Работа содержит задания для проведения олимпиады школьного уровня по математике для учащихся с 5 по 11 класс. Содержание заданий доступно для учащихся, состоит из задач на сообразительность, на знание материала соответствующего класса. Работа может быть использована для подготовки в том числе и к Всероссийской олимпиаде школьников.
5 класс
1. Вычислить
2004
2003
2004
2002
45
12
...
55
2001
2004
.
2. Для нумерации книги для детей понадобилось 204 цифры. Сколько
страниц в книге, если нумерация книги начинается с первой страницы?
3. Разрежьте квадрат размером
44
на 4 равные фигуры. Разрезать можно
лишь по стороне квадрата
11
и способы считаются разными, если
полученные фигуры не будут равными при каждом способе.
4. В квартирах №1, №2, №3 жили 3 котёнка: белый, черный, и рыжий. В
квартирах №1 и №2 жил не черный котёнок. Белый котёнок жил не
квартире №1. В какой квартире жил каждый котёнок?
5. Папа купил на праздник своим детям коробку конфет. Федя взял
половину конфет и половинку одной конфеты. Аня взяла половину
остатка и ещё полконфеты. Коля взял половину остатка и ещё
полконфеты. Маша взяла половину оставшихся конфет и ещё
полконфеты. После этого в коробке осталась одна конфета. Сколько
конфет было в коробке?
6. Когда у рыбака спросили, как велика пойманная им щука, он сказал: «Я
думаю, что хвост её – 1 кг, голова – столько, сколько хвост и половина
туловища, а туловище – сколько голова и хвост вместе». Сколько весит
щука?
6 класс.
1. Запишите подряд 22 пятёрки: 5555…5. Поставьте между некоторыми
цифрами знаки арифметических действий так, чтобы в результате
получилось число 2004.
2. Восстановите пропущенные цифры в примере:
*0*3
***
2****
***6
.
621**13. Разрежьте квадрат размером
44
на 4 равные фигуры. Резать можно
только по сторонам клеточек. Найдите как можно больше способов.
4. Мама купила яблок и сказала детям, чтобы они, вернувшись из школы,
разделили их поровну. Первым пришёл Андрей, взял треть яблок и
ушел. Вторым пришёл Борис, взял треть оставшихся яблок и ушел.
Затем вернулась из школы Валя, она взяла 4 яблока – треть от числа
яблок, которые она увидела. Сколько яблок оставила мама?
6.
5. В пакете 9 кг крупы. Как при помощи чашечных весов и одной 200
граммовой гири отвесить 2 кг крупы, если разрешается сделать только
три взвешивания?
В древней рукописи приведено описание города, расположенного на 8
островах. Острова соединены между собой и с материком мостами. На
материк выходят 5 мостов; на 4 островах берут начало по 4 моста, на 3
островах берут начало по 3 моста и на один остров можно пройти
только по одному мосту. Может ли быть такое расположение мостов?
7 класс.
1. Вычислите:
3
1
117
4
1
119
1
116
117
5
118
119
5
119
.
2. Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?
3. Расшифруйте пример на сложение, где одинаковые буквы
означают одинаковые цифры, а разные буквы – разные цифры.
Объясните, как вы рассуждали?
ААБ
+АБА
БАА
БВВБ
4. Сколькими
произведение:
оканчивается
нулями
4321
...
2005
?
2006
5. прямоугольник разделён двумя отрезками на четыре
(см.
прямоугольника, площади трёх из которых 2 см
, 4 см
, 6 см
2
2
2
рис.). Найдите площадь прямоугольника.
2 46
6. Отцу и двум его сыновьям вместе 48 лет. Через 5 лет возраст отца
будет в два раза больше суммы возрастов его сыновей, а Коле
будет столько лет, сколько Юре сейчас. Сколько лет отцу, Коле и
Юре?
8 класс.
1. На какую цифру оканчивается число
?
2005
3
4
2006
2. Число 2007 представьте в виде разности квадратов двух
натуральных чисел.
3. Дан угол 34
0
. Можно ли с помощью циркуля и линейки
построить угол 12
0
? Если да, то обосновать; если нет, то почему?
4. Три брата – Александр, Борис и Сергей преподают различные
предметы в школах Архангельска, Северодвинска и Котласа.
Александр работает не в Архангельске, а Борис не в
Северодвинске. Архангелогородец преподаёт не математику. Тот,
кто работает в Северодвинске, преподаёт химию. Борис
преподаёт физику. Какую дисциплину преподаёт Сергей и в
школе какого города?
5. Аня младше Вани. Когда Ване было столько лет, сколько Ане
сейчас, их матери было на 3 года меньше, чем Ане с Ваней теперь.
Сколько лет Ване, когда матери было столько лет, сколько Ване
теперь?
9 класс.
1. Докажите, что
55
2
3
5
5...
2006
делится на 6.
2. Постройте ромб, в котором высота равна 5 см, а одна из
диагоналей 6 см.3. Найдите цифры сотен и единиц числа 42*4*, если известно, что
оно делится на 72.
4. Решите уравнение
4
у
4
2
х
1
4
2
ух
.
5. Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из А в В.
Проехав треть пути, велосипедист остановился и тронулся дальше
лишь тогда, когда мотоциклисту осталось треть пути до В.
Мотоциклист, доехав до В, без остановки поехал обратно в А.
велосипедист больше остановок в пути не делал. Кто приедет
раньше: мотоциклист в А или велосипедист в В?
10 класс.
1. Определите
а
так,
чтобы сумма корней уравнения
2
х
2(
а
)
ах
3
0
была наименьшей.
2. Докажите, что если в прямоугольном треугольнике все стороны
выражаются целыми числами, то среди катетов найдётся такой,
длина которого делится на 3.
3. Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем
которого является число
.
2
3
4. На стороне АВ правильного треугольника АВС взяли точку М и
на отрезке МС по ту же сторону от него, что и точка В, построили
правильный треугольник МКС. Докажите, что прямые АС и ВК
параллельны.
5. В каждой вершине правильно 2007угольника записано
положительное число, причём каждое из этих чисел равно
среднему геометрическому двух чисел, записанных в соседнихвершинах. Докажите, что все записанные в вершинах числа равны
между собой.
11 класс.
1. В десятичной записи семизначного числа нет нулей. Докажите,
что частное от деления этого числа на произведение его цифр
больше 2.
2. Найдите все такие целые числа m и n такие, что имеет место
тождество
m
(cos
x
)1
cos(
mx
4
n
1)
при всех
.
;0x
2
n
3. Докажите неравенство
2
x
3 3
x
1
60
на луче
.
;
1
4
4. Площадь прямоугольника равна S. Найдите площадь треугольника
с вершинами в основаниях перпендикуляров, проведённых из
точки пересечения медиан данного треугольника на катеты и
гипотенузу.
5. При каких значениях х дробь
3
27
х
3
х
27
на 1998?
можно сократить
4
х
37
70
8
х
2
х
6
21
х
2