2тригонометрические формулы суммы и разности углов

9.2.4.3 выводить и применять тригонометрические формулы суммы и разности углов


𝒔𝒊𝒏 𝜶+𝜷 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝜶+𝜷 𝜶+𝜷 𝜶𝜶+𝜷𝜷 𝜶+𝜷 𝒔𝒊𝒏 𝜶+𝜷 = 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝜶𝜶 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝜷𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜷 + 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝜶𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝜷𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜷  𝒔𝒊𝒏 𝜶−𝜷 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝜶−𝜷 𝜶−𝜷 𝜶𝜶−𝜷𝜷 𝜶−𝜷 𝒔𝒊𝒏 𝜶−𝜷 = 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝜶𝜶 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝜷𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜷 − 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝜶𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒔𝒊𝒏 𝜷 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝜷 𝜷𝜷 𝒔𝒊𝒏 𝜷   𝒄𝒐𝒔 𝜶+𝜷 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜶+𝜷 𝜶+𝜷 𝜶𝜶+𝜷𝜷 𝜶+𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜶+𝜷 = 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝜶𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝜷𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜷 − 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝜶𝜶 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝜷𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜶−𝜷 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜶−𝜷 𝜶−𝜷 𝜶𝜶−𝜷𝜷 𝜶−𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜶−𝜷 = 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝜶𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝜷𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜷 + 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝜶𝜶 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝜷𝜷  𝒕𝒈 𝜶+𝜷 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝜶+𝜷 𝜶+𝜷 𝜶𝜶+𝜷𝜷 𝜶+𝜷 𝒕𝒈 𝜶+𝜷 = 𝒕𝒈𝜶+ 𝒕𝒈 𝜷 𝟏− 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒕𝒈𝒈𝜶𝜶+ 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝜷 𝜷𝜷 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒈𝜶+ 𝒕𝒈 𝜷 𝟏− 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷 𝟏𝟏− 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝜶 𝜶𝜶 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝜷 𝜷𝜷 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒈𝜶+ 𝒕𝒈 𝜷 𝟏− 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷 

𝒔𝒊𝒏 𝜶+𝜷 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝜶+𝜷 𝜶+𝜷 𝜶𝜶+𝜷𝜷 𝜶+𝜷 𝒔𝒊𝒏 𝜶+𝜷 = 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝜶𝜶 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝜷𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜷 + 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝜶𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝜷𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜷  𝒔𝒊𝒏 𝜶−𝜷 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝜶−𝜷 𝜶−𝜷 𝜶𝜶−𝜷𝜷 𝜶−𝜷 𝒔𝒊𝒏 𝜶−𝜷 = 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝜶𝜶 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝜷𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜷 − 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝜶𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒔𝒊𝒏 𝜷 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝜷 𝜷𝜷 𝒔𝒊𝒏 𝜷   𝒄𝒐𝒔 𝜶+𝜷 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜶+𝜷 𝜶+𝜷 𝜶𝜶+𝜷𝜷 𝜶+𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜶+𝜷 = 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝜶𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝜷𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜷 − 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝜶𝜶 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝜷𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜶−𝜷 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜶−𝜷 𝜶−𝜷 𝜶𝜶−𝜷𝜷 𝜶−𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜶−𝜷 = 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝜶𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝜷𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜷 + 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝜶𝜶 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝜷𝜷  𝒕𝒈 𝜶+𝜷 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝜶+𝜷 𝜶+𝜷 𝜶𝜶+𝜷𝜷 𝜶+𝜷 𝒕𝒈 𝜶+𝜷 = 𝒕𝒈𝜶+ 𝒕𝒈 𝜷 𝟏− 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒕𝒈𝒈𝜶𝜶+ 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝜷 𝜷𝜷 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒈𝜶+ 𝒕𝒈 𝜷 𝟏− 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷 𝟏𝟏− 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝜶 𝜶𝜶 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝜷 𝜷𝜷 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒈𝜶+ 𝒕𝒈 𝜷 𝟏− 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷   𝒕𝒈 𝜶−𝜷 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝜶−𝜷 𝜶−𝜷 𝜶𝜶−𝜷𝜷 𝜶−𝜷 𝒕𝒈 𝜶−𝜷 = 𝒕𝒈𝜶− 𝒕𝒈 𝜷 𝟏+ 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒕𝒈𝒈𝜶𝜶− 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝜷 𝜷𝜷 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒈𝜶− 𝒕𝒈 𝜷 𝟏+ 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷 𝟏𝟏+ 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝜶 𝜶𝜶 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝜷 𝜷𝜷 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒈𝜶− 𝒕𝒈 𝜷 𝟏+ 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷 

?

?

?

?

?

?

1: Рассмотрим прямоугольный треугольник XOY.
Пусть угол ∠XOY=(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽). Тогда длина 𝑋𝑋𝑌𝑌 = sin(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽). Попытаемся найти такую ​​же длину 𝑋𝑋𝑌𝑌 через 𝛼𝛼 и 𝛽𝛽 по отдельности.

2: Нарисуем два прямоугольных треугольников, тогда XY=AB+CB

cos 𝛽 cos cos 𝛽 𝛽𝛽 cos 𝛽

sin 𝛽 sin sin 𝛽 𝛽𝛽 sin 𝛽

sin 𝛼 sin sin 𝛼 𝛼𝛼 sin 𝛼 cos 𝛽 cos cos 𝛽 𝛽𝛽 cos 𝛽

cos 𝛼 cos cos 𝛼 𝛼𝛼 cos 𝛼 sin 𝛽 sin sin 𝛽 𝛽𝛽 sin 𝛽

3: Находим длины отрезков AB, ВС

4: получим sin 𝛼+𝛽 sin sin 𝛼+𝛽 𝛼+𝛽 𝛼𝛼+𝛽𝛽 𝛼+𝛽 sin 𝛼+𝛽 = sin 𝛼 sin sin 𝛼 𝛼𝛼 sin 𝛼 cos 𝛽 cos cos 𝛽 𝛽𝛽 cos 𝛽 + cos 𝛼 cos cos 𝛼 𝛼𝛼 cos 𝛼 sin 𝛽 sin sin 𝛽 𝛽𝛽 sin 𝛽
□

А

В

С

как использовать полученную формулы sin 𝛼+𝛽 sin sin 𝛼+𝛽 𝛼+𝛽 𝛼𝛼+𝛽𝛽 𝛼+𝛽 sin 𝛼+𝛽 = sin 𝛼 sin sin 𝛼 𝛼𝛼 sin 𝛼 cos 𝛽 cos cos 𝛽 𝛽𝛽 cos 𝛽 + cos 𝛼 cos cos 𝛼 𝛼𝛼 cos 𝛼 sin 𝛽 sin sin 𝛽 𝛽𝛽 sin 𝛽
при, доказательстве формулы
sin 𝛼−𝛽 sin sin 𝛼−𝛽 𝛼−𝛽 𝛼𝛼−𝛽𝛽 𝛼−𝛽 sin 𝛼−𝛽 =?

𝐬𝐢𝐧 𝜶−𝜷 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝜶−𝜷 𝜶−𝜷 𝜶𝜶−𝜷𝜷 𝜶−𝜷 𝐬𝐢𝐧 𝜶−𝜷 = 𝐬𝐢𝐧 𝜶+ −𝜷 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝜶+ −𝜷 𝜶+ −𝜷 𝜶𝜶+ −𝜷 −𝜷𝜷 −𝜷 𝜶+ −𝜷 𝐬𝐢𝐧 𝜶+ −𝜷  = 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝜶𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐜𝐨𝐬 −𝜷 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 −𝜷 −𝜷 −𝜷𝜷 −𝜷 𝐜𝐨𝐬 −𝜷 + 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝜶𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐬𝐢𝐧 −𝜷 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 −𝜷 −𝜷 −𝜷𝜷 −𝜷 𝐬𝐢𝐧 −𝜷  = 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝜶𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜷 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝜷 𝜷𝜷 𝐜𝐨𝐬 𝜷 − 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝜶𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜷 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝜷 𝜷𝜷 𝐬𝐢𝐧 𝜷

cos 𝛼+𝛽 cos cos 𝛼+𝛽 𝛼+𝛽 𝛼𝛼+𝛽𝛽 𝛼+𝛽 cos 𝛼+𝛽 =?
𝐜𝐨𝐬 𝜶+𝜷 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝜶+𝜷 𝜶+𝜷 𝜶𝜶+𝜷𝜷 𝜶+𝜷 𝐜𝐨𝐬 𝜶+𝜷 = 𝐬𝐢𝐧 𝝅 𝟐 − 𝜶+𝜷 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝝅 𝟐 − 𝜶+𝜷 𝝅 𝟐 − 𝜶+𝜷 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 − 𝜶+𝜷 𝜶𝜶+𝜷𝜷 𝜶+𝜷 𝝅 𝟐 − 𝜶+𝜷 𝐬𝐢𝐧 𝝅 𝟐 − 𝜶+𝜷 = 𝐬𝐢𝐧 𝝅 𝟐 −𝜶 + −𝜷 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝝅 𝟐 −𝜶 + −𝜷 𝝅 𝟐 −𝜶 + −𝜷 𝝅 𝟐 −𝜶 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 −𝜶𝜶 𝝅 𝟐 −𝜶 + −𝜷 −𝜷𝜷 −𝜷 𝝅 𝟐 −𝜶 + −𝜷 𝐬𝐢𝐧 𝝅 𝟐 −𝜶 + −𝜷  = 𝐬𝐢𝐧 𝝅 𝟐 −𝜶 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝝅 𝟐 −𝜶 𝝅 𝟐 −𝜶 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 −𝜶𝜶 𝝅 𝟐 −𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝝅 𝟐 −𝜶 𝐜𝐨𝐬 −𝜷 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 −𝜷 −𝜷 −𝜷𝜷 −𝜷 𝐜𝐨𝐬 −𝜷 + 𝐜𝐨𝐬 𝝅 𝟐 −𝜶 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝝅 𝟐 −𝜶 𝝅 𝟐 −𝜶 𝝅 𝟐 𝝅𝝅 𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝝅 𝟐 −𝜶𝜶 𝝅 𝟐 −𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝝅 𝟐 −𝜶 𝐬𝐢𝐧 −𝜷 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 −𝜷 −𝜷 −𝜷𝜷 −𝜷 𝐬𝐢𝐧 −𝜷  = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝜶𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜷 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝜷 𝜷𝜷 𝐜𝐨𝐬 𝜷 − 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝜶𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜷 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝜷 𝜷𝜷 𝐬𝐢𝐧 𝜷

?

?

?

?

Используя формулы 𝑠𝑖𝑛 𝛼+𝛽 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝛼+𝛽 𝛼+𝛽 𝛼𝛼+𝛽𝛽 𝛼+𝛽 𝑠𝑖𝑛 𝛼+𝛽 и 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠⁡(𝛼𝛼+𝛽𝛽)
Доказать формулу 𝒕𝒈 𝜶+𝜷 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝜶+𝜷 𝜶+𝜷 𝜶𝜶+𝜷𝜷 𝜶+𝜷 𝒕𝒈 𝜶+𝜷 = 𝒕𝒈𝜶+ 𝒕𝒈 𝜷 𝟏− 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒕𝒈𝒈𝜶𝜶+ 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝜷 𝜷𝜷 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒈𝜶+ 𝒕𝒈 𝜷 𝟏− 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷 𝟏𝟏− 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝜶 𝜶𝜶 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝜷 𝜷𝜷 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒈𝜶+ 𝒕𝒈 𝜷 𝟏− 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷

доказательство:
𝑡𝑔 𝛼+𝛽 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 𝛼+𝛽 𝛼+𝛽 𝛼𝛼+𝛽𝛽 𝛼+𝛽 𝑡𝑔 𝛼+𝛽 = sin 𝛼+𝛽 cos⁡(𝛼+𝛽) sin 𝛼+𝛽 sin sin 𝛼+𝛽 𝛼+𝛽 𝛼𝛼+𝛽𝛽 𝛼+𝛽 sin 𝛼+𝛽 sin 𝛼+𝛽 cos⁡(𝛼+𝛽) cos⁡(𝛼𝛼+𝛽𝛽) sin 𝛼+𝛽 cos⁡(𝛼+𝛽) = 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝛼𝛼𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝛽𝛽+𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝛼𝛼𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝛽𝛽 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝛼𝛼𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝛽𝛽−𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝛼𝛼𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝛽𝛽 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽 =

= 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛽 1− 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝛼𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝛼𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝛽𝛽 𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝛽𝛽 𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛽 1− 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛽 1− 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝛼𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝛼𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝛽𝛽 𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝛽𝛽 𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛽 1− 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛽 = (÷𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝜶𝜶𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝜷𝜷)

= 𝒕𝒈𝜶+ 𝒕𝒈 𝜷 𝟏− 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒕𝒈𝒈𝜶𝜶+ 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝜷 𝜷𝜷 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒈𝜶+ 𝒕𝒈 𝜷 𝟏− 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷 𝟏𝟏− 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝜶 𝜶𝜶 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝜷 𝜷𝜷 𝒕𝒈 𝜷 𝒕𝒈𝜶+ 𝒕𝒈 𝜷 𝟏− 𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷

Дано выражение 2 sin (𝑥+𝑦) sin sin (𝑥+𝑦) (𝑥𝑥+𝑦𝑦) sin (𝑥+𝑦) =3 cos 𝑥−𝑦 cos cos 𝑥−𝑦 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 𝑥−𝑦 cos 𝑥−𝑦 . Выразите 𝑡𝑔 𝑥 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 𝑥 𝑥𝑥 𝑡𝑔 𝑥 через 𝑡𝑔 𝑦 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 𝑦 𝑦𝑦 𝑡𝑔 𝑦 .

Используя формулу суммы и разности углов:
𝟐𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝒚 𝒚𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝒚 +𝟐𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒙𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝒚 𝒚𝒚 𝐬𝐢𝐧 𝒚 =𝟑𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒙𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝒚 𝒚𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝒚 +𝟑𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝒚 𝒚𝒚 𝐬𝐢𝐧 𝒚
разделив обе части на 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒙𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒚𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝒚
получим:
𝟐𝟐 𝑡𝑔 𝒙 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 𝒙 𝒙𝒙 𝑡𝑔 𝒙 +𝟐𝟐 𝑡𝑔 𝒚 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 𝒚 𝒚𝒚 𝑡𝑔 𝒚 =𝟑𝟑+𝟑𝟑 𝑡𝑔 𝒙 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 𝒙 𝒙𝒙 𝑡𝑔 𝒙 𝑡𝑔 𝒚 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 𝒚 𝒚𝒚 𝑡𝑔 𝒚
окончательно:
𝑡𝑔 𝒙 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 𝒙 𝒙𝒙 𝑡𝑔 𝒙 = 𝟑−𝟐 𝑡𝑔 𝒚 𝟐−𝟑 𝑡𝑔 𝒚 𝟑𝟑−𝟐𝟐 𝑡𝑔 𝒚 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 𝒚 𝒚𝒚 𝑡𝑔 𝒚 𝟑−𝟐 𝑡𝑔 𝒚 𝟐−𝟑 𝑡𝑔 𝒚 𝟐𝟐−𝟑𝟑 𝑡𝑔 𝒚 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 𝒚 𝒚𝒚 𝑡𝑔 𝒚 𝟑−𝟐 𝑡𝑔 𝒚 𝟐−𝟑 𝑡𝑔 𝒚

1

?

Показать, что sin 15° sin sin 15° 15° sin 15° = 6 − 2 4 6 6 6 6 − 2 2 2 2 6 − 2 4 4 6 − 2 4 .

2

Даны sin 𝛼 Даны sin Даны sin 𝛼 𝛼𝛼 Даны sin 𝛼 =− 3 5 3 3 5 5 3 5 , где 180°<𝛼𝛼<270° и cos 𝛽 cos cos 𝛽 𝛽𝛽 cos 𝛽 =− 12 13 12 12 13 13 12 13 , где 90°<𝛽𝛽<180°.
Найти: cos 𝛼−𝛽 cos cos 𝛼−𝛽 𝛼−𝛽 𝛼𝛼−𝛽𝛽 𝛼−𝛽 cos 𝛼−𝛽

𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝜶−𝜷 𝜶𝜶−𝜷𝜷 𝜶−𝜷 =𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝜶𝜶𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝜷𝜷+𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝜶𝜶𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝜷𝜷𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝜶𝜶= 𝟏−𝒔𝒊 𝒏 𝟐 𝜶 𝟏−𝒔𝒊 𝒏 𝟐 𝜶 𝟏𝟏−𝒔𝒔𝒊𝒊 𝒏 𝟐 𝒏𝒏 𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒏 𝟐 𝜶𝜶 𝟏−𝒔𝒊 𝒏 𝟐 𝜶 =± 𝟒 𝟓 𝟒𝟒 𝟒 𝟓 𝟓𝟓 𝟒 𝟓 .
Так, как 𝟏𝟏𝟖𝟖𝟎𝟎°<𝜶𝜶<𝟐𝟐𝟕𝟕𝟎𝟎°, поэтому 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝜶𝜶=− 𝟒 𝟓 𝟒𝟒 𝟒 𝟓 𝟓𝟓 𝟒 𝟓 .
тогда 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝜷𝜷=± 𝟓 𝟏𝟑 𝟓𝟓 𝟓 𝟏𝟑 𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟓 𝟏𝟑 ,
𝜷𝜷 принадлежить интервалу 90°<𝛽𝛽<180°, поэтому 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝜷𝜷= 𝟓 𝟏𝟑 𝟓𝟓 𝟓 𝟏𝟑 𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟓 𝟏𝟑 .
𝒄𝒐𝒔 𝜶−𝜷 = − 𝟒 𝟓 × − 𝟏𝟐 𝟏𝟑 + − 𝟑 𝟓 × 𝟓 𝟏𝟑 = 𝟑𝟑 𝟔𝟓

3

?

?

замечание: чтобы найти значения 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 или 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 используем основное тригонометрическое тождество  sin 2 𝑥 sin 2 sin sin 2 2 sin 2 sin 2 𝑥 𝑥𝑥 sin 2 𝑥 + cos 2 𝑥 cos 2 cos cos 2 2 cos 2 cos 2 𝑥 𝑥𝑥 cos 2 𝑥 ≡1. ⇒
cos 𝐴 cos cos 𝐴 𝐴𝐴 cos 𝐴 =± 1− sin 2 𝐴 1− sin 2 𝐴 1− sin 2 𝐴 sin 2 sin sin 2 2 sin 2 sin 2 𝐴 𝐴𝐴 sin 2 𝐴 1− sin 2 𝐴

4

?

Даны sin 𝛼 Даны sin Даны sin 𝛼 𝛼𝛼 Даны sin 𝛼 =− 3 5 3 3 5 5 3 5 , где 180°<𝛼𝛼<270° и cos 𝛽 cos cos 𝛽 𝛽𝛽 cos 𝛽 =− 12 13 12 12 13 13 12 13 , где 90°<𝛽𝛽<180°.
Найти: 𝑡𝑔 𝛼+𝛽 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 𝛼+𝛽 𝛼+𝛽 𝛼𝛼+𝛽𝛽 𝛼+𝛽 𝑡𝑔 𝛼+𝛽

Вычислите:
cos 75° cos cos 75° 75° cos 75°
𝑡𝑔 75° 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 75° 75° 𝑡𝑔 75°

𝐜𝐨𝐬 𝟕𝟓° 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝟕𝟓° 𝟕𝟓° 𝟕𝟕𝟓𝟓° 𝟕𝟓° 𝐜𝐨𝐬 𝟕𝟓° = 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓°+𝟑𝟎° 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓°+𝟑𝟎° 𝟒𝟓°+𝟑𝟎° 𝟒𝟒𝟓𝟓°+𝟑𝟑𝟎𝟎° 𝟒𝟓°+𝟑𝟎° 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓°+𝟑𝟎° = 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓° 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓° 𝟒𝟓° 𝟒𝟒𝟓𝟓° 𝟒𝟓° 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓° 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎° 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎° 𝟑𝟎° 𝟑𝟑𝟎𝟎° 𝟑𝟎° 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎° − 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝟓° 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝟓° 𝟒𝟓° 𝟒𝟒𝟓𝟓° 𝟒𝟓° 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝟓° 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟎° 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟎° 𝟑𝟎° 𝟑𝟑𝟎𝟎° 𝟑𝟎° 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟎°  = 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 × 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 × 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐  = 𝟑 −𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 −𝟏𝟏 𝟑 −𝟏 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟑 −𝟏 𝟐 𝟐 = 𝟔 − 𝟐 𝟒 𝟔 𝟔 𝟔𝟔 𝟔 − 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟔 − 𝟐 𝟒 𝟒𝟒 𝟔 − 𝟐 𝟒


𝒕𝒈 75° 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 75° 75° 𝒕𝒈 75° = 𝐬𝐢𝐧 75° 𝐜𝐨𝐬 75° 𝐬𝐢𝐧 75° 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 75° 75° 𝐬𝐢𝐧 75° 𝐬𝐢𝐧 75° 𝐜𝐨𝐬 75° 𝐜𝐨𝐬 75° 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 75° 75° 𝐜𝐨𝐬 75° 𝐬𝐢𝐧 75° 𝐜𝐨𝐬 75°
𝐬𝐢𝐧 75° 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 75° 75° 𝐬𝐢𝐧 75° = 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝟓°+𝟑𝟎° 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝟓°+𝟑𝟎° 𝟒𝟓°+𝟑𝟎° 𝟒𝟒𝟓𝟓°+𝟑𝟑𝟎𝟎° 𝟒𝟓°+𝟑𝟎° 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝟓°+𝟑𝟎° = 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝟓° 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝟓° 𝟒𝟓° 𝟒𝟒𝟓𝟓° 𝟒𝟓° 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝟓° 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎° 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎° 𝟑𝟎° 𝟑𝟑𝟎𝟎° 𝟑𝟎° 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎° + 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓° 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐬𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓° 𝟒𝟓° 𝟒𝟒𝟓𝟓° 𝟒𝟓° 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓° 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟎° 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟎° 𝟑𝟎° 𝟑𝟑𝟎𝟎° 𝟑𝟎° 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟎°  = 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 × 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 × 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 = 𝟔 + 𝟐 𝟒 𝟔 𝟔 𝟔𝟔 𝟔 + 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟔 + 𝟐 𝟒 𝟒𝟒 𝟔 + 𝟐 𝟒
𝒕𝒈 75° 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 75° 75° 𝒕𝒈 75° = 𝟔 + 𝟐 𝟒 𝟔 + 𝟐 𝟒 𝟔 𝟔 𝟔𝟔 𝟔 + 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟔 + 𝟐 𝟒 𝟒𝟒 𝟔 + 𝟐 𝟒 𝟔 + 𝟐 𝟒 ÷ 𝟔 − 𝟐 𝟒 𝟔 − 𝟐 𝟒 𝟔 𝟔 𝟔𝟔 𝟔 − 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟔 − 𝟐 𝟒 𝟒𝟒 𝟔 − 𝟐 𝟒 𝟔 − 𝟐 𝟒 = 𝟔 + 𝟐 𝟔 − 𝟐 𝟔 𝟔 𝟔𝟔 𝟔 + 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟔 + 𝟐 𝟔 − 𝟐 𝟔 𝟔 𝟔𝟔 𝟔 − 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟔 + 𝟐 𝟔 − 𝟐 =𝟐𝟐+ 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑

?

?

Решение:
Преобразуем обе части:
2 cos 𝑥 cos cos 𝑥 𝑥𝑥 cos 𝑥 cos 50 0 cos cos 50 0 50 0 50 50 0 0 50 0 cos 50 0 −2 sin 𝑥 sin sin 𝑥 𝑥𝑥 sin 𝑥 sin 50 0 sin sin 50 0 50 0 50 50 0 0 50 0 sin 50 0 = sin 𝑥 sin sin 𝑥 𝑥𝑥 sin 𝑥 cos 40 0 cos cos 40 0 40 0 40 40 0 0 40 0 cos 40 0 + cos 𝑥 cos cos 𝑥 𝑥𝑥 cos 𝑥 sin 40 0 sin sin 40 0 40 0 40 40 0 0 40 0 sin 40 0
используем, следующие тождества
cos 50 0 cos cos 50 0 50 0 50 50 0 0 50 0 cos 50 0 = sin 40 0 sin sin 40 0 40 0 40 40 0 0 40 0 sin 40 0 и sin 50 0 sin sin 50 0 50 0 50 50 0 0 50 0 sin 50 0 = cos 40 0 cos cos 40 0 40 0 40 40 0 0 40 0 cos 40 0 .
2 cos 𝑥 cos cos 𝑥 𝑥𝑥 cos 𝑥 sin 40 0 sin sin 40 0 40 0 40 40 0 0 40 0 sin 40 0 −2 sin 𝑥 sin sin 𝑥 𝑥𝑥 sin 𝑥 cos 40 0 cos cos 40 0 40 0 40 40 0 0 40 0 cos 40 0 = sin 𝑥 sin sin 𝑥 𝑥𝑥 sin 𝑥 cos 40 0 cos cos 40 0 40 0 40 40 0 0 40 0 cos 40 0 + cos 𝑥 cos cos 𝑥 𝑥𝑥 cos 𝑥 sin 40 0 sin sin 40 0 40 0 40 40 0 0 40 0 sin 40 0
поделив обе части на cos 𝑥 cos cos 𝑥 𝑥𝑥 cos 𝑥 cos 40 0 cos cos 40 0 40 0 40 40 0 0 40 0 cos 40 0 получим:
2𝑡𝑔 40 0 2𝑡𝑡𝑔𝑔 2𝑡𝑔 40 0 40 0 40 40 0 0 40 0 2𝑡𝑔 40 0 −2 𝑡𝑔 𝑥 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 𝑥 𝑥𝑥 𝑡𝑔 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 𝑥 𝑥𝑥 𝑡𝑔 𝑥 + 𝑡𝑔 40 0 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 40 0 40 0 40 40 0 0 40 0 𝑡𝑔 40 0  𝑡𝑔 40 0 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 40 0 40 0 40 40 0 0 40 0 𝑡𝑔 40 0 =3 𝑡𝑔 𝑥 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 𝑥 𝑥𝑥 𝑡𝑔 𝑥  1 3 1 1 3 3 1 3 𝑡𝑔 40 0 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 40 0 40 0 40 40 0 0 40 0 𝑡𝑔 40 0 = 𝑡𝑔 𝑥 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 𝑥 𝑥𝑥 𝑡𝑔 𝑥

?

Дано выражение 2 cos( 𝑥 +50) 0 cos( 𝑥 cos( cos( 𝑥 𝑥𝑥 cos( 𝑥 +50) cos( 𝑥 +50) 0 0 cos( 𝑥 +50) 0 = sin( 𝑥 +40) 0 sin( 𝑥 sin( sin( 𝑥 𝑥𝑥 sin( 𝑥 +40) sin( 𝑥 +40) 0 0 sin( 𝑥 +40) 0 .
Показать, что 𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥= 1 3 1 1 3 3 1 3 𝑡𝑡𝑔𝑔 40 0 40 40 0 0 40 0