1.5 Углы в равнобедренном, равностороннем треугольниках.

Углы в равнобедренном, равностороннем треугольниках.

 

Повторяем теорию.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. ∆𝐴𝐵𝐶 – равнобедренный.

Равные   стороны   называются   боковыми  сторонами,  а третья сторона – основанием.

𝐴𝐵 = 𝐶𝐵 – боковые стороны, 𝐴𝐶 – основание

Свойства равнобедренного треугольника.

1.            В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. ∠𝐴 = ∠𝐶

2.            В     равнобедренном     треугольнике     биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

𝐵𝐷 – биссектриса, высота, медиана.

 

Треугольник, все стороны которого равны, называется

равносторонним.

∆𝐴𝐵𝐶 – равносторонний 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶. Свойства равностороннего треугольника.

1.            В равностороннем треугольнике все углы равны по

60⁰.

2.            В равностороннем треугольнике  биссектриса, медиана и высота,

проведенные из одной вершины, совпадают.

 

Для решения задач 30 и 31 можно использовать значения тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике или теорему Пифагора.

Проверяем себя.

Т1. Выберите неверные утверждения:

а) В равностороннем треугольнике две стороны равны.

б) Любая медиана равностороннего треугольника является биссектрисой и высотой.

в) В равнобедренном треугольнике хотя бы два угла равны. г) В равностороннем треугольнике все углы по 60°.

Ответ: а)

Т2. Выберите верные утверждения:

а) Если в равнобедренном треугольнике есть угол 60°, то треугольник равносторонний.

б) Любая биссектриса равнобедренного треугольника является медианой и высотой.

в) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

г)   Если  в   треугольнике высота является  медианой,  то треугольник- равнобедренный.

Ответ: а), в), г)

Т3. Выберите верные утверждения:

а) Если в прямоугольном треугольнике есть угол 45°, то треугольник – равнобедренный.

б) В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

в) Сумма углов равностороннего треугольника равна 180°.

г)     Треугольник,    в     котором    две     стороны    равны,    называется равнобедренным.

Ответ: а), б), в), г).

 

Решаем задачи

1.     а) В треугольнике ABC известно, что AB=BC, ∠ABC=124°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 28

б) В треугольнике ABC известно, что AB=BC,

∠ACВ=42°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 96

в)    В    треугольнике ABC известно,    что AB=BC, ∠ABC=73°.    Найдите угол BAC. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 53,5

2.     а)           В   треугольнике        АВС   АВ=ВС=АС,  Найдите высоту ВК, если АВ = ^2√3.

3

Ответ: 1

б) В треугольнике АВС АВ=ВС=АС, Найдите высоту

ВК, если КС = ^2√3

3

Ответ: 2

в) В треугольнике АВС АВ=ВС=АС, Найдите высоту ВК, если АС = ^√3

5

Ответ: 0,3.

 

3.          а) В равностороннем треугольнике АВС, высота ВК равна 2√3 . Найдите сторону треугольника.

Ответ: 4

б) В равностороннем треугольнике АВС, высота ВК равна 3√3 м. Найдите КС. Ответ дайте в сантиметрах.

Ответ: 300

в) В равностороннем треугольнике   АВС,   высота   ВК равна 5√3 м. Найдите сторону треугольника. Ответ дайте в метрах.

Ответ: 10

4.          а) В треугольнике АВС АВ=ВС=АС. Найдите внешний угол при вершине В. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 120

б) В треугольнике АВС высота ВК явлется медианой, угол А равен 60°, АС = 6 см. Найдите АВ. Ответ дайте в сантиметрах.

Ответ: 6

в) В треугольнике АВС высота ВК явлется биссектрисой, угол А равен 60°, АС = 2 см. Найдите периметр треугольника. Ответ дайте в сантиметрах.

Ответ: 6

 

5.     а) В треугольнике АВС ВК – биссектриса, АВ = ВС,

∠АВС = 60°. Найдите периметр треугольника АВС, если АК = 4.

Ответ: 24

б) В треугольнике АВС ВК-высота, АК=КС, ∠АВС= 100°. Найдите ∠ВСА. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 40

в) Найдите внешний угол треугольника  при вершине С, если АС=ВС и угол А равен 15°. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 30

 

6.          а) В треугольнике MNK MN = NK, KB – биссектриса внешнего угла при вершине K. Найдите

∠𝑁,

если ∠𝐵𝐾𝐹 = 57⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 48

б)   В   треугольнике   MNK   MN   =   NK,   KB   – биссектриса внешнего угла при вершине K. Найдите

∠𝑀𝐾𝐵,

если ∠𝑁 = 36⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 126

в) В треугольнике MNK MN = NK, KB – биссектриса внешнего угла при вершине K. Найдите ∠𝐵𝐾𝐹, если ∠𝑀 = 78⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 51

 

7.          а) В треугольнике АВС ВС=АВ, ∠𝐵𝐶𝐴: ∠𝐴𝐵𝐶 = 1: 7. Найдите больший угол треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 140

б) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС угол А на 30° меньше угла В. Найдите больший угол треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 70

в) В треугольнике АВС ВС=АВ, ∠𝐵𝐶𝐴: ∠𝐴𝐵𝐶 = 4: 1. Найдите меньший угол треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 20

Задачи с развернутым ответом

1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на сторонах AB и BC отмечены соответственно точки D и M так, что BD = BM. O – точка пересечения отрезков CD и AM. Докажите, что треугольник AOC – равнобедренный.