2.18 Описанная около треугольника окружность.

Описанная около треугольника окружность.

Повторяем теорию.

Если все вершины треугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около треугольник, а треугольник называется вписанным в эту окружность.

Около любого треугольника можно описать окружность и только одну.

Центр описанной окружности в треугольник – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Если треугольник прямоугольный, то центр описанной окружности – это середина гипотенузы.

Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы или длине медианы, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе.

OB = OC = OA=𝑹 = 𝟏

𝟐

АВ .

, где h= или R=

R=2r

Если треугольник произвольный, то

Если треугольник тупоугольный, то центр описанной окружности находится вне треугольника.

С каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпедикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений). Эти четыре точки называют замечательными точками треугольника.

Проверяем себя.

Т1. Вставьте пропущенное слово:

а)    Если    серединные    перпендикуляры    к    сторонам    треугольника пересекаются     на      стороне     этого     треугольника,     то     он     является

                                .

б)   Центр   описанной   около   треугольника   окружности   –   это   точка пересечения                к сторонам треугольника.

в) Если треугольник прямоугольный, то центр описанной окружности – это

                     гипотенузы.

г) Если треугольник тупоугольный, то центр описанной окружности находится                треугольника.

Ответ: а) прямоугольным; б) серединных перпендикуляров; в) середина; г)

вне.

Т2. Выберите верное утверждение:

а) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри

этого треугольника

б) Если точка М равноудалена от вершин треугольника АВС, то она является центром описанной окружности.

в) Высоты треугольника совпадают с серединными перпендикулярами.

г) Точка пересечения средних линий треугольника является замечательной точкой треугольника.

Ответ: б).

Т3. Выберите верное утверждение:

1)      Точка пересечения высот треугольника (или их продолжений) не относится к его замечательным точкам.

2)         Окружность   называется   описанной   около   треугольника,   когда окружность пересекает все стороны этого треугольника.

3)   Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

4)     Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен гипотенузе этого треугольника.

Ответ: 3.

Решаем задачи.

1.     а) В треугольнике АВС стороны АС=8, ВС=15, угол С равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Ответ: 8,5

б) В треугольнике АВС стороны АС=10, ВС=24, угол С равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Ответ: 13

в) В треугольнике АВС стороны АС=12, ВС=5, угол С равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Ответ: 6,5.

2.     а) Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника, если

синус одного из углов треугольника равен   3

7

, а противолежащая этому углу

сторона равна 15 см.

Ответ: 35

б) Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника, если

синус одного из углов треугольника равен   4 , а противолежащая этому углу

9

сторона равна 16 см.

Ответ: 36

в) Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника, если

синус одного из углов треугольника равен   5 , а противолежащая этому углу

6

сторона равна 20 см.

Ответ: 24.

3.                       а) Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если косинус одного из углов треугольника равен         3 , а

7

прилежащий к этому углу катет равен 18 см.

Ответ: 42

б) Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если косинус одного из углов треугольника равен 0,25, а прилежащий к этому углу катет равен 1 см.

Ответ: 4

в)   Найдите   диаметр   окружности,   описанной   около   прямоугольного

треугольника, если косинус одного из углов треугольника равен      4 , а

9

прилежащий к этому углу катет равен 12 см.

Ответ: 27.

4.                      а) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если одна из сторон треугольника равна 20 см, а расстояние от центра окружности до этой стороны равно 24 см.

Ответ: 26

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если одна из сторон треугольника равна 24 см, а расстояние от центра окружности до этой стороны равно 5 см.

Ответ: 13

в) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если одна из сторон треугольника равна 48 см, а расстояние от центра окружности до этой стороны равно 10 см.

Ответ: 26.

5.                       а) Найдите радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 42 см.

Ответ: 84

б) Найдите радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 21 см.

Ответ: 42

в) Найдите радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 26 см.

Ответ: 52.

6.                      а) Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 17 см. Найдите АС, если ВС=16 см.

Ответ:30

б) Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 25 см. Найдите АС, если ВС=48 см.

Ответ: 14

в) Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 12,5 см. Найдите АС, если ВС=7 см.

Ответ: 24.

7.                      а) В равнобедренном треугольнике АВС ∠А=30°, ∠С=30°. Сторона АВ равна 4 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Ответ: 4

б) В равнобедренном треугольнике АВС ∠А=30°, ∠С=30°. Сторона АВ равна 14 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Ответ: 14

в) В равнобедренном треугольнике АВС ∠А=30°, ∠С=30°. Сторона АВ равна 8 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Ответ: 8.

Задачи с развернутым ответом.

1.       В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10 см. а биссектриса, проведенная к основанию, - 8 см. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: 6,25

2.   В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведенную из вершины В, в отношении 5:4, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС=18.

Ответ: 15