ЗАДАЧИ НА ВЗВЕШИВАНИЕ

ЗАДАЧИ НА ВЗВЕШИВАНИЕ 1. На одной чаше весов лежат 7 одинаковых яблок и 3 одинаковых персика, на другой чаше – 4 таких же яблока и 5 таких же персиков. Весы находятся в равновесии. Что тяжелее: яблоко или персик? Р е ш е н и е . Обозначим: Я – яблоко, П – персик. Первоначально на весах: 7Я + 3П и 4Я + 5П. Снимем с каждой чаши весов по 4Я и 3П. Останется 3Я на одной чаше и 2П – на другой. При этом весы по­прежнему будут в равновесии. Значит, персик тяжелее.   2.  [22]   Какие  4  гири   нужно   взять,  чтобы   с  их   помощью   можно   было   бы взвесить любой груз в целое число граммов от 1 до 15, при условии, что класть гири можно только на одну чашу весов? О т в е т . 1, 2, 4, 8 г. 3.  [22]   Какие  4  гири   нужно   взять,  чтобы   с  их   помощью   можно   было   бы взвесить любой груз в целое число граммов от 1 до 40, при условии, что класть гири можно на обе чаши весов? О т в е т . 1, 3, 9, 27 г. 4.  Имеется 8 одинаковых на вид шариков, один из которых весит меньше остальных.   Как   с   помощью   двух   взвешиваний   на   чашечных   весах   найти отличающийся от других шарик?  Р е ш е н и е . Взять 6 шариков, 3 положить на одну чашу весов, 3 – на другую. Если чаши в равновесии, то искомый шарик находится среди двух отложенных. Его можно найти следующим взвешиванием. Если же чаши не в равновесии, то он среди 3 шариков, лежащих на чаше, которая весит меньше. Из этих трех шариков один   отложить,   а   другие   два   взвесить   на   чашечных   весах.   Если   чаши   в равновесии, то искомый шарик – отложенный. Если нет, то искомый – более легкий шарик. 5. Среди шести монет находится одна фальшивая, но неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. Среди этих монет известна также и одна настоящая монета.   Необходимо   с   помощью   трёх   взвешиваний   на   чашечных   весах определить фальшивую монету.Р е ш е н и е . Пронумеруем монеты: от 1 до 6. Пусть настоящая монета – 1. Тогда  1­й шаг: на чашах весов монета 1 и монета 2. а) Если весы не в равновесии, то монета 2 – фальшивая. Задача решена. б) Если весы в равновесии, то монеты 1 и 2 – настоящие. Переходим к шагу 2. 2­й шаг: на чашах весов монеты 1, 2 и монеты 3, 4. а)   Если   весы   не   в   равновесии,   то   среди   монет   3   и   4   есть   фальшивая. Переходим к шагу 3.1. Шаг 3.1: на чашах весов монеты 1 и 3.  Если весы не в равновесии, то монета 3 – фальшивая. Задача решена. Если  весы в равновесии, то монета 3 – настоящая, а монета 4 – фальшивая. Задача решена. б) Если весы в равновесии, то монеты 3 и 4 – настоящие, а среди монет 5 и 6 есть фальшивая. Шаг 3.2: на чашах весов монеты 1 и 5.  Если весы не в равновесии, то монета 5 – фальшивая. Задача решена. Если  весы в равновесии, то монета 5 – настоящая, а монета 6 – фальшивая. Задача решена. 6. В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только чашечные весы без гирь, отмерить 9 кг гвоздей?  Р е ш е н и е .  1­й шаг: делим гвозди на 2 равные части по 12 кг. 2­й шаг: первую часть из 12 кг гвоздей делим на две равные части по 6 кг. 3­й шаг: первую часть из 6 кг гвоздей делим на две равные части по 3 кг.  Искомые 9 кг – вторая часть из 6 кг гвоздей и полученные 3 кг. ЗАДАЧИ НА ВЗВЕШИВАНИЕ 7. В пакете содержится 3 кг 600 г крупы. Как разделить крупу на два веса по 800 г и вес в 2 кг, сделав 3 взвешивания на чашечных весах, имея одну гирю в 200 г? Р е ш е н и е . 1­й шаг: делим крупу на две равные части – 1800 г и 1800 г.2­й   шаг:   рассыпаем   на   весы   первую   часть:   гиря   +   800   г   и   1000   г;   гирю убираем, 800 г отмерили, 1000 г убираем с весов. 3­й шаг: аналогично поступаем со второй частью крупы: еще 800 г отмерили, 1000 г высыпаем к 1000 г, которые отмерили на шаге 2. 8. [22] У хозяйки есть рычажные весы и гиря в 100 г. Как за три взвешивания она может отвесить 700 г крупы? Р е ш е н и е . 1­й шаг: Отвесим 100 г крупы. 2­й шаг: 100 г и гиря – 200 г 3­й шаг: 200 г и гиря – 400 г 100 г + 200 г + 400 г = 700 г. 9. У продавца имеется 9 кг крупы и чашечные весы с гирями в 50 г и 200 г. Как ему за три взвешивания отвесить 2 кг этой крупы? Р е ш е н и е .  1­й шаг: делим крупу на две равные части – 4500 г и 4500 г. 2­й шаг: одну из полученных частей рассыпаем опять поровну – 2250 г и 2250 г. 3­й шаг: на одну чашу весов кладем обе гири (250 г), на другую высыпаем крупу до тех пор, пока весы не будут в равновесии. Останется 2 кг крупы. 10.  [28] Имеется 80 монет, одна из которых фальшивая, причем она легче других. За какое наименьшее число взвешиваний на весах без гирь можно найти фальшивую монету? Р е ш е н и е . Фальшивую монету можно определить за 4 взвешивания.  1­й шаг: кладем на чаши по 27 монет. В случае равновесия фальшивая монета будет среди оставшихся 26. Если одна чаша легче, то фальшивая среди лежащих на ней 27. 2­й   шаг:   кладем   на   обе   чаши   по   9   монет   из   числа   «подозреваемых»   и рассуждаем аналогично.  3­й шаг: положим на чаши по 3 монеты. 4­й шаг: кладем по одной монете.11. [28]  4   кошки   и   3   котенка   весят   15   кг,   а   3   кошки   и   4   котенка   13 кг. Сколько весит кошка и сколько весит котенок?  (Вес всех кошек одинаков, вес всех котят – тоже.) Р е ш е н и е .  Сравнивая   оба   взвешивания,   легко   увидеть,   что,   когда   мы заменили 1 кошку на 1 котенка, общий вес изменился на 2 кг (15 кг – – 13 кг). Следовательно, кошка тяжелее котенка на 2 кг. Зная это, заменим  при первом взвешивании всех 4 кошек котятами: у нас тогда будет 4 + 3 = 7 котят, а стрелка весов вместо 15 кг покажет на 2  4 = 8 кг меньше (так как масса котенка на 2 кг меньше массы кошки). Значит, 7 котят весят 15 – 8 = 7 кг. Отсюда ясно, что котенок весит 1 кг, а взрослая кошка 1 + 2 = 3 кг.