11 класс. Презентация."Векторы в пространстве"

Определение. Отрезок, для которого указано,
какой из его концов является началом, а какой — концом, называется вектором.

нулевой вектор

Длина ненулевого вектора 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐵 равна длине отрезка 𝐴𝐴𝐵𝐵.

Длина нулевого вектора равна 𝟎𝟎.

Ненулевые векторы называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Коллинеарные векторы,
имеющие одинаковые направления,
называют сонаправленными.

Коллинеарные векторы,
имеющие противоположные направления,
называют противоположно направленными.

𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 − параллелепипед

Сонаправленные:

Противоположно направленные:

𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 − параллелепипед

Сонаправленные:

Противоположно направленные:

𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 − параллелепипед

Сонаправленные:

Противоположно направленные:
𝐴 1 𝐴 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 𝐴 ↑↓ 𝐶 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐶 𝐶 1

𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 − параллелепипед

Сонаправленные:

Противоположно направленные:
𝐴 1 𝐴 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 𝐴 ↑↓ 𝐶 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐶 𝐶 1

𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 − параллелепипед

Сонаправленные:
𝐷 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐴 1 ⇈ 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐵
𝐷 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐴 1 ⇈ 𝐶 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐵 1
𝐶𝐵 ⇈ 𝐶 1 𝐵 1

Противоположно направленные:
𝐴 1 𝐴 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 𝐴 ↑↓ 𝐶 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐶 𝐶 1
𝐴𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷 ↑↓ 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐵
𝐴𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷 ↑↓ 𝐷 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐴 1
𝐴𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷 ↑↓ 𝐶 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐵 1

𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 − параллелепипед

Сонаправленные:
𝐷 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐴 1 ⇈ 𝐶 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐵 1
𝐷 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐴 1 ⇈ 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐵
𝐶𝐵 ⇈ 𝐶 1 𝐵 1

Противоположно направленные:
𝐴 1 𝐴 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 𝐴 ↑↓ 𝐶 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐶 𝐶 1
𝐴𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷 ↑↓ 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐵
𝐴𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷 ↑↓ 𝐷 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐴 1
𝐴𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷 ↑↓ 𝐶 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐵 1

𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 − параллелепипед

Сонаправленные:
𝐷 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐴 1 ⇈ 𝐶 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐵 1
𝐷 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐴 1 ⇈ 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐵
𝐶𝐵 ⇈ 𝐶 1 𝐵 1

Противоположно направленные:
𝐴 1 𝐴 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 𝐴 ↑↓ 𝐶 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐶 𝐶 1
𝐴𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷 ↑↓ 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐵
𝐴𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷 ↑↓ 𝐷 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐴 1
𝐴𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷 ↑↓ 𝐶 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐵 1
𝐴𝐵 ↑↓ 𝐶𝐷

𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 − параллелепипед

Сонаправленные:
𝐷 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐴 1 ⇈ 𝐶 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐵 1
𝐷 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐴 1 ⇈ 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐵
𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐵 ⇈ 𝐶 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐵 1
𝐷𝐾 ⇈ 𝐶𝑀

Противоположно направленные:
𝐴 1 𝐴 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 𝐴 ↑↓ 𝐶 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐶 𝐶 1
𝐴𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷 ↑↓ 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐵
𝐴𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷 ↑↓ 𝐷 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐴 1
𝐴𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷 ↑↓ 𝐶 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐵 1
𝐴𝐵 ↑↓ 𝐶𝐷

Задача. 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷− тетраэдр. Точки 𝑀𝑀, 𝑁𝑁 и 𝐾𝐾 являются серединами сторон 𝐴𝐴𝐶𝐶, 𝐵𝐵𝐶𝐶 и 𝐶𝐶𝐷𝐷.
𝐴𝐴𝐵𝐵=3 см, 𝐵𝐵𝐶𝐶=4 см, а 𝐵𝐵𝐷𝐷=5 см. Определить длины векторов:
а) 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐵 , 𝐵𝐶 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝐶 , 𝐵𝐷 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐵𝐷 , 𝑁𝑀 𝑁𝑁𝑀𝑀 𝑁𝑀 , 𝐵𝑁 𝐵𝐵𝑁𝑁 𝐵𝑁 , 𝑁𝐾 𝑁𝑁𝐾𝐾 𝑁𝐾 ;
б) 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐵 , 𝐵𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐵𝐴 , 𝐷𝐵 𝐷𝐷𝐵𝐵 𝐷𝐵 , 𝑁𝐶 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑁𝐶 , 𝐾𝑁 𝐾𝐾𝑁𝑁 𝐾𝑁 .

Решение.

а) 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐵 =𝐴𝐴𝐵𝐵=3 см
𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐶 =𝐵𝐵𝐶𝐶=4 см
𝐵𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐷 =𝐵𝐵𝐷𝐷=5 см
𝑁𝑀 𝑁𝑀 𝑁𝑁𝑀𝑀 𝑁𝑀 𝑁𝑀 =𝑁𝑁𝑀𝑀= 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐴𝐴𝐵𝐵=1,5 см
𝐵𝑁 𝐵𝑁 𝐵𝐵𝑁𝑁 𝐵𝑁 𝐵𝑁 =𝐵𝐵𝑁𝑁= 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐵𝐵𝐶𝐶=2 см
𝑁𝐾 𝑁𝐾 𝑁𝑁𝐾𝐾 𝑁𝐾 𝑁𝐾 =𝑁𝑁𝐾𝐾= 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐵𝐵𝐷𝐷=2,5 см

Задача. 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷− тетраэдр. Точки 𝑀𝑀, 𝑁𝑁 и 𝐾𝐾 являются серединами сторон 𝐴𝐴𝐶𝐶, 𝐵𝐵𝐶𝐶 и 𝐶𝐶𝐷𝐷.
𝐴𝐴𝐵𝐵=3 см, 𝐵𝐵𝐶𝐶=4 см, а 𝐵𝐵𝐷𝐷=5 см. Определить длины векторов:
а) 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐵 , 𝐵𝐶 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝐶 , 𝐵𝐷 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐵𝐷 , 𝑁𝑀 𝑁𝑁𝑀𝑀 𝑁𝑀 , 𝐵𝑁 𝐵𝐵𝑁𝑁 𝐵𝑁 , 𝑁𝐾 𝑁𝑁𝐾𝐾 𝑁𝐾 ;
б) 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐵 , 𝐵𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐵𝐴 , 𝐷𝐵 𝐷𝐷𝐵𝐵 𝐷𝐵 , 𝑁𝐶 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑁𝐶 , 𝐾𝑁 𝐾𝐾𝑁𝑁 𝐾𝑁 .

Решение.

а) 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐵 =𝐴𝐴𝐵𝐵=3 см
𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐶 =𝐵𝐵𝐶𝐶=4 см
𝐵𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐷 =𝐵𝐵𝐷𝐷=5 см
𝑁𝑀 𝑁𝑀 𝑁𝑁𝑀𝑀 𝑁𝑀 𝑁𝑀 =𝑁𝑁𝑀𝑀= 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐴𝐴𝐵𝐵=1,5 см
𝐵𝑁 𝐵𝑁 𝐵𝐵𝑁𝑁 𝐵𝑁 𝐵𝑁 =𝐵𝐵𝑁𝑁= 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐵𝐵𝐶𝐶=2 см
𝑁𝐾 𝑁𝐾 𝑁𝑁𝐾𝐾 𝑁𝐾 𝑁𝐾 =𝑁𝑁𝐾𝐾= 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐵𝐵𝐷𝐷=2,5 см

б) 𝐶𝐵 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐵 𝐶𝐵 =𝐶𝐶𝐵𝐵=4 см
𝐵𝐴 𝐵𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐵𝐴 𝐵𝐴 =𝐵𝐵𝐴𝐴=3 см
𝐷𝐵 𝐷𝐵 𝐷𝐷𝐵𝐵 𝐷𝐵 𝐷𝐵 =𝐷𝐷𝐵𝐵=5 см
𝑁𝐶 𝑁𝐶 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑁𝐶 𝑁𝐶 =𝑁𝑁𝐶𝐶= 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐵𝐵𝐶𝐶=2 см
𝐾𝑁 𝐾𝑁 𝐾𝐾𝑁𝑁 𝐾𝑁 𝐾𝑁 =𝐾𝐾𝑁𝑁= 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐵𝐵𝐷𝐷=2,5 см

Задача. Измерения прямоугольного параллелепипеда 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1
равны соответственно 8 см, 9 см и 12 см. Найти длины векторов:
а) 𝐶 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐶 𝐶 1 , 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐵 , 𝐶𝐷 𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐶𝐷 ;
б) 𝐷 𝐶 1 𝐷𝐷 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐷 𝐶 1 , 𝐷𝐵 𝐷𝐷𝐵𝐵 𝐷𝐵 , 𝐷 𝐵 1 𝐷𝐷 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐷 𝐵 1 .

Решение.

а) 𝐶 𝐶 1 𝐶 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐶 𝐶 1 𝐶 𝐶 1 =𝐶𝐶 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 =12 см
𝐶𝐵 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐵 𝐶𝐵 =𝐶𝐶𝐵𝐵=8 см
𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐶𝐷 𝐶𝐷 =𝐶𝐶𝐷𝐷=9 см
б) 𝐷 𝐶 1 𝐷 𝐶 1 𝐷𝐷 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐷 𝐶 1 𝐷 𝐶 1 =𝐷𝐷 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 = 9 2 + 12 2 9 2 + 12 2 9 2 9 9 2 2 9 2 + 12 2 12 12 2 2 12 2 9 2 + 12 2 = 225 225 225 225 =15 см
𝐷𝐵 𝐷𝐵 𝐷𝐷𝐵𝐵 𝐷𝐵 𝐷𝐵 =𝐷𝐷𝐵𝐵= 8 2 + 9 2 8 2 + 9 2 8 2 8 8 2 2 8 2 + 9 2 9 9 2 2 9 2 8 2 + 9 2 = 145 145 145 145 см
𝐷 𝐵 1 𝐷 𝐵 1 𝐷𝐷 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐷 𝐵 1 𝐷 𝐵 1 =𝐷𝐷 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 = 8 2 + 9 2 + 12 2 8 2 + 9 2 + 12 2 8 2 8 8 2 2 8 2 + 9 2 9 9 2 2 9 2 + 12 2 12 12 2 2 12 2 8 2 + 9 2 + 12 2 = 289 289 289 289 =17 см

Равными называют
сонаправленные векторы,
длины которых равны.

Противоположными называют
противоположно направленные векторы,
длины которых равны.

𝒂 = 𝒃
1. 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 ⇈ 𝑏 𝑏𝑏 𝑏
2. 𝑎 = 𝑏

𝒂 =− 𝒃
1. 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 ↑↓ 𝑏 𝑏𝑏 𝑏
2. 𝑎 = 𝑏

Равные векторы:

Противоположные векторы:

Равные векторы:

Противоположные векторы:

𝐴 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 𝐴 1 = 𝐶 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐶 𝐶 1
𝐴 1 𝐷 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐴 1 𝐷 1 = 𝐴𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷

𝐴 1 𝐵 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐴 1 𝐵 1 =− 𝐶𝐷 𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐶𝐷
𝐴𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷 =− 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐵
𝐴 1 𝐷 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐴 1 𝐷 1 =− 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐵

Задача. 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷− правильный тетраэдр.
𝑀𝑀, 𝑁𝑁, 𝑃𝑃 и 𝑄𝑄− середины рёбер 𝐴𝐴𝐵𝐵, 𝐴𝐴𝐷𝐷, 𝐶𝐶𝐷𝐷 и 𝐵𝐵𝐶𝐶.
1. Среди изображённых векторов указать пары равных векторов.
2. Установить вид четырёхугольника 𝑀𝑀𝑁𝑁𝑃𝑃𝑄𝑄.

𝒂 = 𝒃
1. 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 ⇈ 𝑏 𝑏𝑏 𝑏
2. 𝑎 = 𝑏

1. 𝑴𝑨 𝑴𝑴𝑨𝑨 𝑴𝑨 и 𝑴𝑩 𝑴𝑴𝑩𝑩 𝑴𝑩
𝑀𝐴 𝑀𝐴 𝑀𝑀𝐴𝐴 𝑀𝐴 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 𝑀𝐵 𝑀𝑀𝐵𝐵 𝑀𝐵 𝑀𝐵
𝑀𝐴 𝑀𝑀𝐴𝐴 𝑀𝐴 ↑↓ 𝑀𝐵 𝑀𝑀𝐵𝐵 𝑀𝐵

𝑫𝑷 𝑫𝑫𝑷𝑷 𝑫𝑷 и 𝑷𝑪 𝑷𝑷𝑪𝑪 𝑷𝑪
𝐷𝑃 𝐷𝑃 𝐷𝐷𝑃𝑃 𝐷𝑃 𝐷𝑃 = 𝑃𝐶 𝑃𝐶 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝑃𝐶 𝑃𝐶
𝐷𝑃 𝐷𝐷𝑃𝑃 𝐷𝑃 ⇈ 𝑃𝐶 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝑃𝐶

Задача. 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷− правильный тетраэдр.
𝑀𝑀, 𝑁𝑁, 𝑃𝑃 и 𝑄𝑄− середины рёбер 𝐴𝐴𝐵𝐵, 𝐴𝐴𝐷𝐷, 𝐶𝐶𝐷𝐷 и 𝐵𝐵𝐶𝐶.
1. Среди изображённых векторов указать пары равных векторов.
2. Установить вид четырёхугольника 𝑀𝑀𝑁𝑁𝑃𝑃𝑄𝑄.

𝒂 = 𝒃
1. 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 ⇈ 𝑏 𝑏𝑏 𝑏
2. 𝑎 = 𝑏

1. 𝑫𝑷 𝑫𝑫𝑷𝑷 𝑫𝑷 = 𝑷𝑪 𝑷𝑷𝑪𝑪 𝑷𝑪
𝐷𝑃 𝐷𝑃 𝐷𝐷𝑃𝑃 𝐷𝑃 𝐷𝑃 = 𝑃𝐶 𝑃𝐶 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝑃𝐶 𝑃𝐶
𝐷𝑃 𝐷𝐷𝑃𝑃 𝐷𝑃 ⇈ 𝑃𝐶 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝑃𝐶

𝑴𝑵 𝑴𝑴𝑵𝑵 𝑴𝑵 = 𝑷𝑸 𝑷𝑷𝑸𝑸 𝑷𝑸
𝑀𝑁 𝑀𝑁 𝑀𝑀𝑁𝑁 𝑀𝑁 𝑀𝑁 = 𝑃𝑄 𝑃𝑄 𝑃𝑃𝑄𝑄 𝑃𝑄 𝑃𝑄
𝑀𝑁 𝑀𝑀𝑁𝑁 𝑀𝑁 ⇈ 𝑃𝑄 𝑃𝑃𝑄𝑄 𝑃𝑄

Задача. 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷− правильный тетраэдр.
𝑀𝑀, 𝑁𝑁, 𝑃𝑃 и 𝑄𝑄− середины рёбер 𝐴𝐴𝐵𝐵, 𝐴𝐴𝐷𝐷, 𝐶𝐶𝐷𝐷 и 𝐵𝐵𝐶𝐶.
1. Среди изображённых векторов указать пары равных векторов.
2. Установить вид четырёхугольника 𝑀𝑀𝑁𝑁𝑃𝑃𝑄𝑄.

𝒂 = 𝒃
1. 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 ⇈ 𝑏 𝑏𝑏 𝑏
2. 𝑎 = 𝑏

1. 𝑫𝑷 𝑫𝑫𝑷𝑷 𝑫𝑷 = 𝑷𝑪 𝑷𝑷𝑪𝑪 𝑷𝑪
𝐷𝑃 𝐷𝑃 𝐷𝐷𝑃𝑃 𝐷𝑃 𝐷𝑃 = 𝑃𝐶 𝑃𝐶 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝑃𝐶 𝑃𝐶
𝐷𝑃 𝐷𝐷𝑃𝑃 𝐷𝑃 ⇈ 𝑃𝐶 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝑃𝐶

𝑴𝑵 𝑴𝑴𝑵𝑵 𝑴𝑵 = 𝑷𝑸 𝑷𝑷𝑸𝑸 𝑷𝑸
𝑀𝑁 𝑀𝑁 𝑀𝑀𝑁𝑁 𝑀𝑁 𝑀𝑁 = 𝑃𝑄 𝑃𝑄 𝑃𝑃𝑄𝑄 𝑃𝑄 𝑃𝑄
𝑀𝑁 𝑀𝑀𝑁𝑁 𝑀𝑁 ⇈ 𝑃𝑄 𝑃𝑃𝑄𝑄 𝑃𝑄

𝑵𝑷 𝑵𝑵𝑷𝑷 𝑵𝑷 = 𝑴𝑸 𝑴𝑴𝑸𝑸 𝑴𝑸
𝑁𝑃 𝑁𝑃 𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑃 𝑁𝑃 = 𝑀𝑄 𝑀𝑄 𝑀𝑀𝑄𝑄 𝑀𝑄 𝑀𝑄
𝑁𝑃 𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑃 ⇈ 𝑀𝑄 𝑀𝑀𝑄𝑄 𝑀𝑄

Задача. 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷− правильный тетраэдр.
𝑀𝑀, 𝑁𝑁, 𝑃𝑃 и 𝑄𝑄− середины рёбер 𝐴𝐴𝐵𝐵, 𝐴𝐴𝐷𝐷, 𝐶𝐶𝐷𝐷 и 𝐵𝐵𝐶𝐶.
1. Среди изображённых векторов указать пары равных векторов.
2. Установить вид четырёхугольника 𝑀𝑀𝑁𝑁𝑃𝑃𝑄𝑄.

1. 𝐷𝑃 𝐷𝐷𝑃𝑃 𝐷𝑃 = 𝑃𝐶 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝑃𝐶
𝐷𝑃 𝐷𝑃 𝐷𝐷𝑃𝑃 𝐷𝑃 𝐷𝑃 = 𝑃𝐶 𝑃𝐶 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝑃𝐶 𝑃𝐶
𝐷𝑃 𝐷𝐷𝑃𝑃 𝐷𝑃 ⇈ 𝑃𝐶 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝑃𝐶

𝑀𝑁 𝑀𝑀𝑁𝑁 𝑀𝑁 = 𝑃𝑄 𝑃𝑃𝑄𝑄 𝑃𝑄
𝑀𝑁 𝑀𝑁 𝑀𝑀𝑁𝑁 𝑀𝑁 𝑀𝑁 = 𝑃𝑄 𝑃𝑄 𝑃𝑃𝑄𝑄 𝑃𝑄 𝑃𝑄
𝑀𝑁 𝑀𝑀𝑁𝑁 𝑀𝑁 ⇈ 𝑃𝑄 𝑃𝑃𝑄𝑄 𝑃𝑄

𝑁𝑃 𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑃 = 𝑀𝑄 𝑀𝑀𝑄𝑄 𝑀𝑄
𝑁𝑃 𝑁𝑃 𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑃 𝑁𝑃 = 𝑀𝑄 𝑀𝑄 𝑀𝑀𝑄𝑄 𝑀𝑄 𝑀𝑄
𝑁𝑃 𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑃 ⇈ 𝑀𝑄 𝑀𝑀𝑄𝑄 𝑀𝑄

2. 𝑀𝑀𝑁𝑁∥𝑃𝑃𝑄𝑄, 𝑀𝑀𝑁𝑁=𝑃𝑃𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑃𝑃∥𝑀𝑀𝑄𝑄, 𝑁𝑁𝑃𝑃=𝑀𝑀𝑄𝑄
⟹𝑀𝑀𝑁𝑁𝑃𝑃𝑄𝑄− параллелограмм

𝑀𝑀𝑁𝑁=𝑃𝑃𝑄𝑄=𝑁𝑁𝑃𝑃=𝑀𝑀𝑄𝑄 ⟹ 𝑀𝑀𝑁𝑁𝑃𝑃𝑄𝑄− ромб

Ответ: 1) 𝐷𝑃 𝐷𝐷𝑃𝑃 𝐷𝑃 = 𝑃𝐶 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝑃𝐶 , 𝑀𝑁 𝑀𝑀𝑁𝑁 𝑀𝑁 = 𝑃𝑄 𝑃𝑃𝑄𝑄 𝑃𝑄 , 𝑁𝑃 𝑁𝑁𝑃𝑃 𝑁𝑃 = 𝑀𝑄 𝑀𝑀𝑄𝑄 𝑀𝑄 ; 2) 𝑀𝑀𝑁𝑁𝑃𝑃𝑄𝑄− ромб.

От любой точки 𝑀𝑀 плоскости можно отложить вектор,
равный данному вектору 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 , и притом только один.

От любой точки 𝑀𝑀 пространства можно отложить вектор,
равный данному вектору 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 , и притом только один.

𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 − параллелепипед.
Точки 𝐾𝐾 и 𝑀𝑀− середины сторон 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 и 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 .

Назвать векторы, которые получатся, если:
а) от точки 𝐶𝐶 отложить вектор, равный 𝐷 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐷 𝐷 1
𝑪 𝑪 𝟏 𝑪𝑪 𝑪 𝟏 𝑪𝑪 𝑪 𝟏 𝟏𝟏 𝑪 𝟏 𝑪 𝑪 𝟏 = 𝐷 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐷 𝐷 1
б) от точки 𝐷𝐷 отложить вектор, равный 𝐶𝑀 𝐶𝐶𝑀𝑀 𝐶𝑀
𝑫𝑲 𝑫𝑫𝑲𝑲 𝑫𝑲 = 𝐶𝑀 𝐶𝐶𝑀𝑀 𝐶𝑀
в) от точки 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 отложить вектор, равный 𝐴𝐶 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐶
𝑨 𝟏 𝑪 𝟏 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝟏𝟏 𝑨 𝟏 𝑪 𝟏 𝑪𝑪 𝑪 𝟏 𝟏𝟏 𝑪 𝟏 𝑨 𝟏 𝑪 𝟏 = 𝐴𝐶 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐶
г) от точки 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 отложить вектор, равный 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐵
𝑪 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑪𝑪 𝑪 𝟏 𝟏𝟏 𝑪 𝟏 𝑩 𝟏 𝑩𝑩 𝑩 𝟏 𝟏𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑩 𝟏 = 𝐶𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐵
д) от точки 𝑀𝑀 отложить вектор, равный 𝐾 𝐴 1 𝐾𝐾 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐾 𝐴 1
𝑴 𝑩 𝟏 𝑴𝑴 𝑩 𝟏 𝑩𝑩 𝑩 𝟏 𝟏𝟏 𝑩 𝟏 𝑴 𝑩 𝟏 = 𝐾 𝐴 1 𝐾𝐾 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐾 𝐴 1

𝒂 = 𝒃
1. 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 ⇈ 𝑏 𝑏𝑏 𝑏
2. 𝑎 = 𝑏

𝒂 =− 𝒃
1. 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 ↑↓ 𝑏 𝑏𝑏 𝑏
2. 𝑎 = 𝑏

От любой точки 𝑀𝑀 пространства можно отложить вектор,
равный данному вектору 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 , и притом только один.