2Классическое определение вероятности_Дидактические материалы 1

Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим.

Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них красные, 3-синие и 1-белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т.е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события (появление цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (классическое определение вероятности). Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Итак, вероятность события А определяется формулой:

 (1)

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Пример 1 Найти вероятность события А={появление не менее пяти очков при одном бросании игральной кости}.

Используем формулу (1). В нашем случае число возможных исходов n=6, а число, благоприятствующих этому событию исходов, m=2. То есть P(A)=2/6=1/3. Итак, вероятность появления не менее пяти очков при одном бросании игральной кости равна 0.33 или 1/3

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m=n, следовательно, P(A)=m/n=n/n=1

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

В этом случае m=0, следовательно, P(A)=m/n=0/n=0

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0<m<n, значит 0<m/n<1, следовательно,

0<P(A)<1

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

0P(A)1

Под событием в теории вероятностей понимают любой факт, который может произойти или не произойти в результате опыта со случайным исходом. Самый простой результат такого опыта ( например, появление "орла" или "решки" при бросании монеты, попадание в цель при стрельбе, появление туза при вынимании карты из колоды, случайное выпадение числа при бросании игральной кости и т.д.)  называется  элементарным событием.

Множество всех элементарных событий  Е  называется  пространством элементарных событий. Так, при бросании игральной кости это пространство состоит из шести  элементарных событий, а при вынимании карты из колоды – из 52. Событие может состоять из одного или нескольких элементарных событий, например, появление двух тузов подряд при вынимании карты из колоды, или выпадение одного и того же числа при трёхкратном бросании игральной кости. Тогда можно определить событие  как произвольное подмножество пространства элементарных событий.

Достоверным событием называется всё пространство элементарных событий. Таким образом, достоверное событие – это событие, которое обязательно должно произойти в результате данного опыта. При бросании игральной кости таким событием является её падение на одну из граней.

Невозможным событием ( ) называется пустое подмножество пространства элементарных событий. То есть, невозможное событие не может произойти в результате данного опыта. Так, при бросании игральной кости невозможным событием является её падение на ребро.

События  А и В называются  тождественными ( А = В ), если событие  А  происходит тогда и только тогда, когда проиходит событие  В .

Говорят, что событие А влечёт за собой событие В ( А  В ), если из условия "произошло событие А" следует "произошло событие В".

Событие С называется суммой событий  А и В ( С = А  В ), если событие С происходит тогда и только тогда, когда происходит либо  А , либо  В.

Событие С называется произведением событий  А и В ( С = А  В ), если событие С происходит тогда и только тогда, когда происходит и  А , и  В.

Событие С называется разностью событий  А и В ( С = А – В ), если событие С происходит тогда и только тогда, когда происходит событие  А , и не происходит событие В.

Событие  А'  называется противоположным событию  А , если не произошло событие А. Так, промах и попадание при стрельбе – противоположные события.

События  А и В называются  несовместными ( А  В =  ) , если их одновременное появление невозможно. Например, выпадение и "решки", и"орла" при бросании монеты.

Если при проведении опыта могут произойти несколько событий и каждое из них по объективным условиям не является более возможным, чем другое, то такие события называются  равновозможными. Примеры равновозможных событий: появление двойки, туза и валета при вынимании карты из колоды, выпадение любого из чисел от 1 до 6 при бросании игральной кости и т.п.

Элементарное событие

В теории вероятностей элементарное событие или событие-атом – это подмножество пространства исходов случайного эксперимента, которое состоит только из одного элемента. Важно заметить, что элементарное событие – это всё ещё множество, состоящее из одного элемента пространства исходов, но не сам элемент. Однако элементарные события обычно записываются как элементы, а не как множества с целью упрощения, когда это не может вызвать недоразумения.

Примеры пространств исходов эксперимента, S, и элементарных событий:

§  Если объекты счётны, а пространство исходов S = {0, 1, 2, 3, ...} (натуральные числа), то элементарные события – это любые множества {k}, где k ∈ N.

§  Если монета бросается дважды, S = {HH, HT, TH, TT}, H для орла, а T для решетки, то элементарные события: {HH}, {HT}, {TH} и {TT}.

§  Если X – это нормально распределенные случайные величины, S = (-∞, +∞), реальные числа, то элементарные события – любые множества {x}, где x ∈ R. Этот пример показывает, что непрерывное вероятностное распределение не определяется вероятностями событий-атомов, поскольку здесь вероятности всех элементарных событий равны нулю.

Элементарные события могут иметь вероятности, которые строго положительны, нули, неопределенны, или любая комбинация из этих вариантов. Например, любое дискретное вероятностное распределение определяется вероятностями того, что может быть названо элементарными событиями. Напротив, все элементарные события имеют вероятность нуль для непрерывного распределения. Смешанные распределения, не будучи ни непрерывными, ни дискретными, могут содержать атомы, которые могут мыслиться как элементарные (т.е. события-атомы) события с ненулевой вероятностью. В теории меры в определении вероятностного пространства вероятность произвольного элементарного события не могла быть определена до тех пор, пока математики не увидели различие между пространством исходов S и событиями, которые представляют интерес, и которые определяются как элементы σ-алгебры событий из 

Скачано с www.znanio.ru