ЗАДАЧИ НА РАЗМЕН МОНЕТ И НА ПЕРЕЛИВАНИЕ

ЗАДАЧИ НА РАЗМЕН МОНЕТ И НА ПЕРЕЛИВАНИЕ 1. Есть монеты номиналом 1 и 10 рублей. Как набрать ровно 100 рублей 37­ю монетами? Р е ш е н и е . Для того чтобы получилось круглое число, 7 монет должны быть по 10 р., а 30 монет – по 1 р.  2. Есть монеты номиналом 1 и 10 рублей. Нужно набрать ровно 100 рублей. Сколькими монетами это можно сделать? Перечислите все возможные варианты. Р е ш е н и е . 100 р. можно набрать: 1) 10­ю монетами по 10 р. (10 монет); 2) 9­ю монетами по 10 р. и 10­ю монетами по 1 р. (19 монет); 3) 8­ю монетами по 10 р. и 20­ю монетами по 1 р. (28 монет) и т. д. Общие выводы:  1) количество монет по 1 р. должно делиться на 10; 2) монет по 10 р. может быть от 0 до 10 шт, то есть всего есть 11 способов; 3) при замене одной монеты номиналом в 10 р. на 10 монет по 1 р. получаем на 9 использованных монет больше, чем было, то есть общая формула для числа монет такова: 10 + 9(10 – n), или 100 – 9n, где n – количество использованных 10­рублевых монет. 3. В кассе лежит куча монет по 1, 3 и 5 рублей. Вор, не глядя, хватает 10 монет и убегает. Сколько денег он мог украсть? Напишите все варианты. Р е ш е н и е . Наименьшее количество – 10 р. (все монеты по 1 р.), наибольшее – 50 р. (все монеты по 5 р.). Нетрудно показать, что любое чётное количество рублей (от 10 до 50) вор мог украсть. Так, 10 р. = 10 1 р., а 12 р. = 9 1 р. + 1 3 р., 14 р. = 9 1 р. + 1 5 р., 16 р. = 8 1 р. + 2 3 р. и т. д. Сумма 10 нечётных чисел всегда будет нечётным числом.  4. Наберите 35 тугриков 10­ю монетами по 3 и по 5 тугриков. Р е ш е н и е . Этого сделать нельзя, так как сумма 10 нечетных чисел будет чётна.5. Можно ли разменять купюру достоинством 50 рублей с помощью 15 монет достоинством 1 и 5 рублей? Р е ш е н и е . Только 5­рублёвыми  монетами  50 рублей  разменять  можно  – понадобится  10  монет,  но   это   не  удовлетворяет   условию   задачи.  Попробуем добавить 1­рублёвые монеты. Тогда получится, что мы заменим несколько монет по 5 рублей монетами по 1 рублю, а именно: 1 монету по 5 руб – на 5 монет по 1 руб, 2 монеты по 5 руб – на 10 монет по 1 руб. Если учесть, что всего должно быть использовано 15 монет, то заменить 3 монеты по 5 руб не получится: все 15 монет будут использованы, а сумма будет 15 руб, что меньше 50 руб. 1) 9 монет по 5 руб и 5 монет по 1 руб. В этом случае монет 14, что не удовлетворяет условию. 2) 8 монет по 5 руб и 10 монет по 1 руб. В этом случае 18 монет, что так же не удовлетворяет условию. Другие   случаи   невозможны,   следовательно,   такой   размен   осуществить нельзя. 6. [3] Сколькими способами можно уплатить 78 рублей, имея купюры 3­ и 5­ рублевого достоинства?  О т в е т . Шестью. 1) 3 ∙  26; 2) 3 ∙  21 + 5 ∙  3; 3) 3 ∙  16 + 5 ∙  6; 4) 3 ∙  11 + 5 ∙  9; 5) 3 ∙  6 + 5 ∙  12; 6) 3 ∙  1 + 5 ∙  15. 7. У кассира есть 127 рублей рублевыми монетами. Как разложить эти деньги в 7 пакетов, чтобы кассир мог выдать любую сумму в рублях, не превышающую 127 рублей, не вскрывая пакетов? О т в е т . 1 р., 2 р., 4 р., 8 р., 16 р., 32 р., 64 р. 8. Есть монеты  по 1, 2, 5, 10 рублей.  Как  набрать  86  рублей ровно 16­ю монетами? Р е ш е н и е . 7 10 р. + 1 5 р. + 3 2 р. + 5 1 р. Есть и другие способы. ЗАДАЧИ НА ПЕРЕЛИВАНИЕ 1. [22]   Как,   имея   два   сосуда   вместимостью   5   л   и   7   л,   налить   из водопроводного крана 6 л воды? Р е ш е н и е .2. Три сосуда вместимостью 20 литров наполнены водой, причём в первом – 11 л, во втором – 7 л, а в третьем – 6 л. Как разлить имеющуюся воду поровну, если разрешается наливать в сосуд только такое количество воды, сколько в нём уже имеется?   Р е ш е н и е . Разлить воду поровну – значит, по 8 л.3. Из бочки, содержащей не менее 10 л бензина, отлейте ровно 6 л, используя бидон вместимостью 5 л и девятилитровое ведро. Р е ш е н и е . 4. Можно ли разлить 50 литров бензина по трём бакам так, чтобы в первом баке было на 10 литров бензина больше, чем во втором, а после переливания 26 литров из первого бака в третий в третьем баке стало столько же, сколько во втором? Р е ш е н и е . Пусть во втором баке было х л бензина. 1­й бак 2­й бак 3­й бак Было (х + 10) л х л Стало х + 10 – 26 = х – 16 л х л 50 – 2х – 10 = 40 – 2х л 40 – 2х + 26 = 66 – 2х л Получаем  уравнение:  66 – 2х = х,  откуда  х = 22. Но в этом случае 40 – 2х = –4, что противоречит смыслу задачи. Указанным образом разлить бензин нельзя.5.  [22] В первый сосуд входит 8 л, и он наполнен водой. Имеются еще два пустых сосуда емкостью 5 л и 3 л. Как с помощью этих сосудов отмерить ровно 1 л? Р е ш е н и е . 6.  [12] Имеются 12­литровый бочонок, наполненный квасом, и два пустых бочонка – в 5 л и 8 л. Пользуясь этими бочонками, разделите квас на две части – 3 л и 9 л. Р е ш е н и е .7. [22] В первый сосуд входит 12 л, и он наполнен водой. Имеются еще два пустых сосуда емкостью 5 л и 8 л. Как с помощью этих сосудов разделить воду на две равные части? Р е ш е н и е .  8. [22] Имеются два типа песочных часов: одни отмеряют 7 мин, а другие – 11   мин.   Как   с   их   помощью   отмерить   15   мин,   необходимых,   чтобы   сварить вкрутую яйцо? Р е ш е н и е . 1­й шаг. Ставим и те, и другие часы. По истечении 7 минут меньшие часы переворачиваем. На больших осталось 4 минуты. 2­й шаг. Через 4 минуты большие часы переворачиваем. На меньших часах осталось 3 минуты. 3­й шаг. Через 3 минуты меньшие часы убираем и кладем вариться яйцо. На больших часах осталось 8 минут. 4­й шаг. Через  8 минут  большие  часы  убираем  и  ставим меньшие (еще 7 минут, по их истечении яйцо будет сварено).9. Имеется 5 банок: четыре по 4 литра и одна двухлитровая. В первую банку налили  1 литр воды, во вторую – 2 литра, в третью – 3 литра, в четвёртую – 4 литра, а пятая, двухлитровая, банка осталась пустой. Как разлить имеющуюся воду по банкам поровну? Р е ш е н и е . 10.  Бабушка   за   лето   приготовила   24   литра   яблочного   сока,   который   она хочет   отвезти   в   качестве   гостинца   трём   своим   внукам.   Помогите   бабушке поделить сок на три равные части, используя полный сосуд объемом 24 литра и три пустых объемом 5, 11 и 13 литров? Р е ш е н и е .