2.10 Признаки равенства треугольников

Признаки равенства треугольников

Повторяем теорию.

Два   треугольника  называются  равными,  если   их   можно   совместить наложением.

Если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и обратно: против равных углов лежат равные стороны.

1.            Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

если AB = DE, AC = DF, ∠ A=∠ D, то ∆ ABC = ∆ DEF.

2.            Второй  признак  равенства   треугольников  (по   стороне  и   двум прилежащим к ней углам).

Если сторона и два прилежащих к ней       угла      одного      треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим   к    ней    углам   другого треугольника, то такие треугольники равны.

если AB = DE, ∠ A=∠ D, ∠ B=∠ E, то ∆ ABC = ∆ DEF.

3.            Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам).

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

если AB = DE, AC = DF, CB = FE, то ∆ ABC = ∆ DEF.

Проверяем себя.

Т1. Вставьте пропущенное слово:

а)   Два   треугольника   называются   равными,   если   их   можно         

наложением.

б) В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат

            углы.

в) Периметры равных треугольников               .

г) Существует             признака равенства треугольников.

Ответ: а) совместить; б) равные; в) равны; г) три.

Т2. Выберите верное утверждение:

а) Две геометрические фигуры называются равными, если все их стороны равны.

б) Два треугольника равны, если все их углы равны.

в) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

г) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Ответ: г).

Т3. Выберите верное утверждение

а) Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

б) Два треугольника равны, если их можно совместить наложением.

в) Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

г) В равных треугольниках против равных углов лежат другие равные углы.

Ответ: б).

Решаем задачи.

1.     а) В равных треугольниках АВС и МРК ∠А=∠М, ∠В=∠Р, ВС = 5см, АС = 4см, МР = 6 см. Найдите периметр треугольника МРК.

Ответ: 15

б) В равных треугольниках АВС и МРК ∠А=∠М, ∠В=∠Р, ВС= 10см, АС

=8см, М =12 см. Найдите периметр треугольника МРК.

Ответ: 30

в) В равных треугольниках АВС и МРК ∠А=∠М, ∠В=∠Р, ВС =8см, АС

=7см, МР =9 см. Найдите периметр треугольника МРК.

Ответ: 24

2.     а) Равные отрезки АВ и СD точкой пересечения О делятся пополам. ВD =12см, СD =16см. Найдите длину отрезка АС.

Ответ: 12

б) Равные отрезки АВ и СD точкой пересечения О делятся пополам. ВD

=10 см, СD =14 см. Найдите длину отрезка АС.

Ответ: 10

в) Равные отрезки АВ и СD точкой пересечения О делятся пополам. ВD

=11 см, СD =18 см. Найдите длину отрезка АС.

Ответ: 11.

3.           а) Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О так, СО = DО,

∠АСО=∠ВDО, АО=4 см. Найдите длину отрезка ВО.

Ответ: 4

б) Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О так, СО = DО, ∠АСО=∠ВDО, АО=6 см. Найдите длину отрезка ВО.

Ответ: 6

в) Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О так, СО = DО, ∠АСО=∠ВDО, АО=4,5 см. Найдите длину отрезка ВО.

Ответ: 4,5.

4.           а) На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки М и Р так, что АМ=СР, точка О лежит на стороне АС, углы АМО и СРО равны, АС=10см. Найдите длину отрезка СО.

Ответ: 5

б) На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки М и Р так, что АМ=СР, точка О лежит на стороне АС, углы АМО и СРО равны, АС=14см. Найдите длину отрезка СО.

Ответ: 7

в) На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки М и Р так, что АМ=СР, точка О лежит на стороне АС, углы АМО и СРО равны, АС=18см. Найдите длину отрезка СО.

Ответ: 9.

5.        а) По разные стороны от прямой АС отмечены точки В и D так, что

∠ВАС=∠САD, ∠ВСА=∠DСА, АВ=7см, ВС=9см. Найдите длину отрезка СD.

Ответ: 9

б) По разные стороны от прямой АС отмечены точки В и D так, что

∠ВАС=∠САD, ∠ВСА=∠DСА, АВ=10см, ВС=13см. Найдите длину отрезка СD.

Ответ: 13

в) По разные стороны от прямой АС отмечены точки В и D так, что

∠ВАС=∠САD, ∠ВСА=∠DСА, АВ=17см, ВС=19см. Найдите длину отрезка СD.

Ответ: 19.

6.              а) В четырехугольнике АВСD проведена диагональ АС, АВ=СD, ВС=АD. Периметр треугольника АВС равен 23 см, СD=5см, ВС=8см. Найдите длину диагонали АС.

Ответ: 10

б) В четырехугольнике АВСD проведена диагональ АС, АВ=СD, ВС=АD. Периметр треугольника АВС равен 26 см, СD=6см, ВС=9см. Найдите длину диагонали АС.

Ответ: 11

в) В четырехугольнике АВСD проведена диагональ АС, АВ=СD, ВС=АD. Периметр треугольника АВС равен 43 см, СD=15см, ВС=18см. Найдите длину диагонали АС.

Ответ: 10

7.       а) В треугольниках АВС и МКЕ АВ=МК, ВС=КЕ, АС=МЕ, ∠ВАС=35°,

∠ВСА=73°. Найдите ∠КМЕ.

Ответ: 35

б) В треугольниках АВС и МКЕ АВ=МК, ВС=КЕ, АС=МЕ, ∠ВАС=43°,

∠ВСА=65°. Найдите ∠КМЕ.

Ответ: 43

в) В треугольниках АВС и МКЕ АВ=МК, ВС=КЕ, АС=МЕ, ∠ВАС=85°,

∠ВСА=65°. Найдите ∠КМЕ.

Ответ: 85.

Задачи с развернутым ответом.

1.            На сторонах угла АВС отмечены точки М и К так, что углы ВМС и ВКА равны, ВМ=ВК, ВА=15см, ВК=8см, МС=9см. Найдите периметр треугольника СОК, где О-точка пересечения отрезков АК и СМ.

Ответ: 16

2.    АВС и DKE- равнобедренные треугольники с основаниями АС и DE, точки М и N- середины равных сторон ВС и KE. АМ=DN, АС:АВ=4:5, а периметр треугольника DKE равен 28 см. Найдите стороны треугольника АВС.

Ответ:10, 10, 8.