Зачёт по билетам по геометрии

БИЛЕТ № 1 1. Сформулируйте определение окружности, вписанной в треугольник. Сформулируйте теорему о центре вписанной окружности.  Приведите пример применения теоремы о центре вписанной окружности. 2. Сформулируйте определение трапеции. Сформулируйте определение средней линии трапеции. Сформулируйте и докажите теорему о  средней линии трапеции. 3. ЗАДАЧА. Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна 2 см. Найдите сторону правильного  треугольника, вписанного в эту окружность. 4. ЗАДАЧА. В треугольник АВС вписан равнобедренный прямоугольный треугольник DEF так, что его гипотенуза DF параллельна  стороне АС, а вершина Е лежит на стороне АС. Найдите высоту треугольника АВС, если АС = 16 см; DF = 8 см. БИЛЕТ № 2 1. Сформулируйте определение синуса острого угла прямоугольного треугольника. Приведите пример его применения при решении  прямоугольных треугольников. 2. Сформулируйте определение равнобедренного треугольника. Сформулируйте и докажите признак равнобедренного треугольника. 3. ЗАДАЧА. Стороны треугольника равны 3 см, 2 см и  3  см. определите вид этого треугольника. 4. ЗАДАЧА. На стороне АВ параллелограмма АВСD как на диаметре построена окружность, проходящая через точку пересечения  диагоналей и середину стороны AD. Найдите углы параллелограмма. БИЛЕТ № 3 1. Сформулируйте теорему Фалеса. Приведите пример её применения. 2. Сформулируйте определение равнобедренного треугольника. Сформулируйте и докажите свойство углов при основании  равнобедренного треугольника. 3. ЗАДАЧА. Угол между высотами BK и BL параллелограмма АВСD, проведёнными из вершины его острого угла В, в четыре раза  больше самого угла АВС. Найдите углы параллелограмма. 4. ЗАДАЧА. Через вершину В равнобедренного треугольника АВС параллельно основанию АС проведена прямая BD. Через точку К –  середину высоты ВН проведён луч АК, пересекающий прямую BD в точке D, а сторону ВС в точке N. Определите, в каком отношении  точка N делит сторону ВС. БИЛЕТ № 4 1. Сформулируйте определение окружности. Приведите формулу длины окружности. Приведите формулу длины дуги окружности.  Приведите примеры применения либо формулы длины окружности, либо формулы длины дуги окружности. 2. Сформулируйте определение медианы треугольника. Сформулируйте и докажите свойство медианы равнобедренного треугольника.. 3. ЗАДАЧА. Сторона ромба 10, а один из его углов равен 30  . Найдите радиус окружности, вписанной в ромб. 4. ЗАДАЧА. Одна из диагоналей прямоугольной трапеции делит эту трапецию на два прямоугольных равнобедренных треугольника.  Какова площадь этой трапеции, если её меньшая боковая сторона равна 4? 1. Сформулируйте неравенство треугольника. Приведите пример его применения. 2. Сформулируйте определение параллелограмма. Сформулируйте и докажите свойство диагоналей параллелограмма. 3. ЗАДАЧА. Найдите больший угол треугольника, если две его стороны видны из центра описанной окружности под углом 100  и 120  . 4. ЗАДАЧА. Известно, что в равнобокую трапецию с боковой стороной, равной 5, можно вписать окружность. Найдите длину средней  линии трапеции. БИЛЕТ № 5 1. Приведите формулы площади прямоугольника и площади параллелограмма. Приведите примеры применения площади  прямоугольника, либо площади параллелограмма. БИЛЕТ № 6 2. Сформулируйте определение равных треугольников. Сформулируйте признаки равенства треугольников и докажите один из них по  выбору. 3. ЗАДАЧА. Определите вид четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон произвольного выпуклого  четырёхугольника. 4. ЗАДАЧА. В треугольнике АВС вписана окружность, которая касается сторон АВ и ВС в точках Е и F соответственно. Касательная  МК к этой окружности пересекает стороны АВ и ВС соответственно в точках М и К. Найдите периметр треугольника ВМК, если ВЕ =  6 см. _________________________________________________________________________________________________________________________ 1. Приведите формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников. Приведите пример их  применения для n­угольников для любого n  6 (n определяет учащийся). 2. Сформулируйте определение параллельных прямых. Сформулируйте аксиому параллельных прямых. Сформулируйте признаки  параллельности прямых и докажите один из них по выбору. БИЛЕТ № 7 3. ЗАДАЧА. В трапеции АВСD диагональ BD является биссектрисой прямого угла ADC. Найдите отношение диагонали BD к стороне  АВ трапеции, если  ВАD 30 . 4. ЗАДАЧА. Треугольник АВС, стороны которого 13 см, 14 см и 15 см, разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку  пересечения медиан М с вершинами треугольника. Найдите площадь треугольника МВС. ______________________________________________________________________________________________________________________ БИЛЕТ № 8 1. Сформулируйте определения круга и сектора. Приведите формулы площади круга и площади сектора. Приведите пример применения  одной из формул: либо площади круга, либо сектора. 2. Сформулируйте определение прямоугольного треугольника. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора. 3. ЗАДАЧА. Площадь треугольника, описанного около окружности, равна 84 см2. Найдите периметр треугольника, если радиус  окружности равен 7 см. 4. ЗАДАЧА. В равнобокой трапеции одно из оснований в два раза больше другого. Диагональ трапеции является биссектрисой острого  угла. Найдите меньшее основание трапеции, если её площадь равна  27 3  см2. БИЛЕТ № 9 1. Сформулируйте определение окружности, описанной около треугольника. Сформулируйте теорему о центре описанной окружности.  Приведите пример применения теоремы о центре описанной окружности. 2. Сформулируйте определение средней линии треугольника. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника. 3. ЗАДАЧА. Из вершины В в треугольнике АВС проведены высота ВН и биссектриса BD. Найдите угол между ВН и биссектрисой BD,  если углы ВАС и ВСА равны 20   и 60   соответственно. 4. ЗАДАЧА. Две окружности, радиусы которых равны 9 см и 3 см, касаются внешним образом в точке А. Через точку А проходит их  общая секущая ВС, причём точка В принадлежит большей окружности. Найдите длину отрезка АВ, если отрезок АС равен 5 см. БИЛЕТ № 10 1. Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника. Приведите пример её применения. 2. Сформулируйте определение ромба. Сформулируйте и докажите свойство диагоналей ромба. 3. ЗАДАЧА. Внутри равностороннего треугольника АВС отмечена точка D, такая, что  BAD 4. ЗАДАЧА. Окружность радиуса R касается гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника в вершине его острого угла и  . Найдите угол ADC.  15 BCD  проходит через вершину прямого угла. Найдите длину дуги, заключённой внутри треугольника, если  8R  . БИЛЕТ № 11 1. Сформулируйте определение выпуклого многоугольника. Сформулируйте теорему о сумме углов выпуклого многоугольника.  Приведите пример её применения. 2. Сформулируйте определение прямоугольника. Сформулируйте и докажите свойство диагоналей прямоугольника. 3. ЗАДАЧА. Через вершины А, В и С ромба АВСО проведена окружность, центром которой является вершина О. Найдите длину дуги  АС, содержащей вершину В, если длина всей окружности равна 30 см. 4. ЗАДАЧА. При пересечении двух прямых n и m секущей k образовалось восемь углов. Четыре из них равны 60  , а четыре другие ­ 120  . Определите взаимное расположение прямых n и m. БИЛЕТ № 12 1. Приведите формулы площади треугольника. Приведите примеры их применения. 2. Сформулируйте определение параллелограмма. Сформулируйте и докажите признак параллелограмма по выбору. 3. ЗАДАЧА. Точки А, В и С делят окружность на три части так, что  9:7:4 ВС АС АВ   . Определите наибольший угол  :  :  треугольника АВС. 4. ЗАДАЧА. Углы при основании AD трапеции АВСD равны 60   и 30  , AD = 17 см, ВС = 7 см. Найдите боковые стороны. БИЛЕТ № 13 1. Сформулируйте определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Приведите пример его применения при решении  прямоугольных треугольников. 2. Сформулируйте определение параллелограмма. Сформулируйте и докажите свойства углов и сторон параллелограмма. 3. ЗАДАЧА. Длины двух сторон равнобедренного треугольника равны соответственно 6 см и 2 см. Определите длину третьей стороны  этого треугольника. 4. ЗАДАЧА. Два круга, радиусы которых равны 5 см, имеют общую хорду длины  25  см. Найдите площадь общей части этих кругов. 1. Сформулируйте определение внешнего угла треугольника. Сформулируйте теорему о свойстве внешнего угла треугольника.  Приведите пример её применения. 2. Сформулируйте и докажите теорему косинусов. Приведите пример её применения для решения треугольников. 3. ЗАДАЧА. Стороны треугольника равны 4 см, 5 см и 8 см. Найдите длину медианы, проведённой из вершины большего угла. 4. ЗАДАЧА.В параллелограмме АВСD диагональ BD перпендикулярна стороне AD. Найдите АС, если AD = 6 см, BD = 5 см. БИЛЕТ № 14 БИЛЕТ № 15 1. Приведите формулу площади трапеции. Приведите пример её применения. 2. Сформулируйте определение равных треугольников. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников и докажите  один из них. 3. ЗАДАЧА. Большая диагональ ромба равна 12 см, а один из его углов равен 60  . Найдите длину вписанной в него окружности. 4. ЗАДАЧА. В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17 : 15, а боковая сторона равна 34 см. Найдите основание треугольника. 1. Сформулируйте теорему о зависимости между сторонами и углами треугольника. Приведите пример её применения. 2. Сформулируйте определение подобных треугольников. Сформулируйте признаки подобия треугольников и докажите один из них. 3. ЗАДАЧА. Найдите меньший угол параллелограмма, если его стороны равны 1 и  3 , а одна из диагоналей равна  7 . 4. ЗАДАЧА. В треугольник АВС вписан квадрат так, что две его вершины лежат на стороне АВ и по одной вершине – на сторонах АС и  ВС. Найдите площадь квадрата, если АВ = 40 см, а высота, проведённая из вершины С, имеет длину 24 см. БИЛЕТ № 16 БИЛЕТ № 17 1. Сформулируйте определение вектора. Сформулируйте определение суммы векторов. Сформулируйте свойства сложения векторов.  Приведите примеры сложения векторов. 2. Сформулируйте и докажите теорему синусов. Приведите пример её применения для решения треугольников. 3. ЗАДАЧА. Вписанный угол, образованный хордой и диаметром окружности, равен 72  . Определите, что больше: хорда или радиус  окружности. 4. ЗАДАЧА. В трапеции АВСD стороны АВ и CD равны, биссектриса тупого угла В перпендикулярна диагонали Ас и отсекает от данной трапеции параллелограмм. Найдите величину угла BCD. БИЛЕТ № 18 1. Сформулируйте определение вектора. Сформулируйте определение произведения вектора на число. Сформулируйте свойства  произведения вектора на число. Приведите примеры произведения вектора на число. 2. Сформулируйте определения центрального угла окружности и угла, вписанного в окружность. Сформулируйте и докажите теорему об  измерении вписанного угла. 3. ЗАДАЧА. Медиана ВМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе AD. Найдите АВ, если АС = 12 см. 4. ЗАДАЧА. В прямоугольной трапеции АВСD с основаниями 17 см и 25 см диагональ Ас является биссектрисой острого угла А.  Найдите меньшую боковую сторону трапеции. 1. Сформулируйте определение скалярного произведения векторов и определение угла между векторами. Приведите пример применения  скалярного произведения векторов для определения угла между векторами. 2. Сформулируйте определение серединного перпендикуляра к отрезку. Сформулируйте и докажите свойство серединного  БИЛЕТ № 19 перпендикуляра к отрезку. 1 3. ЗАДАЧА. На рисунке:    2;55  125   3; 123  . Найдите  4 . 4. ЗАДАЧА. Треугольник АВС – равносторонний со стороной, равной а. На расстоянии а от вершины А взята точка D, отличная от точек В и С. Найдите угол BDC. БИЛЕТ № 20 1. Сформулируйте свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей. Приведите пример вычисления углов  при пересечении параллельных прямых секущей. 2. Сформулируйте теоремы о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике и докажите один из них. 3. ЗАДАЧА. Из точки, лежащей на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, на катеты треугольника опущены  перпендикуляры. Найдите катет треугольника, если периметр полученного четырёхугольника равен 12 см. 4. ЗАДАЧА. Около правильного шестиугольника со стороной 8,5 описана окружность. Около этой окружности описан правильный  четырёхугольник. Найдите сторону треугольника. 1. Сформулируйте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Приведите пример его применения при решении  БИЛЕТ № 21 прямоугольных треугольников. 2. Сформулируйте определение биссектрисы угла. Сформулируйте и докажите свойство биссектрисы треугольника. 3. ЗАДАЧА. Площадь ромба АВСD равна  . Вычислите сторону ромба, если один из его углов равен 135  . 242 2 4. ЗАДАЧА. К окружности, радиус которой равен 3, из точки удалённой от центра окружности на расстоянии 5, проведены две  касательные. Вычислите расстояние между точками касания.