Задачи приводящие к понятию производной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 1. Задачи, приводящие к понятию производной 900igr.net

Приращение функции и приращение аргумента y f(x)=f(x0+∆ x) ∆f f(x 0) x0 ∆x y=f(x) приращение аргумента: ∆х = х ­ х0                        (1) Приращение функции : ∆f = f(x0 +∆x)-f(x0) (2) ∆f = f(x)-f(x0) (3) x x =x0+∆x Дана функция f(x) Т.е., значение функции изменилось на величину В окрестности Первоначальное Пусть х0- Расстояние между Функция f(х) тоже f(x)-f(x0)= f(x0 +∆x)- фиксированная точки х0 возьмём значение аргумента точками х и х0 примет новое f(x0),КОТОРАЯ НАЗЫВАЕТСЯ точка, f(х0)- точку х получило приращение обозначим ∆х.Оно значение: f(x0+∆x) ПРИРАЩЕНИЕМ ФУНКЦИИ И значение функци в ∆х, и новое значение х называется ОБОЗНАЧАЕТСЯ ∆f точке х0 равно х0+∆х приращением аргумента и равно разности между

Задача 1 (о скорости движения). • По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). • Закон движения задан формулой s=s (t), где t — время (в секундах), s (t) — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). • Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с). 

Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке М пройдя путь от начала движения ОМ = s{t). Дадим аргументу t приращение ∆t и рассмотрим момент времени t+∆t Координата материальной точки стала другой, тело в этот момент будет находиться в точке P : OP=s(t+∆t) Значит, за ∆t секунд тело MP=OP-OM=s(t+∆t)-s(t)=∆s Путь ∆s тело прошло за ∆t секунд. Нетрудно найти среднюю скорость движения тела за промежуток переместилось из точки М в точку Р, т.е. прошло путь МР. Имеем: Полученную разность мы назвали в § 26 приращением функции времени [t;t+∆t] : = срv  s  t срv А что такое скорость v (t) в момент времени t (ее называют иногда мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость за промежуток времени [t;t+∆t] при условии , что ∆t выбирается все меньше; точнее: иными словами, при условии, что ∆t→0.Это значит , что движения меньше и   tv   s lim)( tv Подводя итог решению задачи 1, получаем:  t  0 t  lim  t срv 0

Тема: Задача, приводимая к понятию “производная” Прямая, проходящая через точку М0 (х0; f(х0)), с отрезком которой почти сливается график функции f(х),называют касательной к графику в точке х0 y M0 f(x 0) 0 x0 xf  X

Задача: Определить положение касательной (tgφ) y   xf у =f(x0+∆x) f(x ) ∆f f(x 0) 0  М0 х0 φ Секущая, поворачиваясь вокруг точки М0, приближается к положению Предельным положением секущей касательной МоМ, когда М неограниченно приближается к Мо, является касательная k М Пусть дан график функции f(х) и Будем перемещать Отметим точку М, касательная, точку М вдоль Через точки М и координаты которой К чему будет А к какому углу  будет проходящая через графика, приближая М0 проведём рассмотрим как стремиться стремиться угол  ? точку М0 ,которая её к точке секущую, которая приращение При этом координата приращение образует с М0.Соответственно образует с осью координат точки М0 х точки М будет аргумента? положительным будет меняться ОХ угол  стремиться к х0 направлением оси ОХ положение секущей угол φ ММ0 ∆x х =x0+∆ x х x  ox  tg     lim tg  0x  xf 0   x  x  xf 0   lim  x 0

Определение производной Производной функции f в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при последнем стремящимся к нулю:   xf  lim  Ox xf ( 0  x )  x xf ( 0 )

Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно  подчеркнуть следующее: а) мгновенная скорость неравномерного движения есть  производная от пути по времени; б) угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке (x0; f(x)) есть производная функции f(x) в точке           х = х0; в) мгновенная сила тока I(t) в момент t есть производная  от количества электричества  q(t) по времени; Г) скорость химической реакции в данный момент  времени t есть производная от количества вещества у(t),  участвующего в реакции, по времени t.

А л г о р и т м А л г о р и т м  xf 0 ( 1)1)       ∆x = x – x0 2)         ∆f = f(x+x0) – f(x0) 2)           ( f  x  xf ( 0  ) x x 0  f lim x  x  0 x  xf 0 ) 3)3) 4)4) )

А это значит: «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский • Аппарат производной можно использовать при  решении геометрических задач, задач из  естественных  и гуманитарных наук, экономических  задач оптимизационного характера.  •  И, конечно, не обойтись без производной при  исследовании функции и построении графиков,  решении уравнений и неравенств

Основные формулы • Средняя скорость срv = • Мгновенная скорость  s  • или tv lim)(  t  t 0 • Скорость изменения функции  s  t lim  t   tv срv 0   xf 0   x  x lim  x 0  xf 0  • Значение производной в точке   lim tg   xf  • =  ) x  x lim  Ox ( xf 0 ( xf 0    tg k ) 