2.21 Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора.

Повторяем теорию.

Теорема Пифагора.

В   прямоугольном   треугольнике   квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Следствие из теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов.

Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Числа, удовлетворяющие равенству                                          , называют

пифагоровыми тройками.

Пифагоровых троек очень много, вот некоторые:

Из каждой тройки можно получить новую. Например, тройка (6, 8, 10) получается умножением на два тройки (3, 4, 5).

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Треугольник со сторонами 3,4,5 часто называют египетским треугольником.

Проверяем себя.

Т1. Вставьте пропущенное слово:

а) В прямоугольном треугольнике        равен сумме квадратов катетов.

б) В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен                         

квадрата гипотенузы и квадрата другого катета.

в) Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник                           .

г)       Самая      большая      сторона      прямоугольного      треугольника называется                    .

Ответ: а) квадрат гипотенузы; б) разности; в)   прямоугольный; г) гипотенуза.

Т2. Выберите верное утверждение.

а)    В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов. б)    Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

в)    Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Ответ: в).

Т3. Выберите неверное утверждение.

1)           Треугольник со сторонами 3, 4, 5 прямоугольный.

2)           В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен разности квадратов катетов.

3)           Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3.

Ответ: 2.

Решаем задачи.

1.     а) Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Ответ: 29.

Ответ: 26.

в)   Катеты   прямоугольного гипотенузу

этого треугольника.

Ответ: 25.

2.     а) В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 8 и 17 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

Ответ:15.

б) В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 16 и 20 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

Ответ: 12.

в) В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 5 и 13 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

Ответ: 12.

3.                                   а) Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 20. Найдите BC, если AC=32.

Ответ: 24.

б) Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 13. Найдите BC, если AC= 24.

Ответ:10.

в) Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 17. Найдите BC, если AC=30.

Ответ:16.

4.             а) Биссектриса равностороннего треугольника равна

9   3 . Найдите сторону этого треугольника.

Ответ: 18.

б) Медиана равностороннего треугольника равна 11 3 .

Найдите сторону этого треугольника.

Ответ: 22.

в) Высота равностороннего треугольника равна 12

этого треугольника.

Ответ: 24.

. Найдите сторону

5.                        а) Сторона равностороннего треугольника равна 14      . Найдите медиану этого треугольника.

Ответ: 21.

б) Сторона равностороннего треугольника равна 16

этого треугольника.

Ответ: 24.

. Найдите высоту

в)    Сторона   равностороннего   треугольника   равна   10

биссектрису этого треугольника.

Ответ:15.

.    Найдите

6.                        а) Сторона квадрата равна квадрата.

Ответ: 4.

2          . Найдите диагональ этого

б) Сторона квадрата равна квадрата.

Ответ: 20.

10        . Найдите диагональ этого

в) Сторона квадрата равна 11       . Найдите диагональ этого квадрата.

Ответ: 22.

7.                             а)   На   стороне   ВС   прямоугольника  АВСD,   у которого

АВ = 12 и AD = 17, отмечена точка Е так, что треугольник АВЕ равнобедренный. Найдите ED. Ответ: 13.

б) На стороне ВС прямоугольника АВСD, у которого АВ = 15 и AD = 23, отмечена точка Е так, что треугольник АВЕ равнобедренный. Найдите ED.

Ответ:17.

в) На стороне ВС прямоугольника АВСD, у которого АВ = 24 и AD = 31, отмечена точка Е так, что треугольник АВЕ равнобедренный. Найдите ED.

Ответ: 25.

Задачи с развернутым ответом.

1.            Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 24, BF = 10.

Ответ: 26.

2.            Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 16, а AB=15.

Ответ: 25.