Задания для олимпиады по математике школьного уровня

5 класс 1. Вычислить  2004  2003  2004 2002  45  12 ...  55 2001  2004 . 2. Для   нумерации   книги   для   детей   понадобилось   204   цифры.   Сколько страниц в книге, если нумерация книги начинается с первой страницы? 3. Разрежьте квадрат размером  44   на 4 равные фигуры. Разрезать можно лишь   по   стороне   квадрата   11   и   способы   считаются   разными,   если полученные фигуры не будут равными при каждом способе. 4. В квартирах №1, №2, №3 жили 3 котёнка: белый, черный, и рыжий. В квартирах №1 и №2 жил не черный котёнок. Белый котёнок жил не квартире №1. В какой квартире жил каждый котёнок? 5. Папа   купил   на   праздник   своим   детям   коробку   конфет.   Федя   взял половину   конфет   и   половинку   одной   конфеты.   Аня   взяла   половину остатка   и   ещё   полконфеты.   Коля   взял   половину   остатка   и   ещё полконфеты.   Маша   взяла   половину   оставшихся   конфет   и   ещё полконфеты. После этого в коробке осталась одна конфета. Сколько конфет было в коробке? 6. Когда у рыбака спросили, как велика пойманная им щука, он сказал: «Я думаю, что хвост её – 1 кг, голова – столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище – сколько голова и хвост вместе». Сколько весит щука? 6 класс. 1. Запишите подряд 22 пятёрки: 5555…5. Поставьте между некоторыми цифрами   знаки   арифметических   действий   так,   чтобы   в   результате получилось число 2004. 2. Восстановите пропущенные цифры в примере:                          *0*3                            ***                        2****                      ***6     .                      621**1 3. Разрежьте квадрат размером   44    на 4 равные фигуры. Резать можно только по сторонам клеточек. Найдите как можно больше способов. 4. Мама купила яблок и сказала детям, чтобы они, вернувшись из школы, разделили   их   поровну.   Первым   пришёл   Андрей,   взял   треть   яблок   и ушел.   Вторым   пришёл   Борис,   взял   треть   оставшихся   яблок   и   ушел. Затем вернулась из школы Валя, она взяла 4 яблока – треть от числа яблок, которые она увидела. Сколько яблок оставила мама? 6. 5. В пакете 9 кг крупы. Как при помощи чашечных весов и одной 200­ граммовой гири отвесить 2 кг крупы, если разрешается сделать только три взвешивания?  В древней рукописи приведено описание города, расположенного на 8 островах. Острова соединены между собой и с материком мостами. На материк выходят 5 мостов; на 4 островах берут начало по 4 моста, на 3 островах   берут   начало   по   3   моста   и   на   один   остров   можно   пройти только по одному мосту. Может ли быть такое расположение мостов? 7 класс. 1. Вычислите:  3 1 117  4 1 119  1 116 117  5 118 119  5 119 . 2. Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут? 3. Расшифруйте   пример   на   сложение,   где   одинаковые   буквы означают   одинаковые   цифры,  а  разные   буквы   –  разные   цифры. Объясните, как вы рассуждали?                    ААБ                  +АБА                    БАА                  БВВБ   4. Сколькими произведение: оканчивается нулями      4321 ... 2005 ?  2006 5. прямоугольник   разделён   двумя   отрезками   на   четыре (см. прямоугольника, площади трёх из которых 2 см , 4 см , 6 см 2 2 2 рис.). Найдите площадь прямоугольника.               2                4 6 6. Отцу и двум его сыновьям вместе 48 лет. Через 5 лет возраст отца будет в два раза больше суммы возрастов его сыновей, а Коле будет столько лет, сколько Юре сейчас. Сколько лет отцу, Коле и Юре? 8 класс. 1. На какую цифру оканчивается число  ? 2005 3  4 2006 2. Число   2007   представьте   в   виде   разности   квадратов   двух натуральных чисел. 3. Дан   угол     34 0 .   Можно   ли   с   помощью   циркуля   и   линейки построить угол 12 0 ? Если да, то обосновать; если нет, то почему? 4. Три   брата  –  Александр,  Борис   и  Сергей   преподают   различные предметы   в   школах   Архангельска,   Северодвинска   и   Котласа. Александр   работает   не   в   Архангельске,   а   Борис   не   в Северодвинске. Архангелогородец преподаёт не математику. Тот, кто   работает   в   Северодвинске,   преподаёт   химию.   Борис преподаёт   физику.   Какую   дисциплину   преподаёт   Сергей   и   в школе какого города? 5. Аня младше Вани. Когда Ване было столько  лет, сколько Ане сейчас, их матери было на 3 года меньше, чем Ане с Ваней теперь. Сколько лет Ване, когда матери было столько лет, сколько Ване теперь? 9 класс. 1. Докажите, что  55  2  3 5  5... 2006  делится на 6. 2. Постройте   ромб,   в   котором   высота   равна   5   см,   а   одна   из диагоналей 6 см. 3. Найдите цифры сотен и единиц числа 42*4*, если известно, что оно делится на 72. 4. Решите уравнение  4 у  4 2 х  1 4 2 ух . 5. Мотоциклист  и велосипедист выехали одновременно из А  в  В. Проехав треть пути, велосипедист остановился и тронулся дальше лишь   тогда,   когда   мотоциклисту   осталось   треть   пути   до   В. Мотоциклист, доехав до В, без остановки поехал обратно в А. велосипедист   больше   остановок   в   пути   не   делал.   Кто   приедет раньше: мотоциклист в А или велосипедист в В? 10 класс. 1. Определите  а  так,   чтобы   сумма   корней   уравнения 2 х  2(  а )  ах  3 0  была наименьшей. 2. Докажите, что если в прямоугольном треугольнике все стороны выражаются целыми числами, то среди катетов найдётся такой, длина которого делится на 3. 3. Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого является число  . 2  3 4. На стороне АВ правильного треугольника АВС взяли точку М и на отрезке МС по ту же сторону от него, что и точка В, построили правильный треугольник МКС. Докажите, что прямые АС и ВК параллельны. 5. В   каждой   вершине   правильно   2007­угольника   записано положительное   число,   причём   каждое   из   этих   чисел   равно среднему   геометрическому   двух   чисел,   записанных   в   соседних вершинах. Докажите, что все записанные в вершинах числа равны между собой. 11 класс. 1. В десятичной  записи семизначного числа нет нулей. Докажите, что частное от деления этого числа  на произведение его цифр больше 2. 2. Найдите  все  такие   целые   числа  m  и  n  такие,  что  имеет  место тождество  m (cos x  )1 cos( mx  4 n  1)  при всех  . ;0x  2  n 3. Докажите неравенство  2 x  3 3 x  1 60  на луче  .  ; 1  4    4. Площадь прямоугольника равна S. Найдите площадь треугольника с   вершинами   в   основаниях   перпендикуляров,   проведённых   из точки   пересечения   медиан   данного   треугольника   на   катеты   и гипотенузу. 5. При каких значениях х дробь  3 27 х 3 х 27   на 1998?  можно сократить    4 х 37  70 8 х 2 х 6 21 х 2