Հակադարձ ֆունկցիա

Հակադարձ ֆունկցիա

   y=f(x), x∈X ֆունկցիան անվանում են հակադարձելի  X  բազմությունում, եթե այն իր յուրաքանչյուր արժեք ընդունում է X բազմության միայն մեկ կետում (այլ բառերով՝ արգումենտի իրարից տարբեր արժեքներին համապատասխանում են ֆունկցիայի իրարից տարբեր արժեքներ):

    Թեորեմ 1
 

    Եթե y=f(x), x∈X ֆունկցիան մոնոտոն է, ապա այն հակադարձելի է X բազմությունում:

   Հիշենք, որ մոնոտոն ֆունկցիան աճում կամ նվազում է խիստ իմաստով:

    Դիցուք y=f(x)-ը, հակադարձելի ֆունկցիա է X=D(f) որոշման տիրույթով և Y=E(f) արժեքների բազմությամբ: Յուրաքանչյուր y-ի Y բազմությունից համապատասխանության մեջ դնենք այն միակ x-ը X բազմությունից, որի դեպքում տեղի ունի f(x)=y հավասարությունը (այսինքն, f(x)=y հավասարման միակ լուծումը x-ի նկատմամբ): Ստանում ենք ֆունկցիա, որի որոշման տիրույթը Y բազմությունն է, իսկ արժեքների բազմությունը՝ X-ը: Այդ ֆունկցիան նշանակում են x=(y), y∈Y և անվանում են y=f(x), x∈X ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիա:

    Հակադարձ ֆունկցիայի արժեքը Y բազմության y կետում հավասար է այն x-ին X բազմությունից, որի համար f(x)=y, այսինքն՝ (y)=(f(x))=x

    Թեորեմ 2
 

    Եթե y=f(x) ֆունկցիան աճում է (նվազում է) X բազմությունում, և Y-ը նրա արժեքների բազմությունն է, ապա x=(y),y∈Y հակադարձ ֆունկցիան աճում է (նվազում է) Y բազմությում:

   Թեորեմ 3
 

y=f(x) ֆունկցիայի և նրա հակադարձ ֆունկցիայի գրաֆիկները համաչափ են y=x առանցքի նկատմամբ:

    Հակադարձ ֆունկցիայի բանաձևը

y=f(x) ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիայի բանաձևը գտնելու համար պետք է. 
 

ա) y=f(x) հավասարումից x-ն արտահայտել y-ով,

բ) ստացված x=g(y) բանաձևում փոխել x-ի և y-ի տեղերը:

    Գտնենք y= ,x∈[0;+∞) ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան:

Օրինակ

Տրված ֆունկցիան աճում է [0;+∞) բազմությունում, հետևաբար, այն հակադարձելի է:

y=  հավասարումից գտնում ենք՝   կամ  x=−, և քանի որ պետք են միայն դրական արժեքները, ապա ընտրում ենք x=  արժեքը:
 

    Փոխենք  x-ի և y-ի տեղերը: Ստանում ենք՝  y= , x∈[0;+∞)

Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է y=, x∈[0;+∞) ֆունկցիայի գրաֆիկին  y=x  ուղղի նկատմամբ: