Задачи по математике (7 класс)

Задачи разного характера Задача 1. Человек на вопрос, сколько он заплатил за часы, ответил: "Если умножить цену на 4, и к  результату прибавить 70, а из этой суммы вычесть 50, то остаток будет равен 220 долларов".  Сколько он заплатил за часы? Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала записать условие задачи как алгебраическое  выражение, то есть как уравнение. Пусть цена часов равна   xx  Эта цена была умножена на 4, то есть получаем   4x4x  К произведению прибавили 70, то есть   4x+704x+70  Из этого вычли 50, то есть   4x+70−504x+70−50 Таким образом, мы записали условие задачи с помощью чисел в алгебраической форме, но у нас еще  нет уравнения. Однако, согласно последнему условию задачи, все предыдущие действия в итоге  привели к результату, который равен 220220. Поэтому, это уравнение выглядит так:   4x+70−50=2204x+70−50=220  После проведения операций с уравнением, получаем, что     x=50x=50. То есть, значение xx равно 50 долларов, что и есть искомой ценой часов. Чтобы проверить, что мы получили верное значение искомой величины, мы должны подставить это  значение вместо хх в уравнение, которое мы записали по условию задачи. Если в результате этой  подстановки значения сторон будут равны, мы провели вычисление правильно.  Уравнение задачи имело вид      4x+70−50=2204x+70−50=220  Подставляя 50 вместо xx, получаем    4⋅50+70−50=2204⋅50+70−50=220  Отсюда,        220=220220=220. Задача 2. Если к числу прибавить его половину, а из этого результата вычесть 2020, то получим  четверть первоначального числа. Что это за число? В задачах такого типа, где рассматриваются дроби, надо помнить, что (13)x(13)x то же самое, что  и x3x3; отсюда (25)x=2x5(25)x=2x5. Обозначим через x искомое число.  Тогда согласно условию   x+x2−20=x4x+x2−20=x4  После выполнения операций на уравнением, получим    x=16x=16.           Проверка:    16+162−20=16416+162−20=164. Задача 3. Отец разделил наследство между своими тремя сыновьями так, что:  Первый сын получил на $1000$1000 меньше, чем половина всего наследства;  Второй сын получил на $800$800 меньше, чем треть всего наследства;  Третий сын получил на $600$600 меньше, чем четверть всего наследства;  Какая сумма была всего наследства?  Если обозначить все наследство как x, тогда три сына  получили x2−1000,x3−800x2−1000,x3−800 и x4−600x4−600. Так как эти части все вместе представляют все наследство, то их сумма равна xx.  Тогда мы имеем равенство x2−1000+x3−800+x4−600=xx2−1000+x3−800+x4−600=x.  После выполения операций с членами уравнения, получим, что         x=28800x=28800 Проверка: 288002−1000+288003−800+288004−600=28800288002−1000+288003−800+288004−600=28 800. Чтобы избежать лишнего представления неизвестных величин в уравнении, иногда хорошо заметить,  что когда дана сумма или разница двух значений, обе эти величины могут быть выражена одной и той же буквой. Так, если одна из двух величин вычитается из суммы этих величин, очевидно, что остаток буде равен другому вычитаемому. А если разница этих двух величин вычитается из большего, то  остаток будет равен меньшему. Так, если сумма двух чисел равна 20  И если один из них будет представлен через xx  То другой будет равен 20−x20−x. Задача 4. Разделите 48 на две такие части, что если меньшая разделена на 4, а большая часть на 6, то сумма частных будет равна 9. Здесь, если x выразить как меньшую часть, то большая часть будет 48−x48−x. Согласно условию задачи, x4+48−x6=9x4+48−x6=9.  Поэтому,     x=12x=12, то есть меншая часть.  И      48−x=36−48−x=36− большая часть. Буквы могут быть использованы для выражения как известных величин в уравнении, так и  неизвестных. Определенные значения присваиваются числам, а в конце они слова записываются как  числа. Задача 5. Если к определенному числу прибавить 720 и сумму разделить на 125, то результат будет  равен 7392, разделенному на 462. Что это за число? Обозначим через xx искомое число.  a = 720   d = 7392  b = 125   h = 462  Тогда, согласно условию задачи      x+ab=dhx+ab=dh  Поэтому          x=bd−ahhx=bd−ahh  Возвращая числа в уравнение,  получим х=(125.7392)−(720.462)462=1280х=(125.7392)−(720.462)462=1280. Когда решение уравнения дает отрицательный ответ, это показывает, что значение неизвестной  величины противоположно значениям, которые по условию вопроса " рассматриваются как  положительные. Задача 6. Торговец получает или теряет при проведении сделки определенную сумму. Во второй  сделке он получает 350 долларов, а в третьей теряет 6060. В конце концов, он обнаруживает, что  получил 200 долларов за результатами трех сделок. Сколько он получил или потерял в первой  сделке? В этом примере, так как прибыль и убыток противоположны по природе, то они должны иметь  противоположные знаки. Если прибыль обозначается с "+", то убыток должен обозначаться с "­".  Пусть x = искомой сумме.  Тогда, согласно условию      x+350−60=200x+350−60=200  и x = ­90. Отрицательный знак перед ответом показывает, что первая сделка прошла с убытком. Задача 7. Корабль плывет 4 градуса на север, потом 13 на юг. После этого 17 на север, потом 19 на  юг и в конце оказывается на 11 градусе южной широты. С какой широты начал плыть корабль?  Пусть xx ­ искомая широта.  Тогда, обозначаем с "+" северное направление, а южное с "­".  Согласно условию,      x + 4 ­ 13 + 17 ­ 19 = ­11  и x = 0. Ответ означает, что корабль начал свой путь с экватора, который не имеет широты. Задача 8. Если определенное число разделить на 12, частное, делимое и делитель, сложенные  вместе, дадут 64. Что это за число? Пусть x ­ искомое число.  Тогда          x12+x+12=64x12+x+12=64.  Отсюда          x−62413=48x−62413=48. Задача 9. Недвижимость была разделена между четырьмя детьми так, что,  Первый получил на 200 долларов больше чем 1414 всей недвижимости,  Второй получил на 340 долларов больше чем 165165 всей недвижимости,  Третий получил на 300 долларов больше чем 1616 всей недвижимости,  Четвертый получил на 400 долларов больше чем 1818 всей недвижимости.  Какова стоимость недвижимости? Ответ: 4800 долларов. Задачи для самостоятельного решения Задача 10. Есть два числа, разница которых равна 40 и которые относятся друг к другу как 6 к 5.  Что это за числа? Ответ: 240 и 200. Задача 11. Если число умножить в три раза, то оно будет относится к 12, как 2 к 9? Что это за  число? Ответ: 8. Задача 12. Катер и лодка одновременно отправляются в путь по реке. Катер проходит пристань на  реке, когда лодка находится ниже пристани на 13 миль. Катер проходит пять миль, а лодка проходит три мили. На каком расстоянии ниже пристани они встретятся?      Ответ: 32,532,5 мили. Задача 13. Найдите число, если шестая его часть больше его восьмой части на 20? Ответ: 480. Задача 14. Разделите приз в 2000 долларов на две такие части, при которых одна из частей  относится к другой как 9 к 7.  Ответ: 1125 и 875. Задача 15. Найдите сумму денег, для которой третья, четвертая и пятая части, сложенные вместе,  дадут 94 доллара?  Ответ: 120 долларов. Задача 16. Человек провел одну треть жизни в Англии, одну четвертую в Шотландии, а остаток  жизни, который равнялся 20­и годам ­ в США. До какого возраста он дожил?      Ответ: 4848 лет. Задача 17. Найдите число, для которого frac14frac14 этого числа больше 1515 его на 96? Задача 18. Палка находится вертикально в воде. 3737 длины палки находится в воде, а 13 футов ­  над водой. Какая длина палки?  Ответ: 35 футов. Задача 19. Если к числу прибавить 10, то 3535 этой суммы будет равняться 66. Что это за число? Задача 20. Из всех деревьев в саду 3434 ­ яблони, 110110 ­ персики, а оставшиеся деревья ­ груши,  которых на 2020 больше чем 1818 всех деревьев. Сколько всего деревьев в саду?  Ответ: 800. Задача 21. Джентльмен купил несколько галлонов вина за 9494 долларов и после использования 7  галлонов он продал 1414 от оставшихся галлонов за 20 долларов. Сколько галлонов у него было  вначале?  Ответ: 47. Задача 22. Если сложить 13,14,2713,14,27 числа, то сумма будет равна 7373. Что это за число?  Ответ: 84. Задача 23. После того, как человек истратил на 100 долларов больше чем 1313 его дохода, у него  осталось на 35 долларов больше чем 1212 его дохода. Чему равнялся его доход? Задача 24. В составе пороха было:  селитры на 10 фунтов больше чем 2323 всего веса пороха,  серы на 4,5 фунта меньше чем 1515 всего веса пороха,  древесного угля на 2 фунта меньше чем 1717 селитры.  Какой вес пороха?  Ответ: 69 фунтов. Задача 25. Бочка емкостью 146 галлонов была наполнена смесью бренди, вина и воды. Причем, вина  было на 15 галлонов больше, чем бренди, а воды столько же, сколько бренди и вина вместе. Чему  равнялось количество каждой жидкости? Задача 26. Четыре человека купили ферму за 4755 долларов, из которых B заплатил в три раза  больше, чем А; С заплатил столько же, сколько и B, а D заплатил столько же, сколько C и B.  Сколько заплатил каждый из них?  Ответ: 317, 951, 1268, 2219. Задача 27. Отец разделил небольшую сумму денег между своими четырьмя сыновьями. Третий сын получил на 9 шиллингов больше, чем четвертый;  Второй сын получил на 12 шиллингов больше, чем третий;  Первый получил на 18 шиллингов больше, чем второй;  А вся сумма денег была на 6 шиллингов больше чем умноженная в 7 раз сумма, которую получил  самый младший.  Чему была равна вся сумма? Ответ: 153. Задача 28. У фермера было два стада овец, каждое из которых состояло из одной и того же числа  животных. Продав из одного стада 39 овец, а с другого стада ­ 9393 овцы, он посчитал овец и обнаружил, что в одном стаде осталось в два раза больше овец чем в другом. Сколько первоначально овец было в каждом стаде? Задача 29. Экспресс, двигаясь со скоростью 60 миль в день, был отправлен на 5 дней в путь ранее  второго, который двигался со скоростью 75 миль в день. Когда второй экспресс догнал второго?       Ответ: 2020 дней. Задача 30. Возраст А вдвое больше, чем В, возраст B втрое больше чем С, а сумма всех их возрастов равна 140140. Какой возраст каждого из них? Задача 31. Было куплено два куска ткани одинаковой цены, но разной длины. Стоимость одного  куска ­ 5 долларов, а другого ­ 6,5. Если удлинить каждый кусок на 1010 м, то эти длины будет  относится друг к другу как 5 к 6. Найдите длину каждого куска. Задача 32. Если к числу прибавить 36 и 52, то первая сумма будет относиться ко второй, как 3 к 4.  Что это за число? Задача 33. Джентльмен купил фаэтон, лошадь и упряжь на 360 долларов. Стоимость лошади вдвое  больше чем упряжи, а фаэтон стоил вдвое больше, чем упряжь и лошадь вместе. Какова была цена  каждой покупки? Задача 34. Из бочки вина, из которой просочилось 1313 часть вина, 21 галлон вина впоследствии  было использовано. После этого бочка оказалась наполовину полной. Сколько первоначально было  вина в бочке? Задача 35. У Человек имеет 6 сыновей, каждый из которых на 4 года старше следующего младшего  брата, а самый старший в три раза старше, чем самый младший. Каков возраст каждого из них? Задача 36. Разделите число 49 на две части с условием, что если большую часть увеличить на 6, а от  меньшей отнять 11, то они относились бы друг к другу как 9 к 2. Задача 37. Два числа относятся друг к другу как 2 к 3. Если к каждому из них прибавить 4, то  полученные суммы относились бы друг к другу как 5 к 7. Найдите эти два числа. Задача 38. Человек купил две бочки портера, одна из которых была в 3 раза больше, чем другая. Из  каждой бочки он отлил по 4 галлона, а затем он обнаружил, что в большей бочке осталось в 44 раза  больше галлонов чем в меньшей бочке. Сколько галлонов было в каждой из бочек? Задача 39. Разделите число 68 на две такие части, чтобы разница между большей частью и 84 должна быть равна утроенной разнице между меньшей частью и 40. Задача 40. разделите число 36 на 3 такие части, что 1212 первой части, 1313 второй и 1414третьей  равны между собой. Задача 41. Генерал после проигранной битвы обнаружил, что у него осталось только половина армии +3600 человек, годных для действий; 1818 армии +600 человек было ранено; а остальная часть  солдат, которая равнялась 1515 от всей армии, были либо убита, либо взята в плен или пропала без  вести. Какова была численность армии?  Ответ: 24000.