Задачи линейного программирования. Математика . 9 класс

ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Учащиеся специализированных математических классов в состоянии  разобраться с задачами, в которых требуется найти экстремальное значение  линейной функции F=a1x1+a2x2+…+anxn нескольких неотрицательных  переменных x1, x2,…,xn при условии, что эти переменные удовлетворяют  заданной системе линейных уравнений или неравенств. Подобные задачи  возникают в связи с планированием производства, управления различными  процессами, в экономике и т.д. Математическая дисциплина, изучающая эти  вопросы, называется «линейным программированием». Задача 1 (Иванов А.П.) Небольшая мебельная фирма производит книжные шкафы и серванты.  На изготовление одного книжного шкафа расходуется 1 м2 древесно­ стружечной плиты,  4 3  м2 сосновой доски и 1,5 человека­часа рабочего  времени. Аналогичные данные для серванта даются цифрами: 1,5 м2 древесно­ стружечной плиты, 1,5 м2 сосновой доски и 4,5 человека­часа. Прибыль от  реализации одного книжного шкафа составляет 500р, а серванта – 1200р. В  течение одного месяца в распоряжении фирмы имеются: 120 м2 древесно­ стружечной плиты, 150 м2 сосновых досок и 315 человеко­часов рабочего  времени. В каких количествах следует выпускать книжные шкафы и серванты, чтобы ожидаемая прибыль была максимальной? Какова эта прибыль? Заполним таблицу1. Пусть х и у­ искомое количество шкафов и сервантов соответственно,  Р­ прибыль фирмы, полученная за счет производства х шкафов и у сервантов.  Тогда нужно найти целые неотрицательные решения системы неравенств   x+1,5y 120; 4 x+1,5y 150; 3 1,5х+4,5у 315;  х 0;  у 0,   для которых выполняется условие Р(х,у)=500х+1200уmax. Преобразуем систему неравенств к виду:     2x+3y 240; 8x+9y 900; х+3у 210;  х 0;  у 0. Обратимся к геометрической интерпретации данной системы(Рис. 1).  Рис. 1                     Множество решений полученной системы (область, выделенная  желтым цветом). Область задает характеристики выпуска продукции, для  которых хватит сырья.  Рис. 2 и 3 дают возможность понять смысл параметра Р. Рис. 3 Пусть Р=50*1200 , тогда уравнение прибыли примет вид:  Рис. 2 50х+120у=50*120. Другому фиксированному значению прибыли Р=0 отвечает  другая прямая, параллельная данной. Придавая Р различные значения,  получим семейство параллельных прямых, являющихся линиями уровня для  функции Р, т.е. линиями, во всех точках которых функция Р принимает  значения Р=const. Пересечем многоугольник OABCD (рис.4) прямой 500х+1200у=Р0 и  будем перемещать ее параллельно самой себе в направлении увеличения Р0 . В  предельном положении будет либо одна общая точка, либо сторона. Рис. 4 Практически требуется найти координаты точек A,B,C,D, затем вычислить соответствующее им значение функции Р(х,у) и выбрать среди них наибольшее. А(0;70), Р(0;70)=5000+120070=84000; В(30;60), Р(30;60)=50030+120060=87000; С(90;20), Р(90;20)=50090+120020=69000; D(112,5;0), Р(112,5;0)=500112,5+12000=56250. Наибольшее значение Р=87000 достигается при х=30, у=60. О т в е т :  30 книжных шкафов и 60 сервантов, прибыль87000  рублей.  Задача 2 (о рационе) с двумя продуктами и четырьмя витаминами.  Условие задачи в таблице 2. В строках таблицы (кроме последней) указано содержание витаминов  в единице продукта 1 и продукта 2 , необходимый минимум в рационе.  Последняя строка показывает стоимость продукта. Составим математическую модель. Пусть х и у­ искомое количество  единиц продукта 1 и продукта 2 и соответственно, Р­ их стоимость. Тогда  нужно найти неотрицательные решения системы неравенств :   3x+y 17;  5x+3y 47; х+у 13;  5х+12у 100;  х 0;  у 0, для которых функция Р(х,у)=7х+6у принимает наименьшее значение. Действуя по разобранному алгоритму, получим: А(0;17), Р(0;17)=70+617=102; В(1;14), Р(1;14)=71+617=91; С(4;9), Р(4;9)=74+69=82; D(5;8), Р(5;8)=75+68=83; Е(20;0), Р(20;0)=720+60=140. Наименьшее значение Р=82 при х=4, у=9. О т в е т :   4 единицы продукта 1 и 9 единиц продукта 2. Примечание. Рисунки 5, 6 позволяют быстро проверить  промежуточные результаты задачи 2. 3х+у=17 (a) 5х+3у=47 (b) х+у=13 (c) 5х+12у=100 (d) Рис. 5 Рис. 6 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ            1 Лурье М.В. Задачи на составление уравнений. Техника решения. Учебное  пособие. 2­е изд., стер. – М.: Издательство УНЦ ДО, 2004. 2 Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе: Сб.  статей / Сост. Е.Г. Глаголева, О.С. Ивашев­Мусатов.­ М.: Просвещение,  1980. 3 Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. Пособие для  учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С.  Ивашев­Мусатов, С.И. Шварцбурд.­5­е изд.­ М.: Просвещение, 1997. 4 Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10­11 класс:  Учебно­методическое пособие/ С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И.  Пасиченко. ­ М.: Дрофа, 2001 5 Школа решения нестандартных задач. В.Голубев. г. «Математика» №3,  2005 6 Неравенства. А.Ш.Блох, Т.Л. Трухан. Минск: Народная асвета, 1972 Статью подготовила Утятникова С.А.