Задания школьного этапа всероссийской олимпиады школьников по математике, 9 класс

Задания школьного этапа всероссийской олимпиады школьников по математике 9 класс Составитель: Давыдова Лариса Викторовна, учитель высшей квалификационной категории МБОУ «Ивановская средняя общеобразовательная школа» 2017 г. 9.1.         При  делении данного числа на 225 в остатке получилось 150. Разделится ли нацело данное число на 75 и почему? 9.2.        Известно, что 1АА,1ОА   21 1   и   90АОА 21  ;  90АОА,1АА  32  32 ; 90АОА,1АА  43 43   ; и т.д.  (рис. 1).  Тогда длина отрезка   равна… ОА 2016 А 4 Рис. 1 А 3 О А 2 А 1 9.3.        Сравните числа  3102831028     и  10. 9.4.        Дан график функции у = х2 + ах + а (рис .2). Найдите а. у 0 х Рис.2 9.5. В конце каждого урока физкультуры учитель проводит забег и даёт  победителю забега четыре конфеты, а всем остальным ученикам – по одной. К концу четверти Петя заслужил 29 конфет, Коля – 32, а Вася – 37 конфет.  Известно, что один из них пропустил ровно один урок физкультуры, участвуя в олимпиаде по математике; остальные же уроков не пропускали. Кто из детей  пропустил урок? Объясните свой ответ. Решения, указания, ответы. 9.1 Решение.   Да, так как 225: 75 = 3 и 150: 75 = 2, следовательно, остаток   равен   0.   Данное   число   можно   записать   так 150х225 )2х3(75  , где х – неполное частное.   9.2. Решение.   По теореме Пифагора, имеем, ОА 2 ОА 3 ОА 4 ОА 5 ОА     11 12 13 14  2 3 4 5  1 2 дти . . 2016 2015 2016 Ответ:   . 2016 А 4 Рис. 1 А 3 О А 2 А 1 9.3. Решение.  Возведем оба числа в квадрат, так они оба положительны: 1)    2  3102831028   310283102831028231028           28256 2     2 310 784256   300 484256  22256  ; 100 2)    102 100 . Так как равны квадраты положительных чисел, значит, равны и сами числа. Ответ:  числа равны. 9.4.Решение.  График   касается   оси   OХ,   поэтому   дискриминант трехчлена равен    нулю:  D= a2 – 4a = 0. Отсюда  a = 0 или  a = 4 . Из графика следует, что а    не равно 0      . (Нарисован график трехчлена у = х2 + 4х + 4 = (х + 2)2 ). Ответ: а = 4. 9.5.  Решение.  После   каждого   забега   разность   количества   конфет,           полученных любыми двумя из присутствовавших на уроке школьников, делится на 3 (эта разность равна 0 или 3). Значит, и в конце четверти разность количеств конфет, полученных любыми двумя из посетивших все уроки физкультуры школьников, делится на 3. А из данных чисел 29, 32, 37 разность, делящуюся на 3, дают только числа 29 и 32. Значит, пропустил урок тот школьник, который заработал 37 конфет.     Ответ: Вася. Рекомендуемое время проведения олимпиады для 9­х классов – 3­4 урока. Проверка и оценивание олимпиадных работ Каждая задача оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Итог подводится  по сумме баллов, набранных Участником.  Основные принципы оценивания приведены в таблице. Баллы 7 6­7 5­6 4 2­3 1 0 0 Правильность (ошибочность) решения  Полное верное решение.  Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не  влияющие на решение Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок,  либо не рассмотрение отдельных случаев, но может стать  правильным после небольших исправлений или дополнений. Верно  рассмотрен один из двух (более сложный)  существенных случаев.   Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в  решении задачи.   Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии  решения (или при ошибочном решении).  Решение неверное, продвижения отсутствуют Решение отсутствует.