1.3 Углы, образованные параллельными прямыми и секущей

Углы, образованные параллельными прямыми и секущей. Повторяем теорию.

Две     прямые    на     плоскости     называются

параллельными, если они не пересекаются.

𝑎 ∥ 𝑏

Прямая  c называется секущей   по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

При пересечении двух прямых секущей образуются 8 углов.

∠3 и ∠6,    ∠4 и ∠5    –    внутренние   накрест лежащие углы

∠3 и ∠5,           ∠4 и ∠6           –           внутренние односторонние углы

∠1 и ∠5,    ∠3 и ∠7,    ∠2 и ∠6,    ∠4 и ∠8      –

соответственные углы

Признаки параллельности прямых.

1.            Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2.            Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3.            Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180⁰, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых.

1.            Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

2.            Если   две   параллельные  прямые  пересечены   секущей,   то   сумма односторонних углов равна 180⁰.

3.            Если     две     параллельные    прямые    пересечены     секущей,     то соответственные углы равны.

Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия.

1.            Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

2.            Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Проверяем себя.

Т1. Вставьте пропущенные слова:

а) Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые

                                     .

б) Если две прямые                не пересекаются, то они                  .

Ответ: а) параллельны; б) на плоскости, параллельны.

Т2. Верно ли утверждение:

а)    Если   две    прямые   перпендикулярны   третьей   прямой,   то    они перпендикулярны.

б) Если угол равен 80⁰, то вертикальный ему угол равен 100⁰.

в) Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма односторонних углов равна 180⁰.

г) Если две прямые не пересекаются, то они параллельны.

д) Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны 18°, то эти две прямые параллельны.

е) Если угол прямой, то смежный с ним угол также является прямым.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да; г) нет; д) да; е) да.

Т3. Выберите верные утверждения:

а) Накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.

б) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.

в) Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.

г) Через любые три точки проходит ровно одна прямая.

д) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 43⁰, то эти две прямые параллельны.

Ответ: а), д).

Решаем задачи.

1.     а) Прямые a и b параллельны. Найдите ∠1, если

∠4 = 129⁰.

Ответ: 51

б) Прямые a и b параллельны. Найдите ∠5, если

∠1 = 63⁰.

Ответ: 63

в) Прямые a и b параллельны. Найдите ∠2, если

∠3 = 23⁰.

Ответ: 157

2.     а) Прямые m и n параллельны. Найдите ∠2, если ∠3 + ∠4 = 98⁰.

Ответ: 131

б) Прямые m и n параллельны. Найдите ∠6, если ∠2 + ∠5 = 225⁰.

Ответ: 67,5.

в) Прямые m и n параллельны. Найдите ∠6, если ∠1 + ∠4 = 102⁰.

Ответ: 51.

3.     а) В параллелограмме ABCD

AN – биссектриса угла BAD. Найдите угол BNA, если ∠𝐵𝐴𝐷 = 54⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 27

б) В параллелограмме ABCD

AN – биссектриса угла BAD. Найдите угол CNA, если ∠𝐵𝐴𝑁 = 32⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 148

в) В параллелограмме ABCD AN – биссектриса угла BAD. Найдите угол BAD, если ∠𝐶𝑁𝐴 = 164⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 32

4.       а) В трапеции ABCD BM – биссектриса угла ABC. Найдите ∠𝐴𝐵𝐶, если ∠𝐴𝑀𝐵 = 55⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 110

б) В трапеции ABCD BM – биссектриса угла ABC. Найдите ∠𝐷𝑀𝐵, если ∠𝐴𝐵𝐶 = 144⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 108

в) В трапеции ABCD BM – биссектриса угла ABC. Найдите ∠𝐴𝐵𝐶, если

∠𝐵𝑀𝐷 = 130⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 100

5.       а) Прямая 𝑚 ⊥ 𝑎 и 𝑚 ⊥ 𝑏. Найдите ∠2, если ∠3 + ∠7 = 150⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 75

б) Прямая 𝑚 ⊥ 𝑎 и 𝑚 ⊥ 𝑏. Найдите ∠8, если

∠2 + ∠6 = 45⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 157,5

в) Прямая 𝑚 ⊥ 𝑎 и 𝑚 ⊥ 𝑏. Найдите ∠4, если ∠1 + ∠5 = 206⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 103

6.     а)    На   рисунке:   ∠2 = ∠7,   ∠3 = 155⁰. Найдите ∠6. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 155

б) На рисунке: ∠1 = ∠6, ∠4 = 117⁰. Найдите

∠7. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 63

в) На рисунке: ∠3 = ∠6, ∠7 = 47⁰. Найдите ∠5. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 47

7.     а) Известно, что ∠1 + ∠7 = 180⁰, ∠4 −

∠8 = 40⁰. Найдите ∠5. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 70

б) Известно, что ∠2 = ∠8, ∠1 − ∠7 = 23⁰.

Найдите ∠3. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 78,5

в) Известно, что ∠4 + ∠8 = 180⁰, ∠6 − ∠3 = 18⁰. Найдите ∠7. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 81

Задачи с развернутым ответом

1.    В трапеции  MNPO биссектриса  NC угла MNP параллельна стороне PO. Найдите ∠𝑃, если

∠𝑀𝑁𝐶 = 53⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 127