1.11 Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника.

Повторяем теорию

Средняя линия треугольника - отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Теорема о средней линии треугольника.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

DE - средняя линия треугольника АВС, DE║AB,

DE= ^AB

2

В каждом треугольнике можно провести три средних линии, при пересечении которых получается четыре равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом подобия

1.

2

Проверяем себя

Т1. Вставьте пропущенные слова:

а) Средняя линия треугольника равна половине                     . б) В любом треугольнике можно провести             средние линии. Ответ: а) третьей стороны; б) три.

Т2. Выберите верные утверждения.

1)   Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника.

2)  Сторона треугольника равна половине соответствующей средней линии треугольника.

3)  Средняя линия треугольника равна половине соответствующей стороны треугольника.

4)  Средняя           линия    треугольника    перпендикулярна    одной    из       сторон треугольника.

5)  Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Ответ:135

Т3. Выберете неверные утверждения:

1)    Квадрат гипотенузы равен сумме катетов

2)    Смежные углы равны

3)    Вертикальные углы равны

4)    Катет, лежащий напротив угла 30, равен половине гипотенузы.

5)    Все диаметры окружности равны между собой.

Ответ: 12

Решаем задачи

1.      а) Найдите длину большей средней линии треугольника, если его стороны равны: 8, 14, 18

Ответ:9

б) Найдите длину меньшей средней линии треугольника, если его стороны равны: 7, 13, 17

Ответ:3,5

в) Найдите длину большей средней линии треугольника, если его стороны равны: 10, 16, 20

Ответ:10

2.      а) Периметр треугольника равен 18 см. Найдите периметр треугольника, вершины которого-середины сторон данного треугольника.

Ответ:9

б)   Периметр   треугольника  равен   64   см.   Найдите

периметр  треугольника,   вершины   которого   -   середины  сторон                  данного треугольника.

Ответ:32

в) Периметр треугольника равен 25 см. Найдите периметр треугольника, вершины которого-середины сторон данного треугольника

Ответ:12,5

3.      а) Периметр треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, равен 12 см. Найдите периметр данного треугольника.

Ответ:24

б) Периметр треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, равен 17 см. Найдите периметр данного треугольника.

Ответ:34

в)   Периметр   треугольника,   образованного   средними   линиями      данного треугольника, равен 32,5 см. Найдите периметр данного треугольника.

Ответ:65

4.      а) Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает   стороны  AB   и   BC   в   серединах  M   и N соответственно, AB=24, AC=21, ВС=14. Найдите MN. Ответ:10,5

б) Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в серединах M и N соответственно, AB=28, AC=24, ВС=18. Найдите MN.

Ответ:12

в) Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в серединах M и N соответственно, AB=33, AC=27, ВС=18. Найдите MN.

Ответ:13,5

5.      а) Периметр треугольника равен 60 см, а его стороны относятся как 3:5:7. Найдите стороны треугольника, вершины которого-середины сторон данного треугольника. В ответ запишите большую сторону.

Ответ:14

б) Периметр треугольника равен 108 см, а его

стороны относятся как 3:7:8. Найдите стороны треугольника, вершины которого-середины сторон данного треугольника. В ответ запишите большую сторону.

Ответ:24

в) Периметр треугольника равен 68 см, а его стороны относятся как 4:6:7. Найдите большую сторону треугольника, вершины которого являются серединами сторон данного треугольника.

Ответ:14.

6.   а) Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием АС равен 30. MN – средняя линия, соединяющая середины боковых сторон, равна 4. Найдите отрезок МB.

Ответ: 5,5

б) Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием АС равен 45. MN – средняя линия, соединяющая середины боковых сторон, равна 7. Найдите отрезок АМ.

Ответ: 7,75

в) Найдите периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием АС, если MN – средняя линия, соединяющая середины боковых сторон, равна 4. Сторона АВ равна 15.

Ответ: 38

7.   а) В треугольнике АВС MN -средняя линия. Найдите периметр треугольника МВN, если периметр треугольника АВС равен 31.

Ответ:15,5

б) В треугольнике АВС MN -средняя линия. Найдите периметр треугольника

АВС, если периметр треугольника MNB равен 31

Ответ:62

в)   В   равностороннем   треугольнике   АВС  MN   -средняя  линия.      Найдите периметр треугольника МВN, если сторона ВС равна 31.

Ответ:46,5

Задачи с развернутым ответом.

1.     Точки М, К, N, P- середины сторон АВ и СD и середины диагоналей АС и BD четырёхугольника АВСD соответственно. Найдите сторону MN четырёхугольника ABCD, если PK=10 см.

Ответ:10

2.     Диагонали четырехугольника равны 2 см и 5 см, а угол между ними равен 42°. Найдите стороны и углы четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Ответ:2,5 см, 2,5 см, 1 см, 1 см; 42, 138°, 42°, 138°