Задачи по теме "Центральные и вписанные углы" (8 класс)

Центральные и впи сан ные углы 1.  Центральный   угол AOB опирается   на   хорду AB длиной   6.   При   этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности. Задание 10 № 90 Решение. Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен x, тогда x + 60° + 60° = 180°, где x = 60°. Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.   О т в е т :  6. 2.  В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB. Задание 10 № 142 Решение. Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тем самым, угол OAB = 30°.   О т в е т :  30. 3.  мера ∠MNP равна 18°. Найдите градусную меру  ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная Задание 10 № 311319 Решение. Треугольник MON — равнобедренный. Тогда ∠MON = 180° − 2∙18° = 144°.   О т в е т :  144. 4.  соответственно. Найдите  ∠DEF,   если   градусные   меры   дуг DE и EF равны   150°   и   68° Задание 10 № 311331 Решение. Дуга FD, не содержащая точку Е, равна 360° − 150° − 68° = 142°, поэтому ∠DEF = 71°.   О т в е т :  71. 5.  окружности, а градусная мера ∠AOC равна 96°. Найдите  градусную  меру ∠ACB,  если  известно,   что BC является  диаметром Задание 10 № 311354 Решение. Так   как  ∠AOC и  ∠AOB —   смежные,  ∠AOB =   84°.   Центральный   угол   равен   дуге   на   которую   он опирается, поэтому градусная мера дуги AB равна 84°. Угол ACB — вписанный и равен половине дуги, на которую опирается, поэтому ∠ACB = 42°.   О т в е т :  42. 6.  Найдите  ∠KOM, если известно, что градусная мера дуги MN равна 124°, а градусная мера дуги KN равна 180°. Задание 10 № 311374 Решение. Так как вся окружность составляет 360°, градусная мера дуги KM = 360° − 180° − 124° = 56°. Поэтому угол KOM является центральным, он равен дуге, на которую опирается, ∠KOM = 56°.   О т в е т :  56. 7.  В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 26°. Най­ дите угол AOD. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 311398 Решение. Угол ACB — вписанный, равен половине центрального угла, опирающийся на ту же дугу, то есть AОВ = 52°. Угол ВОD — развернутый, поэтому угол AOD равен 180° − 52° = 128°.   О т в е т :  128. 8.  Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности? Задание 10 № 311479 Решение. Пусть R —   радиус   описанной   окружности.   Так   как   окружность   описана   вокруг   прямоугольного треугольника, то ее центр лежит на середине гипотенузы. Таким образом, гипотенуза равна 2R. По теореме Пифагора имеем:     О т в е т :  6,5. 9.  Точки A и B делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 9:11. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 311483 Решение. Дуги окружности относятся как 9:11, что в сумме дает 20 частей. Поэтому длина меньшей дуги состав­ . Так как угол AOB — центральный, то он равен  от всей окружности, тем самым, она равна   ляет  той дуге на которую он опирается. Таким образом,  .   О т в е т :  162. 10.  В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках A и B. На одной из дуг этой окружности выбрали точку C так, как показано на рисунке. Найдите ве­ личину угла ACB. Задание 10 № 311510 Решение. Угол ACB — вписанный, он равен половине дуги AB. Угол АОВ — центральный, опирающийся на ту же дугу. Проведём радиусы ОА и ОВ в точки касания. Сумма углов четырёхугольника AOBD равна 360°. По­ этому     О т в е т :  55. 11.  Величина центрального угла AOD равна 110°. Найдите величину впи­ санного угла ACB. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 311517 Решение. Угол AOB смежный с углом AOD, поэтому AOB = 180° − 110° = 70°. Центральный угол AOB и вписан­ ный угол ACB опираются на одну дугу. Поэтому    О т в е т :  35. 12.  Точки A, B, C и D лежат   на   одной   окружности   так,   что хорды AB и СD взаимно перпендикулярны, а ∠BDC = 25°. Найдите величину угла ACD. Задание 10 № 311523 Решение. Треугольник BOD — прямоугольный, сумма его острых углов равна 90°. Поэтому ∠ABD = ∠OBD = 90° − 25° = 65°. Углы ABD и ACD опираются на одну дугу, поэтому эти углы равны.  Таким образом, ∠ACD = 65°.   О т в е т :  65. 13.  Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градус­ ную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 48°. Задание 10 № 311956 Решение. Угол AOB является центральным углом, ACB — вписанным. Оба угла опираются на одну и ту же дугу, следовательно, угол AOB в два раза больше угла ACB. Тем самым, он равен 24°.   О т в е т :  24. 14.  угла ACB (в градусах). Точка О — центр окружности,  ∠AOB = 84° (см. рисунок). Найдите величину Задание 10 № 314811 Решение. Вписанный угол ACB равен половине центрального угла AOB, опирающегося на ту же дугу, поэтому он равен 42°.   О т в е т :  42. 15.  На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что   Длина мень­ шей дуги AB равна 63. Найдите длину большей дуги. Задание 10 № 333117 Решение. Пусть длина большей дуги  поэтому имеет место отношение:   О т в е т :  747.  равна   Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере,   16.  На   окружности   по   разные   стороны   от   диаметра AB взяты   точки M и N. Известно, что ∠NBA = 38°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 339419 Решение. Угол NBA — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую он опирается. Следовательно, дуга AN = 2∠NBA = 2 ∙ 38° = 76°. Диаметр AB делит окружность на две равные части, поэтому величина дуги ANB равна 180°. Откуда дуга NB = 180° − 76° = 104°. Угол NMB — вписанный, поэтому он равен по­ ловине дуги, на которую он опирается, то есть равен 104°/2 = 52°.   О т в е т :  52. 17.  Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC = 15° и ∠OAB = 8°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 339429 Решение.   Рассмотрим   треугольник AOB: AO = OB, Рассмотрим треугольник BOC: BO = OC,   следовательно,   углы следовательно,   Проведём   радиус OB.   ∠OAB = ∠ABO = 8°.   ∠BCO = ∠OBC = ∠ABC − ∠ABO = 15° − 8° = 7°.     О т в е т :  7.   Приведём другое решение. Угол ABC — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Следовательно, величина дуги ADC равна 30°. Дуги ADC и ABC вместе составляют полную окружность, поэтому   дуга ABC равна   360° − 30° = 330°.   он центральный, опирается на дугу ABC, поэтому он равен 330°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда ∠ BCO = 360° − ∠ AOC − ∠ ABC − ∠ OAB = 360° − 330° − 15° − 8° = 7°.   Рассмотрим   угол AOC четырёхугольника AOCB, 18.  AC и BD —  диаметры  окружности с  центром O.  Угол ACB равен  79°.  Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 340116 Решение. Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB, поэтому он равен половине дуги AB, то есть величина дуги AB равна 2 ∙ 79° = 158°. Поскольку BD — диаметр, градусная мера дуги BAD равна 180°. Градусная мера дуги AD равна разности градусных мер дуг BAD и AB: 180° − 158° = 22°. Угол AOD — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, он равен 22°.   О т в е т :  22. 19.  В угол C величиной 83° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 340229 Решение. Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому углы CAO и OBC равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда:   ∠AOB = 360° −∠CAO − ∠OBC − ∠ACB = 360° − 90° − 90° − 83° = 97°. О т в е т :  97. 20.  Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 115°. Задание 10 № 341355 Решение. Угол ACB − вписанный угол, он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Т. е.  21.  Сторона AC треугольника ABC содержит   центр   описанной   около него окружности. Найдите  , если  . Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 341673 Решение. Так как AC — диаметр окружности, то дуга AC равна сумме дуг AB и BC и равна 180°. А так как углы ACB и BAC — вписанные и опираются на эти дуги, то их сумма равна  , а значит    О т в е т :  15. 22.  Центр   окружности,   описанной   около   треугольника ABC,   лежит   на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30°. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 348379 Решение. Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол   равен 90°. Таким образом:   О т в е т :  60 23. На окружности с центром в точке   отмечены точки   и   так, что  . Длина меньшей   дуги   равна 50. Найдите длину большей дуги  . Задание 10 № 348493 Решение. Пусть длина большей дуги  поэтому имеет место отношение:    равна   Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, О т в е т :  400 24. Центр   окружности,   описанной   около   треугольника  ,   лежит   на   стороне  .   Найдите   угол  , если угол   равен 44°. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 348543 Решение. Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол   равен 90°. Таким образом:   О т в е т :  46 25. В угол     величиной 157° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках    и  , точка   ­ центр окружности. Найдите угол  . Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 348670 Решение. Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому углы CAO и OBC равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда:   ∠AOB = 360° −∠CAO − ∠OBC − ∠ACB = 360° − 90° − 90° − 157° = 23°. О т в е т :  23. 26. На окружности с центром в точке   отмечены точки   и   так, что  . Длина меньшей дуги   равна 5. Найдите длину большей дуги  . Задание 10 № 348698 Решение. Пусть длина большей дуги  поэтому имеет место отношение:  равна   Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, О т в е т :  95.   27. На окружности с центром в точке   отмечены точки   и   так, что  . Длина меньшей дуги   равна 61. Найдите длину большей дуги  . Задание 10 № 348800 Решение. Пусть длина большей дуги  поэтому имеет место отношение:    равна   Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере,   О т в е т :  119. 28. Центр   окружности,   описанной   около   треугольника  ,   лежит   на   стороне  .   Радиус окружности равен 6,5. Найдите  , если  Задание 10 № 348961 Решение. Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол   ­ прямой. Тогда по теореме Пифагора найдем  :   О т в е т :  5 29. Центр   окружности,   описанной   около   треугольника  ,   лежит   на   стороне  .   Радиус окружности равен 8,5. Найдите  , если  . Задание 10 № 348970 Решение. Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив  является  ­   прямой,   и   данный   треугольник  этой   стороны   —   прямой.   Таким   образом,   угол  прямоугольным. По теореме Пифагора получаем  :   О т в е т :  15   30.  В угол C величиной 72° вписана окружность, которая касается сторон угла в точ­ ках A и B, точка O ­ центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 349063 Решение. Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому углы CAO и OBC равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда:   ∠AOB = 360° −∠CAO − ∠OBC − ∠ACB = 360° − 90° − 90° − 72° = 108°. О т в е т :  108. 31.  На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что   Длина мень­ шей дуги AB равна 98. Найдите длину большей дуги. Задание 10 № 349182 Решение. Пусть длина большей дуги   равна   Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, поэтому имеет место отношение:   О т в е т :  1862.   32.  На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что   Длина мень­ шей дуги AB равна 58. Найдите длину большей дуги. Задание 10 № 349186 Решение. Пусть длина большей дуги  поэтому имеет место отношение:    равна   Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, О т в е т :  203.   33.  В угол C величиной 90° вписана окружность, которая касается сторон угла в точ­ ках A и B, точка O ­ центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 349187 Решение. Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому углы CAO и OBC равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда:   ∠AOB = 360° −∠CAO − ∠OBC − ∠ACB = 360° − 90° − 90° − 90° = 90°. О т в е т :  90. 34.  AC и BD —  диаметры  окружности с  центром O.  Угол ACB равен  36°.  Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 349314 Решение. Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB, поэтому он равен половине дуги AB, то есть величина дуги AB равна 2 ∙ 36° = 72°.   Поскольку BD —  диаметр,   градусная   мера   дуги BAD равна   180°.   Градусная мера дуги AD равна разности градусных мер дуг BAD и AB: 180° − 72° = 108°. Угол AOD — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, он равен 108°.   О т в е т :  108. 35.  AC и BD —  диаметры  окружности с  центром O.  Угол ACB равен  23°.  Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 349337 Решение. Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB, поэтому он равен половине дуги AB, то есть величина дуги AB равна 2 ∙ 23° = 46°.   Поскольку BD —  диаметр,   градусная   мера   дуги BAD равна   180°.   Градусная мера дуги AD равна разности градусных мер дуг BAD и AB: 180° − 46° = 134°. Угол AOD — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, он равен 134°.   О т в е т :  134. 36.  В угол C величиной 62° вписана окружность, которая касается сторон угла в точ­ ках A и B, точка O ­ центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 349453 Решение. Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому углы CAO и OBC равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда:   ∠AOB = 360° −∠CAO − ∠OBC − ∠ACB = 360° − 90° − 90° − 62° = 118°. О т в е т :  118. 37.  Центр   окружности,   описанной   около   треугольника ABC,   лежит   на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 33°. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 349477 Решение. Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол   равен 90°. Таким образом:   О т в е т :  57 38.  На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что   Длина мень­ шей дуги AB равна 57. Найдите длину большей дуги. Задание 10 № 349653 Решение. Пусть длина большей дуги   равна   Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, поэтому имеет место отношение:   О т в е т :  303.   39.  AC и BD —  диаметры  окружности с  центром O.  Угол ACB равен  54°.  Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 349658 Решение. Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB, поэтому он равен половине дуги AB, то есть величина дуги AB равна 2 ∙ 54° = 108°. Поскольку BD — диаметр, градусная мера дуги BAD равна 180°. Градусная мера дуги AD равна разности градусных мер дуг BAD и AB: 180° − 108° = 72°. Угол AOD — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, он равен 72°.   О т в е т :  72. 40.  На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что   Длина меньшей дуги AB равна 67. Найдите длину большей дуги. Задание 10 № 349689 Решение. Пусть длина большей дуги  поэтому имеет место отношение:    равна   Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, О т в е т :  134. 41.  Центр   окружности,   описанной   около   треугольника ABC,   лежит   на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 9°. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 349756 Решение. Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол   равен 90°. Таким образом:   О т в е т :  81   42.  AC и BD —  диаметры  окружности с  центром O.  Угол ACB равен  19°.  Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 349843 Решение. Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB, поэтому он равен половине дуги AB, то есть величина дуги AB равна 2 ∙ 19° = 38°.   Поскольку BD —  диаметр,   градусная   мера   дуги BAD равна   180°.   Градусная мера дуги AD равна разности градусных мер дуг BAD и AB: 180° − 38° = 142°. Угол AOD — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, он равен 142°.   О т в е т :  142. 43.  AC и BD —  диаметры  окружности с  центром O.  Угол ACB равен  78°.  Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 349866 Решение. Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB, поэтому он равен половине дуги AB, то есть величина дуги AB равна 2 ∙ 78° = 156°. Поскольку BD — диаметр, градусная мера дуги BAD равна 180°. Градусная мера дуги AD равна разности градусных мер дуг BAD и AB: 180° − 156° = 24°. Угол AOD — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, он равен 24°.   О т в е т :  24. 44.  Центр   окружности,   описанной   около   треугольника ABC,   лежит   на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 24°. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 349952 Решение. Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол   равен 90°. Таким образом:   О т в е т :  66   45.  В угол C величиной 71° вписана окружность, которая касается сторон угла в точ­ ках A и B, точка O ­ центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах. Задание 10 № 349998 Решение. Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому углы CAO и OBC равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда:   ∠AOB = 360° −∠CAO − ∠OBC − ∠ACB = 360° − 90° − 90° − 71° = 109°. О т в е т :  109.