3.34 Занятие по обобщению и систематизации знаний за курс.

Занятие по обобщению и систематизации знаний за курс.

Исторические сведения

«Интересные факты о математиках»

Многие впоследствии великие математики не отличались хорошим поведением в школе и успеваемостью. К таким "нерадивым" ученикам можно отнести Исаака Ньютона. Он числился в ряду едва успевающих. Взялся за ум учёный лишь после того, как один из его преуспевающих одноклассников назвал его глупцом.

Архимед при помощи математических расчетов помог сконструировать жителям родного города Сиракузы множество всевозможных механизмов, которые успешно помогали обороняться в войне против римлян. На что Марцелл вынужден был однажды сказать: «Надо прекратить войну против геометра». Только измена жителей помогла римлянам проникнуть в Сиракузы.

Известный английский математик, Абрахам де Муавр, на склоне лет своей жизни обнаружил, что длительность его сна ежедневно увеличивается на 15 минут. Составив несложную арифметическую прогрессию, высчитал дату, в которую длительность его сна составит 24 часа – 27 ноября 1754 года. Примечателен тот факты, что именно в этот день он и умер.

Однажды, в свою студенческую пору, американский математик Джордж Данциг опоздал на занятия и ошибочно принял, записанные на доске уравнения, как домашнее задание. Оно оказалось сложным, но Данциг с ним справился. По прошествии времени выяснилось, что он решил 2 «нерешаемых» проблемы в статистике, над которыми ученые бились долгое время.

Далеко не все, даже великие математики, умеют быстро производить в уме простые арифметические действия. Примером тому, может быть случай происшедший с немецким математиком Эрнстом Куммером — большим знатоком теории чисел, умевшим               оперировать                                  сложнейшими математическими понятиями. Однажды, по ходу лекции, он замешкался, пытаясь умножить 7 на 9. Студенты, ради шутки, предложили ему 2 варианта, и оба неверных – 61 и 66.

Михаилу Михайловичу Остроградскому, российскому математику очередная догадка пришла прямо на улице во время прогулки. Ученый не растерялся и нашел какую-то черную вертикальную поверхность и начал на ней спешно делать записи. Однако, вместо того чтобы находится в состоянии покоя

«доска» начала вдруг спешно удаляться! Только спустя некоторое время ученый понял, что это был бортик отъезжающей кареты.

Русская женщина-математик, Софья Васильевна Ковалевская, с математикой была уже знакома ещё с раннего детства. При ремонте, на её комнату не хватило обоев, поэтому, вместо них, были наклеены листы из лекций Михаила Михайловича Остроградского по дифференциальному и интегральному исчислениям. Ради продолжения своей научной карьеры, Софье Васильевне Ковалевской пришлось на время оформить фиктивный брак. В Российской империи, женщинам не положено было заниматься наукой. К тому же, её отец всячески

препятствовал выезду дочери заграницу. Единственным способом покинуть страну было замужество. По прошествии времени, фиктивный брак перерос в реальный, в котором Софья Васильевна родила дочь.

Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: — 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: — Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате

Александр Мелентьевич Волков, по образованию был математиком и преподавал её в одном из московских институтов, В конце 1930-х годов он увлёкся английским языком и для развития своих практических навыков решил самостоятельно перевести известную в то время сказку «Удивительный волшебник из страны Оз» американского писателя Лаймена Фрэнка Баума, чтобы потом пересказать её своим детям. Сказка пришлась им по вкусу, и они стали требовать от него её продолжения

занимательной истории. В связи с этим, ученый стал придумывать от себя всё новые и новые истории. Рукопись была одобрена Самуилом Яковлевичем Маршаком и была, впоследствии переведена на 13 языков. Так родилось известное нам литературное произведение «Волшебник Изумрудного города» и ряд других сказок о жителях и приключениях Волшебной страны.

Леонардо да Винчи вывел правило, согласно которому квадрат диаметра ствола дерева равен сумме квадратов диаметров ветвей, взятых на общей фиксированной высоте. Более поздние исследования подтвердили его с одним лишь отличием — степень в формуле необязательно равняется 2, а лежит в пределах от 1,8 до 2,3. Традиционно считалось, что эта закономерность объясняется тем, что у дерева с такой структурой оптимальный механизм снабжения веток питательными веществами. Однако в 2010 году американский физик Кристоф Эллой нашёл более простое механическое объяснение феномену: если рассматривать дерево как фрактал, то закон Леонардо

минимизирует вероятность слома веток под воздействием ветра.

«Ромб»

Ромб - один из фундаментальных символов, впервые появившийся на территории нашей страны в эпоху энеолита (памятники Трипольской культуры). Ромб обозначал представление тогдашнего человека об окружающем мире, о реальности, наполненную непонятными ей силами.

Позже, в неолите ромб обозначал женское начало: с женщиной стали связывать плодородие. На свадебных юбках, на вышитых рукавах женских рубашек, на девичьих головных уборах очень часто встречается ромб.

Многие награды за окончание вузов и военных академий изготавливаются в форме ромба.

Ромб используют, как знак автомобилей.                                              

«История возникновения синуса и косинуса»

Синус обязан своему появлению на свет великому индийскому математику-астроному Ариабхату. Он оказал большое влияние на возникновение тригонометрии дав точное определение синусу и косинусу. В своих работах ученый назвал синус ардха-джа (ардха – половина, джа – тетива лука, которую напоминает хорда). Люди называли его просто джа.

Арабские математики изучили работу Ариабхаты, перевели её на арабский язык, после чего новым именем синуса стало джиба. Позже при переводе арабских математических текстов оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).

Ариабхата был первым, кто разработал детализированные таблицы синуса с интервалом 3.75° от 0° до 90° и до 4-х знаков после запятой. Он использовал алфавитный код для определения интервала. При использовании таблицы Ариабхаты, было доказано правильное значение Sin30⁰. Астрономические вычисления Ариабхаты подверглись некому влиянию арабов, которые обращались к его тригонометрическим таблицам для составления многих астрономических таблиц.

Слово косинус намного моложе синуса и пошло от сокращенного латинского выражения completely sinus, что обозначает “дополнительный синус”.

«История развития понятия площади»

Необходимость измерять площадь возникла у человека тогда, когда он стал переходить от кочевого образа жизни к оседлому. Занятие земледелием, строительством жилищ, другие виды деятельности потребовали измерения площади. Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий. Еще в 4 – 5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Сохранились планы земельных участков, разделенных на треугольники, прямоугольники, трапеции. Их площади вычислялись как по точным правилам, так и приближенно.

В своих «Началах» Евклид не применял слово «площадь», так как он под словом «фигура» понимает часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией, и под понятием фигуры подразумевал и ее площадь. Евклид результат измерения площади не выражает числом, сравнивал площади различных фигур между собой. При решении задачи о построении квадрата, равновеликого любому данному Евклид оперировал самими площадями, а не числами, которые выражают эти площади. Извлечение квадратного корня для Евклида происходило не алгебраическим путем, а геометрическим: извлечь квадратный корень из числа означало построить стороны квадрата, площадь которого равна площади данного многоугольника.

Задача на вычисление площади круга так же возникла в глубокой древности. В папирусе Ахмеса описано, что за площадь круга S принимали

квадрат со сторонами равными 8/9диметра², то есть . Для соотношения длины окружности к диаметру бралось π= 256/81 ≈ 3, 1605... В древнеегипетских и вавилонских текстах значение π=3, римляне принимали π=3,12... Эти значения были получены путем прямого измерения длины окружности с помощью веревки.

«Измерение площадей»

Вначале людей удовлетворяли субъективные меры, общие для жителей некоторой территории. Так, например, в Южной Индии единицей измерения площади был участок земли, который занимал загон овец. В России такой мерой был "плуг" - часть поля, которую можно было вспахать на паре волов за день. В Америке - индейцы при покупке земли в качестве единиц измерения принимали территорию, которую человек мог обежать за один день. Поэтому покупатели обычно нанимали для этой цели самого быстрого бегуна.

В Вавилоне простейшим из инструментов измерения площади была верёвка длиной в гар. Сначала ей мерили одну сторону поля, затем сторону перпендикулярную к ней и получали квадратный гар. Шумеры называли его шар или сар, вавилоняне – сару, что в переводе означает «грядка». Остальные меры площади получались пересчётом: 100 грядок составляли поле, по – вавилонски – ику; 6 полей – ашлу (верёвку). В переводе на наши меры ашлу- 2,117 га. 3 верёвки составляли бур (колодец).

В Египте сечат, ремен, хесеб, са - меры площади. 1 сечат = 2 ременам = 4 хесебам = 8 са = 100 мехам = 2735 кв. м.

Как и во всех древних государствах, основной ценностью в Китае была земля. По – видимому, полномерным можно было считать поле – цин, состоявшее из 100 му земли. Сама же му состояла из 240 квадратиков со стороной, равной двойному шагу бу. Такой квадрат содержал 2,75 квадратных метра, следовательно, в му был 661 кв. м. Поле - цин было большой площадью. 3 и три четверти цин составляли квадратный ли. Таким образом: 1 цин = 100 му

= 24000 кв. бу = 6,61 га.

Основной единицей площади в древнем Риме можно считать югер. Он делится на 2 квадратных акта, 2 югера составляли гередий. 200 югеров образовывали центурию, 4 центурии- сальт. Обычно мерили землю югерами, которые с древности делились на унции

В древности мерили землю в разных провинциях Италии по – разному: где пертикой (шестом), и там счётной единицей становилась квадратная пертика; где катеной (цепью) – с единицей квадратная катена. Основной поземельной единицей в большинстве мест Северной Италии была табула (полоса) и стайо.

Ещё во времена англосаксонов, VIII-X вв., в Англии существовала мера земли гайда или мансус, иначе её называли «плуговая запашка». Гайда определялась в 120 акров. Акр делился на 4 руда по 40 кв. родов, или перчей. Род² равен 25,29 кв. м, а в акре насчитывалось 160 таких родов. Была ещё малоупотребимая единица площади-ярдленд, равная 1/3 гайды.

В «Русской правде» - законодательном памятнике, который относился к 11-13 векам, употребляется земельная мера плуг. Это была мера земли, с которой платили дань. Есть некоторые основания считать плуг равным 8-9 гектарам. Как и во многих других странах, за меру площади участок принимали количество ржи, необходимое для засева этой площади. В 13-15 веках основной единицей площади была кадь- площадь, для засева которой нужно было примерно 400 кг ржи. Половина этой площади, получившая название десятина, стала основной мерой площадей в дореволюционной Руси. Она равнялась примерно 1,1 гектара. Десятина иногда называлась коробьей.

Другая единица, равная половине десятины, называлась четверть. Налоговой единицей земли была соха (количество пахотной земли,

которое был в состояние обработать один пахарь). В Новгороде – обжа, которая имела различные размеры в зависимости от качества земли и социального положения (духовенство, крестьяне, служильные).

Десятина, которая в быту местами имела и другие размеры, делилась на 2 четверти, четверть в свою очередь делилась на 2 осьмины, осьмины – на 2 полуосьмины, полуосьмина – на 2 четвертика и т.д.

В России это были старинные меры, узаконенные еще Петром 1. Вот они и их перевод в современные единицы измерения.

1квадратная (кв.) верста = 250000 кв. саженей = 1,1381 км²; 1 десятина = 2400 кв. саженям =1,0925 га = 10925 м²;

1 кв. сажень = 9 кв. аршинам =4,5522 м2;

1 кв. аршин = 256 кв. вершкам = =0,5058 м²; 1 кв. вершок = 19,758 см².

Верста – от глагола «вертеть». Исходное значение – «расстояние от одного поворота плуга до другого во время пахоты» (1,067 км). До XVIII в. на Руси существовала и межевая верста в 1000 саженей (2,13 км), для определения расстояния между населенными пунктами и для межевания (межа – граница земельных владений в виде узкой полосы).

При Петре I была введена верста длиной в 500 саженей. На таком расстоянии друг от друга вдоль наиболее важных дорог ставили столбы, окрашенные в два цвета. Отсюда название «столбовая дорога». В начале XIX в. на «черно – белых» полосатых столбах появились цифры, которые показывали расстояние в верстах.

Сажень – происходит от слова «сягать», т.е. доставать до чего-либо. Различали три вида сажени: простая, маховая и косая. От глагола «сягать» слово «недосягаемый» - о месте, куда невозможно добраться. «Косая сажень» - (216 см) расстояние от пальцев левой ноги до конца пальцев правой руки.

Маховая сажень – расстояние между концами пальцев распростертых рук, это 3 аршина (176 см). Простая сажень – это расстояние между концами больших пальцев распростертых рук (152 см). Эта сажень называлась простой или прямой саженью, содержала4 локтя в или 8 пядей в 19 см. Десятина – старинная мера земельной площади. В России в первой половине XIX века существовало несколько видов десятин: Казенная 60*40= 2 400 кв. саженей (1,09 га), Хозяйственная 80*40= 3 200 кв. саженей (1,45 га), Круглая 60*60= 3

600 кв. саженей (1,64 га), Долгая 100*40= 4 000 кв. саженей (1,82 га), сотенная 100*100=10 000 кв. саженей (4,53га).

Существовала так же церковная десятина, впервые введѐнная Владимиром

I.   Десятую часть доходов отдавали церкви. Аршин - происходит от персидского слова "арш" - локоть. Это длина всей вытянутой руки от плечевого сустава до концевой фаланги среднего пальца. В аршине 71,1 см.

В разных губерниях России были свои единицы измерения длины, поэтому купцы, продавая свой товар, как правило, мерили его своим аршином, обманывая при этом покупателей. Чтобы исключить путаницу, был введен казенный аршин, т.е. эталон аршина, представляющий собой деревянную линейку, на концах которой клепались металлические наконечники с государственным клеймом.

Не метрические единицы измерения площади, применяемые в англоязычных странах:

Квадратная миля (США) (staturesquaremile) 2,58999 кв.км. Акр (acre) 4046,86 м2=0,404686 га.

Квадратный ярд (squareyard) - 0,836127 кв.м. Квадратный фут (squarefoot) - 926,030 кв.см.

Большинство старых мер забыто, вышло из употребления, но многие из них фигурируют в литературных произведениях, исторических памятниках. Они заложены в старинных постройках, в древних рецептах лекарств.

То, что в разных странах существовали различные меры длины, веса, площади и т. п., было неудобно. Это мешало развитию торговли, ремесел, поэтому назрела необходимость введения единой системы мер. В 1791 году Национальное собрание Франции по предложению Комиссии по мерам и весам Академии наук утвердило новую систему мер, которая, по мнению ее создателей, годилась "на все времена и для всех народов". В соответствии с этой системой длина измерялась в метрах, вес - в килограммах, а площадь земельных участков - в арах. В 1875 году 17 стран, в том числе и Россия, подписали. Метрическую конвенцию, по которой обязывались ввести в своих странах систему мер, разработанную французскими учеными. Но еще долго всюду употреблялись местные меры. Метрическая система мер была в России допущена в XIX в. законом разработанным Д.И. Менделеевым. Основная единица длины- 1 метр (от греческого слова "метрон"- мера). Метр равен 1/40000000 части земного меридиана. Эталон метра хранится в Международном бюро мер и весов во Франции. Основная единица площади 1 м². Только после Великой Октябрьской социалистической революции метрическая система стала обязательной на всей территории России. 14 сентября 1918 года был принят декрет "О введении международной метрической десятичной системы мер и весов". Окончательно же эта система вошла в употребление в СССР с 1927 года.