взаимное расположение плоскостей
Построение двугранного угла между плоскостями
Отметим на ребре двугранного угла какую-нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч перпендикулярно к ребру.
Образованный этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла.
42
Взаимное расположение плоскостей
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
43
Взаимное расположение плоскостей
1. Две плоскости не имеют общих точек — в этом случае они называются параллельными
44
Взаимное расположение плоскостей
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
45
Свойства параллельных плоскостей
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны
46
Свойства параллельных плоскостей
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны
АА1=ВВ1=СС1
47
2. Две плоскости α и β пересекаются – результатом их пересечения является прямая
Взаимное расположение плоскостей
49
Взаимное расположение плоскостей
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°.
50
Взаимное расположение плоскостей
Теорема. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей
51
π1 и π2
Имеют ли общие точки?
Все общие точки
лежат на одной прямой?
параллельные
Да
Да
Нет
Нет
Плоскости
совпадают
Плоскости
пересекаются
52
Пусть плоскость π задана общим уравнением
Тогда вектор n(A;B;C) – ее нормальный вектор, т.е. вектор, лежащий на перпендикулярной к этой плоскости прямой
Взаимное расположение плоскостей
56
Плоскости π1, π2 и π3 заданы своими общими уравнениями.
Выяснить взаимное расположение плоскостей π1 и π2 .
При каком значении параметра р
а) плоскость π3 параллельна плоскости π1;
б) плоскость π3 перпендикулярна плоскости π2?
Пример 9
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.